(全國版)2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8章 平面解析幾何 第6講 雙曲線學(xué)案
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1、
第6講 雙曲線
板塊一 知識梳理·自主學(xué)習(xí)
[必備知識]
考點(diǎn)1 雙曲線的概念
平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1,F(xiàn)2(|F1F2|=2c>0)的距離的差的絕對值為常數(shù)(小于|F1F2|且不等于零)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距.
集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a、c為常數(shù)且a>0,c>0:
(1)當(dāng)a
2、個常用結(jié)論 (1)焦點(diǎn)到漸近線的距離為b. (2)實(shí)軸長和虛軸長相等的雙曲線叫做等軸雙曲線. (3)雙曲線為等軸雙曲線?雙曲線的離心率e=?雙曲線的兩條漸近線互相垂直(位置關(guān)系). (4)過雙曲線的一個焦點(diǎn)且與實(shí)軸垂直的弦的長為. (5)過雙曲線焦點(diǎn)F1的弦AB與雙曲線交在同支上,則AB與另一個焦點(diǎn)F2構(gòu)成的△ABF2的周長為4a+2|AB|. (6)雙曲線的離心率公式可表示為e=. [考點(diǎn)自測] 1.判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”) (1)平面內(nèi)到兩點(diǎn)F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0)的距離之差等于1的點(diǎn)的軌跡
3、是雙曲線.( ) (2)方程-=1(mn>0)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線.( ) (3)與雙曲線-=1(mn>0)共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為-=λ(λ≠0).( ) (4)等軸雙曲線的離心率等于,且漸近線互相垂直.( ) (5)若雙曲線-=1(a>0,b>0)與-=1(a>0,b>0)的離心率分別是e1,e2,則+=1(此結(jié)論中兩條雙曲線為共軛雙曲線).( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√ 2.[課本改編]雙曲線y2-x2=2的漸近線方程是( ) A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±2x 答案 A 解析 由題意知-
4、=1,y=±x. 3.[2018·廣東模擬]已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為F(3,0),離心率等于,則C的方程是( ) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 答案 B 解析 由題意設(shè)C的方程為-=1(a>0,b>0). 由右焦點(diǎn)為F(3,0),可知c=3,又因?yàn)殡x心率等于,所以=,所以a=2.由c2=a2+b2,知b2=5,故雙曲線C的方程為-=1.故選B. 4.[2018·福州質(zhì)檢]設(shè)F1、F2分別是雙曲線x2-=1的左、右焦點(diǎn).若點(diǎn)P在雙曲線上,且|PF1|=5,則|PF2|=( ) A.5 B.3 C.7 D.3或7 答案 D 解析 ∵
5、||PF1|-|PF2||=2,∴|PF2|=7或3. 5.[2017·北京高考]若雙曲線x2-=1的離心率為,則實(shí)數(shù)m=________. 答案 2 解析 由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程知a=1,b2=m,c=, 故雙曲線的離心率e===, ∴1+m=3,解得m=2. 6.[2017·全國卷Ⅲ]雙曲線-=1(a>0)的一條漸近線方程為y=x,則a=________. 答案 5 解析 ∵雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1(a>0), ∴雙曲線的漸近線方程為y=±x. 又雙曲線的一條漸近線方程為y=x,∴a=5. 板塊二 典例探究·考向突破 考向 雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程
