2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 不等式的基本性質(zhì)和證明的基本方法 1.2 基本不等式（一）導(dǎo)學(xué)案 新人教B版選修4-5

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1、1.2　基本不等式(一) 1.理解并掌握定理1、定理2，會(huì)用兩個(gè)定理解決函數(shù)的最值或值域問(wèn)題. 2.能運(yùn)用平均值不等式(兩個(gè)正數(shù)的)解決某些實(shí)際問(wèn)題. 自學(xué)導(dǎo)引 1.定理1(重要不等式)：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立. 2.定理2(基本不等式)：如果a，b是正數(shù)，那么≤，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立. 3.我們常把叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均值，把叫做正數(shù)a，b的幾何平均值，所以基本不等式又可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均值. 4.關(guān)于用不等式求函數(shù)最大、最小值 (1)若x≥0、y≥0，且xy＝p(定值)，則當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，

2、x＋y有最小值2. (2)若x≥0、y≥0，且x＋y＝s(定值)，則當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，xy有最大值. 基礎(chǔ)自測(cè) 1.設(shè)02，a22ab，且ab<. 答案　B 2.若實(shí)數(shù)a，b滿足＋＝，則ab的最小值為(　　) A. B.2 C.2 D.4 解析　由條件＋＝知a，b均為正數(shù).因而可利用基本不等式求解. 由＋＝知a>0，b>0，所以＝＋≥2，即ab≥2，

3、當(dāng)且僅當(dāng)即a＝，b＝2時(shí)取“＝”，所以ab的最小值為2. 答案　C 3.若正數(shù)a，b滿足ab＝a＋b＋3，則ab的取值范圍是________. 解析　∵a>0，b>0， ab＝a＋b＋3≥2＋3， ∴()2－2＋3≥0， ∴≥3或≤－1(舍去)， ∴ab≥9. 答案　[9，＋∞) 知識(shí)點(diǎn)1　不等式證明 【例1】 求證：＋a≥7 (其中a>3). 證明　＋a＝＋(a－3)＋3， 由基本不等式，得＋a＝＋(a－3)＋3 ≥2 ＋3＝2＋3＝7. 當(dāng)且僅當(dāng)＝a－3，即a＝5時(shí)取等號(hào). ●反思感悟：在利用基本不等式證明的過(guò)程中，常需要把數(shù)、式合理地拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)或恒

4、等地變形配湊成適當(dāng)?shù)臄?shù)、式，以便于利用基本不等式. 1.若a，b∈R＋，且a＋b＝1， 求證：≥9. 證明　方法一：＝1＋＋＋ ＝1＋≥1＋＝9. 方法二：＝ ＝＝5＋2≥9. 知識(shí)點(diǎn)2　最值問(wèn)題 【例2】 設(shè)x，y∈R＋且＋＝3，求2x＋y的最小值. 解　方法一：2x＋y＝·3(2x＋y) ＝·(2x＋y)＝≥. 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝，y＝時(shí)，等號(hào)成立， ∴2x＋y的最小值為. 方法二：設(shè)＝，＝ 則x＝，y＝ 2x＋y＝＋＝＋ ≥，當(dāng)且僅當(dāng)m＝n，即x＝，y＝時(shí)，取得最小值. ●反思感悟：利用基本不等式求最值，關(guān)鍵是對(duì)式子恰當(dāng)?shù)淖冃?，合理?gòu)造“和式”與“積

