（江蘇專用）2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何初步 第45講 空間點、線、面之間的位置關(guān)系學(xué)案

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1、 第45講　空間點、線、面之間的位置關(guān)系 考試要求　1.平面的基本性質(zhì)及其簡單應(yīng)用(證明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡單命題)(A級要求)；2.空間點、線、面的位置關(guān)系(A級要求). 診 斷 自 測 1.下列命題中正確的個數(shù)為________. ①梯形可以確定一個平面； ②若兩條直線和第三條直線所成的角相等，則這兩條直線平行； ③兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面； ④如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合. 解析　②中兩直線可以平行、相交或異面，④中若三個點在同一條直線上，則兩個平面相交，①③正確. 答案　2 2.(必修2P23練習(xí)2改編)用集合符號表示“點P在

2、直線l外，直線l在平面α內(nèi)”為________. 解析　考查點、線、面之間的符號表示. 答案　P?l，l?α 3.(必修2P31習(xí)題5改編)下列說法中正確的是________(填序號). ①兩兩相交的三條直線共面； ②四條線段首尾相接，所得的圖形是平面圖形； ③平行四邊形的四邊所在的四條直線共面； ④若AB，CD是兩條異面直線，則直線AC，BD不一定異面. 解析　當(dāng)三條直線交于一點時有可能不共面；四條線段首 尾相接，所得的圖形可以構(gòu)成空間四邊形；若AB，CD是兩條異面直線，則直線AC，BD一定異面，可反證. 答案?、? 4.(教材改編)如圖所示，已知在長方體ABCD－EFG

3、H中，AB＝2，AD＝2，AE＝2，則BC和EG所成角的大小是________，AE和BG所成角的大小是________. 解析　∵BC與EG所成的角等于EG與FG所成的角即∠EGF，tan∠EGF＝＝＝1，∴∠EGF＝45°， ∵AE與BG所成的角等于BF與BG所成的角即∠GBF，tan∠GBF＝＝＝，∴∠GBF＝60°. 答案　45°　60° 5.如圖是正四面體(各面均為正三角形)的平面展開圖，G、H、M、N分別為DE、BE、EF、EC的中點，在這個正四面體中， ①GH與EF平行； ②BD與MN為異面直線； ③GH與MN成60°角； ④DE與MN垂直． 以上四個命

4、題中正確命題的序號是________． 解析　把正四面體的平面展開圖還原，如圖所示，GH與EF為異面直線，BD與MN為異面直線，GH與MN成60°角，DE⊥MN. 答案?、冖邰? 知 識 梳 理 1.四個公理 公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi). 公理2：如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其他公共點，這些公共點的集合是經(jīng)過這個公共點的一條直線. 公理3：經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面. 公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行. 2.直線與直線的位置關(guān)系 (1)位置關(guān)系的分類 (2)異面直線所成的角 ①定

5、義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任意一點O，作直線a′∥a，b′∥b，把直線a′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a，b所成的角. ②范圍：. 3.直線與平面的位置關(guān)系有直線在平面內(nèi)、直線與平面相交、直線與平面平行三種情況. 4.平面與平面的位置關(guān)系有平行、相交兩種情況. 5.等角定理 如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等. 考點一　平面基本性質(zhì)的應(yīng)用 【例1】 (1)(2016·山東卷)已知直線a，b分別在兩個不同的平面α，β內(nèi)，則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的________條件. (2)已知空間四邊形ABCD

6、(如圖所示)，E、F分別是AB、AD的中點，G、H分別是BC、CD上的點，且CG＝BC，CH＝DC.求證： ①E、F、G、H四點共面； ②三直線FH、EG、AC共點. (1)解析　若直線a和直線b相交，則平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直線a和直線b可能平行或異面或相交. 答案　充分不必要 (2)證明?、龠B接EF，GH，如圖所示， ∵E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點， ∴EF∥BD. 又∵CG＝BC，CH＝DC， ∴GH∥BD，∴EF∥GH， ∴E、F、G、H四點共面. ②易知FH與直線AC不平行，但共面， ∴設(shè)FH∩AC＝M，∴M∈平面EFHG，M∈