6、 例1 (1)[2017·天津高考]已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)為F,離心率為.若經(jīng)過F和P(0,4)兩點(diǎn)的直線平行于雙曲線的一條漸近線,則雙曲線的方程為( ) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 答案 B 解析 由題意可得=,即c=a. 又左焦點(diǎn)F(-c,0),P(0,4), 則直線PF的方程為=, 化簡即得y=x+4.結(jié)合已知條件和圖象易知直線PF與y=x平行, 則=,即4a=bc. 故解得 故雙曲線方程為-=1.故選B. (2)[2017·全國卷Ⅲ]已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的一條
7、漸近線方程為y=x,且與橢圓+=1有公共焦點(diǎn),則C的方程為( ) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 答案 B 解析 由y=x可得=.① 由橢圓+=1的焦點(diǎn)為(3,0),(-3,0), 可得a2+b2=9.② 由①②可得a2=4,b2=5. 所以C的方程為-=1.故選B. 觸類旁通 (1)若涉及雙曲線上的點(diǎn),在解題時要首先想到雙曲線上的任意點(diǎn)均滿足雙曲線的定義. (2)利用求待定系數(shù)法求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的關(guān)鍵是:設(shè)出雙曲線方程的標(biāo)準(zhǔn)形式,根據(jù)已知條件,列出關(guān)于參數(shù)a,b,c的方程并求出a,b,c的值.與雙曲線-=1,有相同漸近線時可設(shè)所求雙曲線方程
8、為-=λ(λ≠0). 【變式訓(xùn)練1】 (1)已知雙曲線C:-=1的焦距為10,點(diǎn)P(2,1)在C的漸近線上,則C的方程為( ) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 答案 A 解析 由已知可得雙曲線的焦距2c=10,a2+b2=25,排除C,D,又由漸近線方程為y=x=x,得=,解得a2=20,b2=5. (2)求與雙曲線-=1有共同漸近線,并且經(jīng)過點(diǎn)(-3,2)的雙曲線的方程. 解 設(shè)所求雙曲線方程為-=λ,將點(diǎn)(-3,2)代入雙曲線方程,得-=λ,解得λ=, ∴所求雙曲線方程為-=1. 考向 雙曲線的幾何性質(zhì) 命題角度1 雙曲線的離心率問題
9、
例2 (1)[2017·全國卷Ⅱ]若a>1,則雙曲線-y2=1的離心率的取值范圍是( )
A.(,+∞) B.(,2)
C.(1,) D.(1,2)
答案 C
解析 由題意得雙曲線的離心率e=.
∴e2==1+.
∵a>1,∴0<<1,∴1<1+<2,∴1
10、=|F1F2|=2c. 因?yàn)?|AB|=3|BC|,所以=6c, 又b2=c2-a2,所以2e2-3e-2=0, 解得e=2,或e=-(舍去). 命題角度2 雙曲線的漸近線問題 例3 (1)已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的離心率為,則C的漸近線方程為( ) A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x 答案 C 解析 ∵e=,∴=,即=. ∵c2=a2+b2,∴=,∴=. ∵雙曲線的漸近線方程為y=±x, ∴漸近線方程為y=±x.故選C. (2)[2018·深圳調(diào)研]在平面直角坐標(biāo)系xOy中,雙曲
11、線的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸上,一條漸近線方程為x-2y=0,則它的離心率為( ) A. B. C. D.2 答案 A 解析 依題意設(shè)雙曲線的方程是-=1(其中a>0,b>0),則其漸近線方程是y=±x,由題知=,即b=2a,因此其離心率e===. 觸類旁通 與雙曲線的幾何性質(zhì)有關(guān)的問題 (1)雙曲線的幾何性質(zhì)中重點(diǎn)是漸近線方程和離心率,在雙曲線-=1(a>0,b>0)中,離心率e與雙曲線的漸近線的斜率k=±滿足關(guān)系式e2=1+k2. (2)求雙曲線的離心率時,將提供的雙曲線的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于雙曲線基本量a,b,c的方程或不等式,利用b2=c2-a2和e=轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方