5、式”的互化，必要時(shí)可多次應(yīng)用.注意一定要求出使“＝”成立的自變量的值，這也是進(jìn)一步檢驗(yàn)是否存在最值. 2.已知x<，求函數(shù)y＝4x－2＋的最大值. 解　由y＝4x－2＋ ＝4x－5＋＋3≤－2＋3＝1. 當(dāng)4x－5＝時(shí)取等號(hào)，∴x＝1，∴最大值為1. 知識(shí)點(diǎn)3　基本不等式的實(shí)際應(yīng)用 【例3】 甲、乙兩公司在同一電腦耗材廠以相同價(jià)格購(gòu)進(jìn)電腦芯片.甲、乙兩公司分別購(gòu)芯片各兩次，兩次的芯片價(jià)格不同，甲公司每次購(gòu)10 000片芯片，乙公司每次購(gòu)10 000元芯片.哪家公司平均成本較低？請(qǐng)說(shuō)明理由. 解　設(shè)第一次、第二次購(gòu)電腦芯片的價(jià)格為每片a元和b元，那么甲公司兩次購(gòu)電腦芯片的平均價(jià)

6、格為＝(元/片)；乙公司兩次購(gòu)電腦芯片的平均價(jià)格為＝(元/片). ∵a>0，b>0且a≠b， ∴>，＋>2＝， ∴<，∴>， ∴乙公司的平均成本比較低. 3.某單位決定投資3 200元建一倉(cāng)庫(kù)(長(zhǎng)方體狀)，高度恒定，它的后墻利用舊墻不花錢(qián)，正面用鐵柵，每米造價(jià)40元，兩側(cè)砌磚墻，每米造價(jià)45元，頂部每平方米造價(jià)20元.試問(wèn)： (1)倉(cāng)庫(kù)底面積S的最大允許值是多少？ (2)為使S達(dá)到最大，而實(shí)際投資又不超過(guò)預(yù)算，那么正面鐵柵應(yīng)設(shè)計(jì)為多長(zhǎng)？ 解　設(shè)鐵柵長(zhǎng)為x米，一堵磚墻長(zhǎng)為y米， 則有S＝xy，由題意得： 40x＋2×45y＋20xy＝3 200. (1)由基本不等式，得

7、 3 200≥2＋20xy＝120 ＋20xy ＝120＋20S， ∴S＋6≤160，即(＋16)(－10)≤0. ∵＋16>0，∴－10≤0，從而S≤100. ∴S的最大允許值是100 m2. (2)S取最大值的條件是40x＝90y， 又xy＝100，由此解得x＝15. ∴正面鐵柵的長(zhǎng)度應(yīng)設(shè)計(jì)為15米. 課堂小結(jié) 1.兩個(gè)不等式：a2＋b2≥2ab與≥成立的條件是不同的，前者要求a，b都是實(shí)數(shù)，后者要求a，b都是正數(shù). 如(－3)2＋(－2)2≥2×(－3)×(－2)是成立的，而≥2是不成立的. 2.兩個(gè)不等式：a2＋b2≥2ab與≥都是帶有等號(hào)的不等式，對(duì)于“當(dāng)且僅

8、當(dāng)……時(shí)，取‘＝’號(hào)”這句話的含義要有正確的理解. 當(dāng)a＝b取等號(hào)，其含義是a＝b?＝； 僅當(dāng)a＝b取等號(hào)，其含義是＝?a＝b. 綜合上述兩條，a＝b是＝的充要條件. 3.與基本不等式有關(guān)的兩個(gè)常用不等式： (1)＋≥2 (a、b同號(hào))； (2)≤≤≤ (a>0，b>0). 隨堂演練 1.設(shè)實(shí)數(shù)x，y，滿足x2＋y2＝1，當(dāng)x＋y＋c＝0時(shí)，c的最大值是(　　) A. B.－ C.2 D.－2 解析　方法一：設(shè)x＝cos θ，y＝sin θ，θ∈[－π，π] 當(dāng)x＋y＋c＝0時(shí)， c＝－x－y＝－(cos θ＋sin θ)＝－sin， 當(dāng)sin＝－1時(shí)，cm