7、平面ABC. 又∵平面EFHG∩平面ABC＝EG， ∴M∈EG，∴FH、EG、AC共點. 規(guī)律方法　共面、共線、共點問題的證明 (1)證明點或線共面問題的兩種方法：①首先由所給條件中的部分線(或點)確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內(nèi)；②將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合. (2)證明點共線問題的兩種方法：①先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上；②直接證明這些點都在同一條特定直線上. (3)證明線共點問題的常用方法是：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點. 【訓(xùn)練1】 如圖，平面ABEF⊥平面ABCD，四邊形ABEF與四邊形

8、ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD且BC＝AD，BE∥AF且BE＝AF，G、H分別為FA、FD的中點. (1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形； (2)C、D、F、E四點是否共面？為什么？ (1)證明　由已知FG＝GA，F(xiàn)H＝HD， 可得GH綊AD.又BC綊AD，∴GH綊BC. ∴四邊形BCHG為平行四邊形. (2)解　∵BE綊AF，G是FA的中點，∴BE綊FG， ∴四邊形BEFG為平行四邊形，∴EF∥BG. 由(1)知BG綊CH，∴EF∥CH，∴EF與CH共面. 又D∈FH，∴C、D、F、E四點共面. 考點二　判斷空間兩直線的位置關(guān)系 【例

9、2】 (1)(2015·廣東改編)若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列命題正確的是________(填序號). ①l與l1，l2都不相交； ②l與l1，l2都相交； ③l至多與l1，l2中的一條相交； ④l至少與l1，l2中的一條相交. (2)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是BC1，CD1的中點，則下列判斷錯誤的是________(填序號). ①MN與CC1垂直； ②MN與AC垂直； ③MN與BD平行； ④MN與A1B1平行. (3)在圖中，G、N、M、H分別是正三棱柱(兩底面為正三角形的直

10、棱柱)的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH、MN是異面直線的圖形有________(填上所有正確答案的序號). 解析　(1)若l與l1，l2都不相交，則l∥l1，l∥l2，∴l(xiāng)1∥l2，這與l1和l2異面矛盾，∴l(xiāng)至少與l1，l2中的一條相交. (2)連接B1C，B1D1，如圖所示，則點M是B1C的中點，MN是△B1CD1的中位線，∴MN∥B1D1，又BD∥B1D1， ∴MN∥BD. ∵CC1⊥B1D1，AC⊥B1D1， ∴MN⊥CC1，MN⊥AC. 又∵A1B1與B1D1相交， ∴MN與A1B1不平行. (3)圖①中，直線GH∥MN； 圖②中，G、H、N三點共面，但

11、M?平面GHN，N?GH， 因此直線GH與MN異面； 圖③中，連接MG，GM∥HN，因此GH與MN共面； 圖④中，G、M、N共面，但H?平面GMN，G?MN， 因此GH與MN異面. 所以圖②④中GH與MN異面. 答案　(1)④　(2)④　(3)②④ 規(guī)律方法　空間中兩直線位置關(guān)系的判定，主要是異面、平行和垂直的判定.對于異面直線，可采用直接法或反證法；對于平行直線，可利用三角形(梯形)中位線的性質(zhì)、公理4及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理；對于垂直關(guān)系，往往利用線面垂直的性質(zhì)來解決. 【訓(xùn)練2】 (1)已知a，b，c為三條不重合的直線，有下列結(jié)論： ①若a⊥b，a⊥c，則b∥c；

12、②若a⊥b，a⊥c，則b⊥c；③若a∥b，b⊥c，則a⊥c.其中正確的個數(shù)為________. (2)如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，點M∈AB1，N∈BC1，且AM＝BN≠，有以下四個結(jié)論： ①AA1⊥MN；②A1C1∥MN； ③MN∥平面A1B1C1D1；④MN與A1C1是異面直線. 其中正確結(jié)論的序號是________(注：把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號都填上). 解析　(1)在空間中，若a⊥b，a⊥c，則b，c可能平行，也可能相交，還可能異面，所以①②錯，③顯然成立. (2)過N作NP⊥BB1于點P，連接MP，可證AA1⊥平面MNP，∴AA1⊥MN，①正確，過