12、程或不等式,通過解方程或不等式求得離心率的值或取值范圍. 【變式訓(xùn)練2】 (1)若雙曲線C:-=1的焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,以F1F2為直徑的圓與雙曲線的一個交點(diǎn)為M,且sin∠MF1F2=,則雙曲線的離心率為( ) A. B. C.2 D. 答案 D 解析 由題意知,∠F1MF2=,不妨設(shè)點(diǎn)M在第一象限,則解得 又|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2,即16a2+4a2=4c2,所以e==.故選D. (2)已知雙曲線-=1的兩條漸近線與以橢圓+=1的左焦點(diǎn)為圓心、為半徑的圓相切,則漸近線方程為________. 答案 4x±3y=0 解析 雙曲線的漸近線方程為
13、ax±3y=0,橢圓的左焦點(diǎn)為F(-4,0),因?yàn)闈u近線ax+3y=0與以F為圓心、為半徑的圓相切,所以=,解得a=±4,故漸近線方程為4x±3y=0. 考向 雙曲線中焦點(diǎn)三角形 例4 (1)已知F1,F(xiàn)2是雙曲線-y2=1的兩個焦點(diǎn),P是雙曲線上一點(diǎn),且∠F1PF2=90°,則△F1PF2的面積是( ) A.1 B. C.2 D. 答案 A 解析 解法一:設(shè)|PF1|=d1,|PF2|=d2, 由雙曲線的定義可知|d1-d2|=4.又∠F1PF2=90°, 于是有d+d=|F1F2|2=20, 因此,S△F1PF2=d1d2
14、=(d+d-|d1-d2|2)=1. 解法二:由-y2=1,知|F1F2|=2. 設(shè)P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為yP,由于∠F1PF2=90°,則P在以|F1F2|為直徑的圓上,即在x2+y2=5上. 由消去x得|yP|=. 故△F1PF2的面積S=|F1F2|·|yP|=1. (2)已知F1,F(xiàn)2為雙曲線C:x2-y2=1的左、右焦點(diǎn),P點(diǎn)在C上,∠F1PF2=60°,則P到x軸的距離為( ) A. B. C. D. 答案 B 解析 設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n,不妨設(shè)m>n,P(x,y),|PF1|-|PF2|=m-n=2. 在△F1PF2中,由余弦定理得 (2)2=m2
15、+n2-2mncos60°, ∴8=(m-n)2+mn.∴mn=4. 由△F1PF2的面積相等,得 ×2×|y|=mnsin60°,即|y|=×4×. ∴|y|=. 即P到x軸的距離為. 觸類旁通 【變式訓(xùn)練3】 (1)[2018·哈爾濱質(zhì)檢]已知雙曲線x2-=1的兩個焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,P為雙曲線右支上一點(diǎn).若|PF1|=|PF2|,則 △F1PF2的面積為( ) A.48 B.24 C.12 D.6 答案 B 解析 由雙曲線的定義可得 |PF1|-|PF2|=|PF2|=2a=2, 解得|PF2|=6,故|PF1|=8,又|F1F2|=10, 由
16、勾股定理可知三角形PF1F2為直角三角形,
因此S△PF1F2=|PF1|×|PF2|=24.
(2)[2016·全國卷Ⅰ]已知方程-=1表示雙曲線,且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4,則n的取值范圍是( )
A.(-1,3) B.(-1,) C.(0,3) D.(0,)
答案 A
解析 解法一:由題意可知:c2=(m2+n)+(3m2-n)=4m2,其中c為半焦距,
∴2c=2×2|m|=4,∴|m|=1.
∵方程-=1表示雙曲線,
∴(m2+n)·(3m2-n)>0,
∴-m2 17、
或?、?
由①得m2=1,n∈(-1,3).②無解.故選A.
考向 直線與雙曲線的綜合問題
例5 直線l:y=(x-2)和雙曲線C:-=1(a>0,b>0)交于A,B兩點(diǎn),且|AB|=,又l關(guān)于直線l1:y=x對稱的直線l2與x軸平行.
(1)求雙曲線C的離心率e;
(2)求雙曲線C的方程.
解 (1)設(shè)雙曲線C:-=1過第一、三象限的漸近線l1:-=0的傾斜角為α.
因?yàn)閘和l2關(guān)于l1對稱,記它們的交點(diǎn)為P,l與x軸的交點(diǎn)為M.
而l2與x軸平行,記l2與y軸的交點(diǎn)為Q.
依題意有∠QPO=∠POM=∠OPM=α.
又l:y= 18、(x-2)的傾斜角為60°,則2α=60°,
所以tan30°==.
于是e2==1+=1+=,
所以e=.