9、ax＝. 方法二：c2＝(x＋y)2≤2(x2＋y2)＝2 ∵－≤c≤，∴cmax＝. 答案　A 2.若log4(3a＋4b)＝log2，則a＋b的最小值是(　　) A.6＋2 B.7＋2 C.6＋4 D.7＋4 解析　先判斷a，b的符號(hào)，再將已知的式子轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，b的方程，最后根據(jù)基本不等式求解. 由題意得所以 又log4(3a＋4b)＝log2， 所以log4(3a＋4b)＝log4ab， 所以3a＋4b＝ab，故＋＝1. 所以a＋b＝(a＋b)＝7＋＋≥7＋2＝7＋4，當(dāng)且僅當(dāng)＝時(shí)取等號(hào)，故選D. 答案　D 3.已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最

10、小值________. 解析　∵x>0，y>0，＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)·＝＋＋10≥6＋10＝16， 當(dāng)且僅當(dāng)＝時(shí)，上式等號(hào)成立. 又＋＝1，∴x＝4，y＝12時(shí)，(x＋y)min＝16. 答案　16 4.x，y，z∈R＋，x－2y＋3z＝0，的最小值是________. 解析　由x－2y＋3z＝0，得y＝，將其代入， 得≥＝3， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝3z時(shí)取“＝”. 答案　3 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 1.若a，b∈R＋，且a＋b＝1，則＋的最大值為(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.2 答案　C 2.若a，b∈R＋，且a＋b≤2，則＋的最小值為(　　) A.1

11、 B.2 C. D.4 答案　B 3.下列命題：①x＋最小值是2；②的最小值是2；③的最小值是2；④2－3x－的最小值是2.其中正確命題的個(gè)數(shù)是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析?、佼?dāng)x<0時(shí)結(jié)論不成立； ②由＝＝＋≥2，故結(jié)論成立； ③由＝＋，由≥2，≤，∴≠，故結(jié)論不成立； ④當(dāng)x>0時(shí)，2－3x－＝2－≤2－2＝2－4， 當(dāng)x<0時(shí)，2－3x－＝2－≥2＋2＝2＋4，故結(jié)論不成立. 答案　A 4.若不等式x2＋2x＋a≥－y2－2y對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y都成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________. 答案　a≥2 5.若a是1＋2b與1－2b的

12、等比中項(xiàng)，則的最大值為_(kāi)_______. 解析　由題意得a2＝(1＋2b)(1－2b)＝1－4b2. 即a2＋4b2＝1. ∵a2＋4b2≥2，得|ab|≤且≥4， ∴＝ ＝ ＝ ＝ ≤ ＝. 答案　 6.已知a，b∈(0，＋∞)，求證：(a＋b)≥4. 證明　∵a>0，b>0，∴a＋b≥2>0， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，取等號(hào).① ＋≥2 >0，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝b時(shí)取等號(hào).② ①×②，得(a＋b)≥2·2＝4， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，取等號(hào). 綜合提高 7.函數(shù)y＝log2 (x>1)的最小值為(　　) A.－3 B.3 C.4 D.－4 解析　x>1，x－

13、1>0， y＝log2＝log2 ≥log2(2＋6)＝log28＝3. 答案　B 8.要制作一個(gè)容積為4 m3，高為1 m的無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器.已知該容器的底面造價(jià)是每平方米20元，側(cè)面造價(jià)是每平方米10元，則該容器的最低總造價(jià)是(　　) A.80元 B.120元 C.160元 D.240元 解析　設(shè)底面矩形的一條邊長(zhǎng)是x m，總造價(jià)是y元，把y與x的函數(shù)關(guān)系式表示出來(lái)，再利用均值(基本)不等式求最小值. 由題意知，體積V＝4 m3，高h(yuǎn)＝1 m，所以底面積S＝4 m2，設(shè)底面矩形的一條邊長(zhǎng)是x m，則另一條邊長(zhǎng)是 m，又設(shè)總造價(jià)是y元，則y＝20×4＋10×≥80＋20＝1

