高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 步驟規(guī)范練 空間向量與立體幾何 理 蘇教版

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1、高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 步驟規(guī)范練 空間向量與立體幾何 理 蘇教版一、填空題1已知a，b是平面內(nèi)的兩個(gè)不相等的非零向量，非零向量c在直線l上，則ca0且cb0是l的_條件解析若l，則l與a，b所在的直線垂直，ca，cb，ca0，cb0，是必要條件；ab，當(dāng)a與b同向(或反向)時(shí)，由ca0且cb0可以推出ca且cb，但不能推出l，不是充分條件答案必要不充分2已知二面角l的大小為，m，n為異面直線，且m，n，則m，n所成角的度數(shù)為_解析設(shè)m，n的方向向量分別為m，n.由m，n知m，n分別是平面，的法向量|cosm，n|cos，m，n或.但由于兩異面直線所成的角的范圍是，故異面直線m，n所成的角為.答案

2、3在正四面體PABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，下面四個(gè)結(jié)論中成立的是_ BC平面PDFDF平面PAE平面PDF平面ABC平面PAE平面ABC解析D，F(xiàn)為中點(diǎn)，DFBC，又DF面PDF，BC面PDF，BC面PDF，正確；E為BC中點(diǎn)，正四面體PABC，AEBC，PEBC，BC面PAE，DF面PAE，正確；BC面ABC，面ABC面PAE，正確假設(shè)平面PDF平面ABC，則頂點(diǎn)P在底面的射影在DF上，又因?yàn)檎拿骟w的頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心，因此假設(shè)不成立，故不成立答案4(xx濰坊二模)已知m，n是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，給出四個(gè)命題：若m，n，nm，則；若m，m，則；

3、若m，n，mn，則；若m，n，mn，則.其中正確的命題是_解析命題中，與不一定垂直，不正確；垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，命題正確；易知，命題正確，命題不正確答案5在以下命題中，不正確的個(gè)數(shù)為_|a|b|ab|是a，b共線的充要條件；若ab，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使ab；對(duì)空間任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，若22，則P，A，B，C四點(diǎn)共面；若a，b，c為空間的一個(gè)基底，則ab，bc，ca構(gòu)成空間的另一個(gè)基底；|(ab)c|a|b|c|.解析|a|b|ab|a與b共線，但a與b共線時(shí)|a|b|ab|不一定成立，故不正確；b需為非零向量，故不正確；因?yàn)?211，由共面向量定理知，不正確；由基底

4、的定義知正確；由向量的數(shù)量積的性質(zhì)知，不正確答案46如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F(xiàn)分別是CC1，AD的中點(diǎn)那么異面直線OE和FD1所成的角的余弦值等于_ 解析建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則O(1,1,0)，E(0,2,1)，D1(0,0,2)，F(xiàn)(1,0,0)，(1，1,1)，(1,0,2)，3，|，|，cos，.即OE與FD1所成的角的余弦值為. 答案7已知三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等，A1在底面ABC內(nèi)的射影為ABC的中心，則AB1與底面ABC所成角的正弦值等于_解析設(shè)A1在面ABC內(nèi)的射影為O，過O作OHBC交A

5、B于點(diǎn)H，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OH，OA1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)ABC邊長(zhǎng)為1，則A，B1，.面ABC的法向量n(0,0,1)，則AB1與底面ABC所成角的正弦值為sin |cos，n|.答案8如圖為棱長(zhǎng)是1的正方體的表面展開圖，在原正方體中，給出下列三個(gè)命題： 點(diǎn)M到AB的距離為；三棱錐CDNE的體積是；AB與EF所成的角是其中正確命題的序號(hào)是_解析依題意可作出正方體的直觀圖如圖，顯然M到AB的距離為MC，正確；而VCDNE111，正確；AB與EF所成的角等于AB與MC所成的角，即為，正確 答案9正ABC與正BCD所在平面垂直，則二面角ABDC的正弦值為_解析取BC中點(diǎn)

6、O，連接AO，DO.建立如圖所示坐標(biāo)系，設(shè)BC1，則A，B， D.，.由于為平面BCD的一個(gè)法向量，可進(jìn)一步求出平面ABD的一個(gè)法向量n(1，1)，cosn，sinn，.答案10正三棱柱ABCA1B1C1的棱長(zhǎng)都為2，E，F(xiàn)，G為AB，AA1，A1C1的中點(diǎn)，則B1F與平面GEF所成角的正弦值為_ 解析如圖，取AB的中點(diǎn)E，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系Exyz.則E(0,0,0)，F(xiàn)(1,0,1)，B1(1,0,2)，A1(1，0,2)，C1(0，2)，G.(2,0，1)，(1,0,1)，設(shè)平面GEF的一個(gè)法向量為n(x，y，z)，由得令x1，則n(1，1)，設(shè)B1F與平面GEF所成角為，則si

7、n |cosn，|.答案11在正方體ABCDA1B1C1D1中，BB1與平面ACD1所成角的余弦值為_解析如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，且設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，DB1平面ACD1，取平面ACD1的法向量n(1,1,1)，又(0,0,1)，若設(shè)BB1與平面ACD1所成角為，則sin |cosn，|，cos . 答案12(xx南京一模)P是二面角AB棱上的一點(diǎn)，分別在平面，上引射線PM，PN，如果BPMBPN45，MPN60，那么二面角AB的大小為_解析不妨設(shè)PMa，PNb，如圖，作MEAB于E，NFAB于F.EPMFPN45，PEa，PFb，()()abcos 60abcos 45abcos 45