(2)由于=,于是設(shè)雙曲線方程為-=1(k≠0),
即x2-3y2=3k2.
將y=(x-2)代入x2-3y2=3k2中,
得x2-3×3(x-2)2=3k2.
化簡得到8x2-36x+36+3k2=0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則|AB|=|x1-x2|
=2
=2×
==.
解得k2=1.
故所求雙曲線C的方程為-y2=1.
觸類旁通
求解雙曲線綜合問題的主要方法
雙曲線的綜合問題主要為直線與雙曲線的位置關(guān)系.解決這類問題的常用方 19、法是:(1)設(shè)出直線方程或雙曲線方程,然后把直線方程和雙曲線方程組成方程組,消元后轉(zhuǎn)化成關(guān)于x(或y)的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系及整體代入的思想解題.(2)利用點(diǎn)差法.
【變式訓(xùn)練4】 設(shè)雙曲線C:-y2=1(a>0)與直線l:x+y=1相交于兩個不同點(diǎn)A,B.
(1)求雙曲線C的離心率e的取值范圍;
(2)設(shè)直線l與y軸的交點(diǎn)為P,?。?,求a的值.
解 (1)將y=-x+1代入雙曲線-y2=1(a>0)中,得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0.
所以解得0且e≠,即e∈∪(,+∞).
(2)設(shè)A(x1,y1) 20、,B(x2,y2),P(0,1),
因?yàn)椋?,所?x1,y1-1)=(x2,y2-1),
由此得x1=x2.
由于x1,x2是方程(1-a2)x2+2a2x-2a2=0的兩根,且1-a2≠0,所以x1+x2=x2=-,
x1x2=x=-,
消去x2得-=,由a>0,解得a=.
核心規(guī)律
1.當(dāng)已知雙曲線的焦點(diǎn)不明確而又無法確定時,其標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為+=1(mn<0),這樣可避免討論和復(fù)雜的計算;也可設(shè)為Ax2+By2=1(AB<0),這種形式在解題時更簡便.
2.與雙曲線-=1(a>0,b>0)有公共漸近線的雙曲線的方程可設(shè)為-=λ(λ≠0).
3.已知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求雙 21、曲線的漸近線方程時,只要令雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中“1”為“0”就得到兩漸近線方程,即方程-=0就是雙曲線-=1(a>0,b>0)的兩條漸近線方程.
滿分策略
1.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式的區(qū)分要結(jié)合x2,y2前系數(shù)的正負(fù).
2.關(guān)于雙曲線中離心率范圍問題,不要忘記雙曲線離心率固有范圍e>1.
3.雙曲線-=1(a>0,b>0)的漸近線方程是y=±x,-=1(a>0,b>0)的漸近線方程是y=±x.
4.若利用弦長公式計算,在設(shè)直線斜率時要注意說明斜率不存在的情況.
5.當(dāng)直線與雙曲線交于一點(diǎn)時,不一定相切,例如:當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時,直線與雙曲線相交于一點(diǎn),但不是相切;反之, 22、當(dāng)直線與雙曲線相切時,直線與雙曲線僅有一個交點(diǎn).
板塊三 啟智培優(yōu)·破譯高考
題型技法系列 15——函數(shù)方程數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用
(1)[2015·全國卷Ⅰ]已知F是雙曲線C:x2-=1的右焦點(diǎn),P是C的左支上一點(diǎn),A(0,6).當(dāng)△APF周長最小時,該三角形的面積為________.
解題視點(diǎn) 利用雙曲線定義尋求△APF周長最小時P點(diǎn)位置.
解析 設(shè)F1為雙曲線的左焦點(diǎn),由雙曲線方程x2-=1可知,a=1,c=3,故F(3,0),F(xiàn)1(-3,0).當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線左支上運(yùn)動時,由雙曲線定義知|PF|-|PF1|=2,所以|PF|=|PF1|+2,從而△APF的周長為|AP|+|PF|+ 23、|AF|=|AP|+|PF1|+2+|AF|.因?yàn)閨AF|==15為定值,所以當(dāng)|AP|+|PF1|最小時,△APF的周長最小,由圖象可知,此時點(diǎn)P在線段AF1與雙曲線的交點(diǎn)處(如圖所示).由題意可知直線AF1的方程為y=2x+6,由
得y2+6y-96=0,解得y=2或y=-8(舍去),所以S△APF=S△AF1F-S△PF1F=×6×6-×6×2=12.