14、60，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝，即x＝2時(shí)取得等號(hào). 答案　C 9.設(shè)a，b＞0，a＋b＝5，則＋的最大值為_(kāi)_______. 解析　將＋進(jìn)行平方，為使用基本不等式創(chuàng)造條件，從而求得最值. 令t＝＋，則t2＝a＋1＋b＋3＋2＝9＋2≤9＋a＋1＋b＋3＝13＋a＋b＝13＋5＝18， 當(dāng)且僅當(dāng)a＋1＝b＋3時(shí)取等號(hào)，此時(shí)a＝，b＝. ∴tmax＝＝3. 答案　3 10.對(duì)于c＞0，當(dāng)非零實(shí)數(shù)a，b滿足4a2－2ab＋b2－c＝0且使|2a＋b|最大時(shí)，＋＋的最小值為_(kāi)_______. 解析　利用均值不等式找到|2a＋b|取得最大值時(shí)等號(hào)成立的條件，從而可以用字母c表示a，b，再求＋＋

15、的最小值. 由題意知，c＝4a2－2ab＋b2＝(2a＋b)2－6ab， ∴(2a＋b)2＝c＋6ab.若|2a＋b|最大，則ab>0. 當(dāng)a>0，b>0時(shí)， (2a＋b)2＝c＋6ab＝c＋3×2a·b≤c＋3， ∴(2a＋b)2≤c＋(2a＋b)2，∴(2a＋b)2≤4c，|2a＋b|≤2，當(dāng)且僅當(dāng)b＝2a，即時(shí)取等號(hào). 此時(shí)＋＋＝＋＋>0. 當(dāng)a<0，b<0時(shí)， (2a＋b)2＝c＋6ab＝c＋3(－2a)·(－b) ≤c＋3， ∴(2a＋b)2≤4c，|2a＋b|≤2，即－2a－b≤2. 當(dāng)且僅當(dāng)b＝2a，即時(shí)取等號(hào). 此時(shí)＋＋＝－－＋＝－＝4－1≥－1，當(dāng)＝，

16、即c＝4時(shí)等號(hào)成立. 綜上可知，當(dāng)c＝4，a＝－1，b＝－2時(shí)，＝－1. 答案?。? 11.若a＞0，b＞0，且＋＝. (1)求a3＋b3的最小值； (2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并說(shuō)明理由. 解　(1)由＝＋≥，得ab≥2，且當(dāng)a＝b＝時(shí)等號(hào)成立. 故a3＋b3≥2≥4，且當(dāng)a＝b＝時(shí)等號(hào)成立. 所以a3＋b3的最小值為4. (2)由(1)知，2a＋3b≥2≥4. 由于4＞6，從而不存在a，b，使得2a＋3b＝6. 12.經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期觀測(cè)得到：在交通繁忙的時(shí)段內(nèi)，某公路段汽車(chē)的車(chē)流量y(千輛/時(shí))與汽車(chē)的平均速率v(千米/時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系為y＝(v＞0). (1)在該時(shí)段內(nèi)，當(dāng)汽車(chē)的平均速度v為多少時(shí)，車(chē)流量最大？最大車(chē)流量為多少？(精確到0.1千輛/時(shí)) (2)若要求在該時(shí)段內(nèi)車(chē)流量超過(guò)10千輛/時(shí)，則汽車(chē)的平均速度應(yīng)在什么范圍內(nèi)？ 解　(1)依題意，y＝≤＝≈11.1(千輛/時(shí)) (2)由條件得＞10， 整理得v2－89v＋1 600＜0， 即(v－25))(v－64)＜0，解得25＜v＜64. 答　當(dāng)v＝40千米/時(shí)時(shí)，車(chē)流量最大，最大車(chē)流量約為11.1千輛/時(shí).如果要求在該時(shí)段內(nèi)車(chē)流量超過(guò)10千輛/時(shí)，則汽車(chē)的平均速度應(yīng)大于25千米/時(shí)且小于64千米/時(shí). 10