8、ab0，二面角AB的大小為90. 答案9013如圖，在矩形ABCD中，AB3，BC1，EFBC且AE2EB，G為BC的中點(diǎn)，K為AF的中點(diǎn)沿EF將矩形折成120的二面角AEFB，此時(shí)KG的長(zhǎng)為_ 解析如圖，過K作KMEF，垂足M為EF的中點(diǎn)，則向量與的夾角為120，60.又，222211211cos 603.|. 答案14(xx梅州模擬)如圖，在三棱錐SABC中，SBASCA90，ABC是斜邊ABa的等腰直角三角形，給出以下結(jié)論：異面直線SB與AC所成的角為90；直線SB平面ABC；平面SBC平面SAC；點(diǎn)C到平面SAB的距離是a.其中正確結(jié)論的序號(hào)是_解析由題意知AC平面SBC，故ACSB，

9、SB平面ABC，平面SBC平面SAC，正確；取AB的中點(diǎn)E，連接CE，可證得CE平面SAB，故CE的長(zhǎng)度即為C到平面SAB的距離，為a，正確答案二、解答題15如圖，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，PB與底面成的角為45，底面ABCD為直角梯形，ABCBAD90，PABCAD1.問：在棱PD上是否存在一點(diǎn)E，使得CE平面PAB？若存在，求出E點(diǎn)的位置，若不存在，請(qǐng)說明理由 解分別以，的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖 則P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，設(shè)E(0，y，z)，則(0，y，z1)，(0,2，1)，y(1)2(z1)0，(0,2,0)是平面

10、PAB的法向量，(1，y1，z)，由CE平面PAB，可得.(1，y1，z)(0,2,0)2(y1)0.y1，代入式得z.E是PD的中點(diǎn)，即存在點(diǎn)E為PD中點(diǎn)時(shí)，CE平面PAB16(xx福建卷節(jié)選)如圖，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，側(cè)棱AA1底面ABCD，ABDC，AA11，AB3k，AD4k，BC5k，DC6k(k0) (1)求證：CD平面ADD1A1；(2)若直線AA1與平面AB1C所成角的正弦值為，求k的值(1)證明取CD的中點(diǎn)E，連接BE，如圖1.ABDE，ABDE3k，四邊形ABED為平行四邊形，BEAD且BEAD4k.在BCE中，BE4k，CE3k，BC5k，BE2CE2BC

11、2，BEC90，即BECD，又BEAD，CDAD.AA1平面ABCD，CD平面ABCD，AA1CD.又AA1ADA，CD平面ADD1A1. 圖1(2)解以D為原點(diǎn)，的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(4k,0,0)，C(0,6k,0)，B1(4k,3k,1)，A1(4k,0,1)，于是(4k,6k,0)，(0,3k,1)，(0,0,1)設(shè)平面AB1C的法向量n(x，y，z)，則由得取y2，得n(3,2，6k)設(shè)AA1與平面AB1C所成角為，則sin |cos，n|，解得k1，故所求實(shí)數(shù)k的值為1. 17(xx濟(jì)南質(zhì)檢)如圖，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，

12、ACAD，ABBC，BAC45，PAAD2，AC1. (1)證明：PCAD；(2)求二面角APCD的正弦值；(3)設(shè)E為棱PA上的點(diǎn)，滿足異面直線BE與CD所成的角為30，求AE的長(zhǎng)(1)證明如圖，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系， 依題意，得A(0,0,0)，D(2,0,0)，C(0,1,0)，B，0，P(0,0,2)易得(0,1，2)，(2,0,0)，于是0，所以PCAD.(2)解(0,1，2)，(2，1，0)設(shè)平面PCD的法向量n(x，y，z)，則即不妨令z1，可得n(1,2,1)可取平面PAC的法向量m(1,0,0)于是cosm，n，從而sinm，n.所以二面角APCD的正弦值為.(3)

13、解設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,0，h)，其中h0,2由此得.由(2，1,0)，故cos，所以cos 30，解得h，即AE.18(xx廣東卷)如圖1，在等腰直角三角形ABC中，A90，BC6，D，E分別是AC，AB上的點(diǎn)，CDBE，O為BC的中點(diǎn)將ADE沿DE折起，得到如圖2所示的四棱錐ABCDE，其中AO.(1)證明：AO平面BCDE；(2)求二面角ACDB的平面角的余弦值(1)證明在折疊前的圖形中，等腰直角三角形ABC中，因?yàn)锽C6，O為BC的中點(diǎn)，所以ACAB3，OCOB3，又因?yàn)镃DBE，所以ADAE2.如圖1，連接OD，在OCD中，由余弦定理可得OD.在折疊后的圖形中，因?yàn)锳D2，所以AO2OD2AD2，所以AOOD.同理可證AOOE，又ODOEO，所以AO平面BCDE.(2)解以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)Oxyz，如圖3所示 圖3則A(0,0，)，C(0，3,0)，D(1，2，0)，所以(0,3，)，(1,2，)，設(shè)平面ACD的法向量n(x，y，z)，則即解得yx，且zx，令x1，得n(1，1，)由(1)知，(0,0，)為平面CDB的一個(gè)法向量，所以cosn，所以二面角ACDB的平面角的余弦值為.