答案 12
(2)已知雙曲線-=1,其中a>1,求e的取值范圍.
解題視點(diǎn) 帶參量的雙曲線問題,需尋找e與參量的依存關(guān)系,即函數(shù)關(guān)系,e的范圍由e=f(a)來確定.
解 e2===1+2,
∵a>1,∴1+0<1+<1+1 24、,
∴1<2<4,即2 25、,∴y0=(2a-c).
又P(x0,y0)在雙曲線C上,∴-=1,
∴整理得a2-4ac+c2=0,設(shè)雙曲線C的離心率為e,
則1-4e+e2=0.∴e1=2-(舍去),e2=2+,
即雙曲線C的離心率為2+.
板塊四 模擬演練·提能增分
[A級 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]
1.[2018·安徽模擬]下列雙曲線中,焦點(diǎn)在y軸上且漸近線方程為y=±2x的是( )
A.x2-=1 B.-y2=1
C.y2-=1 D.-x2=1
答案 D
解析 由題意,選項(xiàng)A,B的焦點(diǎn)在x軸,故排除A,B;D項(xiàng)的漸近線方程為-x2=0,即y=±2x.
2.[2018·湖北模擬 26、]若雙曲線-=1的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)(3,-4),則此雙曲線的離心率為( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 由已知可得雙曲線的漸近線方程為y=±x,點(diǎn)(3,-4)在漸近線上,∴=,又a2+b2=c2,∴c2=a2+a2=a2,∴e==.故選D.
3.[2017·全國卷Ⅰ]已知F是雙曲線C:x2-=1的右焦點(diǎn),P是C上一點(diǎn),且PF與x軸垂直,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,3),則△APF的面積為( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 因?yàn)镕是雙曲線C:x2-=1的右焦點(diǎn),所以F(2,0).
因?yàn)镻F⊥x軸,所以可設(shè)P的坐標(biāo)為(2,yP).
因?yàn)镻是C上一點(diǎn), 27、所以4-=1,解得yP=±3,
所以P(2,±3),|PF|=3.
又因?yàn)锳(1,3),所以點(diǎn)A到直線PF的距離為1,
所以S△APF=×|PF|×1=×3×1=.故選D.
4.[2018·廣東模擬]已知雙曲線C:-=1的離心率e=,且其右焦點(diǎn)為F2(5,0),則雙曲線C的方程為( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
答案 C
解析 因?yàn)殡p曲線C的右焦點(diǎn)為F2(5,0),所以c=5.因?yàn)殡x心率e==,所以a=4.
又a2+b2=c2,所以b2=9.
故雙曲線C的方程為-=1.
5.P為雙曲線-=1(a>0,b>0)右支上的一點(diǎn),且|PF1|=2| 28、PF2|,則雙曲線的離心率的取值范圍是( )
A.(1,3) B.(1,3]
C.(3,+∞) D.[3,+∞)
答案 B
解析 如圖,由題意可知
∴1 29、點(diǎn)F1,F(xiàn)2分別為雙曲線-=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),P為雙曲線左支上的任意一點(diǎn),且|PF2|=2|PF1|,若△PF1F2為等腰三角形,則雙曲線的離心率為________.
答案 2
解析 ∵|PF2|-|PF1|=2a,|PF2|=2|PF1|,∴|PF2|=4a,|PF1|=2a,∵△PF1F2為等腰三角形,∴|PF2|=|F1F2|,即4a=2c,∴=2.
8.[2016·北京高考]雙曲線-=1(a>0,b>0)的漸近線為正方形OABC的邊OA,OC所在的直線,點(diǎn)B為該雙曲線的焦點(diǎn).若正方形OABC的邊長為2,則a=________.
答案 2
解析 由OA,OC所在 30、直線為漸近線,且OA⊥OC,知兩條漸近線的夾角為90°,從而雙曲線為等軸雙曲線,則其方程為x2-y2=a2.OB是正方形的對角線,且點(diǎn)B是雙曲線的焦點(diǎn),則c=2,根據(jù)c2=2a2可得a=2.
9.設(shè)A,B分別為雙曲線-=1(a>0,b>0)的左、右頂點(diǎn),雙曲線的實(shí)軸長為4,焦點(diǎn)到漸近線的距離為.
(1)求雙曲線的方程;
(2)已知直線y=x-2與雙曲線的右支交于M,N兩點(diǎn),且在雙曲線的右支上存在點(diǎn)D,使+=t,求t的值及點(diǎn)D的坐標(biāo).
解 (1)由題意知a=2,
又∵一條漸近線為y=x,即bx-ay=0.
∴由焦點(diǎn)到漸近線的距離為,得=.
∴b2=3,∴雙曲線的方程為-=1.
( 31、2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),
則x1+x2=tx0,y1+y2=ty0.
將直線方程y=x-2代入雙曲線方程-=1得x2-16x+84=0,
則x1+x2=16,y1+y2=(x1+x2)-4=12.
∴∴
∴t=4,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4,3).
10.[2018·廣西模擬]已知雙曲線方程2x2-y2=2.
(1)求以A(2,1)為中點(diǎn)的雙曲線的弦所在的直線方程;
(2)求過點(diǎn)B(1,1)能否作直線l,使l與所給雙曲線交于Q1,Q2兩點(diǎn),且點(diǎn)B是弦Q1Q2的中點(diǎn)?這樣的直線l如果存在,求出它的方程;如果不存在,說明理由.
解 (1)由2·22-12 32、=7>2可知點(diǎn)A在雙曲線內(nèi)部(含焦點(diǎn)的區(qū)域內(nèi)),設(shè)以A(2,1)為中點(diǎn)的弦兩端點(diǎn)分別為P1(x1,y1),P2(x2,y2),則有x1+x2=4,y1+y2=2.由對稱性知x1≠x2.
∵P1、P2在雙曲線上,
∴兩式相減得
2(x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)=0.
∵x1+x2=4,y1+y2=2.∴=4.
所求中點(diǎn)弦所在直線方程為
y-1=4(x-2),即4x-y-7=0.
(2)由2·12-12=1<2知B(1,1)在雙曲線的外部(雙曲線兩支之間).
可假定直線l存在,采用(1)的方法求出l的方程為y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.
聯(lián) 33、立方程組消y,得2x2-4x+3=0.
∵Δ=(-4)2-4×2×3=-8<0,無實(shí)根,因此直線l與雙曲線無交點(diǎn),這一矛盾說明了滿足條件的直線l不存在.
[B級 知能提升]
1.[2017·天津高考]已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A在雙曲線的漸近線上,△OAF是邊長為2的等邊三角形(O為原點(diǎn)),則雙曲線的方程為( )
A.-=1 B.-=1
C.-y2=1 D.x2-=1
答案 D
解析 根據(jù)題意畫出草圖如圖所示.
由△AOF是邊長為2的等邊三角形得到∠AOF=60°,c=|OF|=2.
又點(diǎn)A在雙曲線的漸近線y=x上,
∴=tan60°= 34、.
又a2+b2=4,
∴a=1,b=,
∴雙曲線的方程為x2-=1.故選D.
2.已知雙曲線E的中心為原點(diǎn),F(xiàn)(3,0)是E的焦點(diǎn),過F的直線l與E相交于A,B兩點(diǎn),且AB的中點(diǎn)為M(-12,-15),則E的方程為( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
答案 B
解析 由已知易得l的斜率為k=kFM=1.設(shè)雙曲線方程為-=1(a>0,b>0),A(x1,y1),B(x2,y2),則有兩式相減并結(jié)合x1+x2=-24,y1+y2=-30,得=,從而=1,即4b2=5a2.又a2+b2=9,解得a2=4,b2=5,故選B.
3.[2018·武漢模擬]過 35、雙曲線-=1(a>0,b>0)的一個焦點(diǎn)F的直線與雙曲線相交于A,B兩點(diǎn),當(dāng)AB⊥x軸,稱|AB|為雙曲線的通徑.若過焦點(diǎn)F的所有焦點(diǎn)弦AB中,其長度的最小值為,則此雙曲線的離心率的范圍為( )
A.(1,) B.(1,]
C.(,+∞) D.[,+∞)
答案 B
解析 當(dāng)經(jīng)過焦點(diǎn)F的直線與雙曲線的交點(diǎn)在同一支上,
可得雙曲線的通徑最小,令x=c,可得y=±b=±,即有最小值為;
當(dāng)直線與雙曲線的交點(diǎn)在兩支上,可得直線的斜率為0時,
即為實(shí)軸,最小為2a.
由題意可得2a≥,
即為a2≥b2=c2-a2,
即有c≤a,
則離心率e=∈(1,].
4.[2018 36、·承德模擬]已知點(diǎn)M(-2,0),N(2,0),動點(diǎn)P滿足條件|PM|-|PN|=2,記動點(diǎn)P的軌跡為W.
(1)求W的方程;
(2)若A和B是W上的不同兩點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),求·的最小值.
解 (1)由|PM|-|PN|=2知動點(diǎn)P的軌跡是以M,N為焦點(diǎn)的雙曲線的右支,實(shí)半軸長a=.
又焦距2c=4,所以虛半軸長b==.
所以W的方程為-=1(x≥).
(2)設(shè)A,B的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2).
當(dāng)AB⊥x軸時,x1=x2,y1=-y2,
從而·=x1x2+y1y2=x-y=2.
當(dāng)AB與x軸不垂直時,設(shè)直線AB的方程為y=kx+m(k≠±1),與W的方程聯(lián)立 37、,消去y得(1-k2)x2-2kmx-m2-2=0,
則x1+x2=,x1x2=,
所以·=x1x2+y1y2
=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)
=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2
=++m2
==2+.
又因?yàn)閤1x2>0,所以k2-1>0.
所以·>2.
綜上所述,當(dāng)AB⊥x軸時,·取得最小值2.
5.已知雙曲線Γ:-=1(a>0,b>0)經(jīng)過點(diǎn)P(2,1),且其中一焦點(diǎn)F到一條漸近線的距離為1.
(1)求雙曲線Γ的方程;
(2)過點(diǎn)P作兩條相互垂直的直線PA,PB分別交雙曲線Γ于A,B兩點(diǎn),求點(diǎn)P到直線AB距離的最大值.
解 (1)∵雙曲線 38、-=1過點(diǎn)(2,1),∴-=1.
不妨設(shè)F為右焦點(diǎn),則F(c,0)到漸近線bx-ay=0的距離d==b,∴b=1,a2=2,
∴所求雙曲線的方程為-y2=1.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的方程為y=kx+m.將y=kx+m代入x2-2y2=2中,
整理得(2k2-1)x2+4kmx+2m2+2=0.
∴x1+x2=,①
x1x2=.②
∵·=0,
∴(x1-2,y1-1)·(x2-2,y2-1)=0,∴(x1-2)(x2-2)+(kx1+m-1)(kx2+m-1)=0,∴(k2+1)x1x2+(km-k-2)(x1+x2)+m2-2m+5=0.③
將①②代入③,得m2+8km+12k2+2m-3=0,
∴(m+2k-1)(m+6k+3)=0.
而P?AB,∴m=-6k-3,
從而直線AB的方程為y=kx-6k-3.
將y=kx-6k-3代入x2-2y2-2=0中,
判別式Δ=8(34k2+36k+10)>0恒成立,
∴y=kx-6k-3即為所求直線.
∴P到AB的距離d==.
∵2==1+≤2.
∴d≤4,即點(diǎn)P到直線AB距離的最大值為4.
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