13、M、N分別作MR⊥A1B1、NS⊥B1C1于點R，S，則當(dāng)M不是AB1的中點、N不是BC1的中點時，直線A1C1與直線RS相交；當(dāng)M、N分別是AB1、BC1的中點時，A1C1∥RS，∴A1C1與MN可以異面，也可以平行，故②④錯誤.由①正確知，AA1⊥平面MNP，而AA1⊥平面A1B1C1D1，∴平面MNP∥平面A1B1C1D1，故③正確.綜上所述，其中正確的序號是①③. 答案　(1)1　(2)①③ 考點三　求兩條異面直線所成的角 【例3】 (2018·南京模擬)如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，則異面直線AP與BD所成的角為________. 解析

14、　如圖，將原圖補(bǔ)成正方體ABCD－QGHP，連接GP，則GP∥BD， 所以∠APG為異面直線AP與BD所成的角， 在△AGP中，AG＝GP＝AP，所以∠APG＝. 答案　 規(guī)律方法　用平移法求異面直線所成的角的三步法 (1)一作：根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角； (2)二證：證明作出的角是異面直線所成的角； (3)三求：解三角形，求出作出的角.如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；如果求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角. 【訓(xùn)練3】 (2018·鹽城模擬)已知正四面體ABCD中，E是AB的中點，則異面直線CE與BD所成角的余弦值為________. 解析

15、　畫出正四面體ABCD的直觀圖，如圖所示. 設(shè)其棱長為2，取AD的中點F，連接EF， 設(shè)EF的中點為O，連接CO， 則EF∥BD， 則∠FEC就是異面直線CE與BD所成的角. △ABC為等邊三角形，則CE⊥AB， 易得CE＝，同理可得CF＝， 故CE＝CF. 因為OE＝OF，所以CO⊥EF. 又EO＝EF＝BD＝， 所以cos∠FEC＝＝＝. 答案　 一、必做題 1.設(shè)a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，a?α，b⊥β，則“α∥β”是“a⊥b”的________條件. 解析　若a?α，b⊥β，α∥β，則由α∥β，b⊥β?b⊥α， 又a?α，所以

16、a⊥b；若a⊥b，a?α，b⊥β， 則b⊥α或b∥α或b?α，此時α∥β或α與β相交， 所以“α∥β”是“a⊥b”的充分不必要條件. 答案　充分不必要 2.(2018·南京、鹽城一模)現(xiàn)有如下命題： ①過平面外一點有且只有一條直線與該平面垂直； ②過平面外一點有且只有一條直線與該平面平行； ③如果兩個平行平面和第三個平面相交，那么所得的兩條交線平行； ④如果兩個平面相互垂直，那么經(jīng)過第一個平面內(nèi)一點且垂直于第二個平面的直線必在第一個平面內(nèi). 其中正確的命題是________(填序號). 解析　過平面外一點有無數(shù)條直線與該平面平行，故②錯. 答案?、佗邰? 3.(2018·

17、鎮(zhèn)江模擬)設(shè)b，c表示兩條直線，α，β表示兩個平面，現(xiàn)給出下列命題： ①若b?α，c∥α，則b∥c； ②若b?α，b∥c，則c∥α； ③若c∥α，α⊥β，則c⊥β； ④若c∥α，c⊥β，則α⊥β. 其中正確的命題是________(填序號). 解析?、僦兄本€b，c平行或異面，則①錯誤；②中c∥α或c?α，則②錯誤；③中c，β的位置關(guān)系可能平行、相交或者直線在平面內(nèi)，則③錯誤；由線面平行的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)、面面垂直的判定定理可知④正確，故正確命題是④. 答案　④ 4.(2018·常州模擬)在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，既與AB共面又與CC1共面的棱有_______

18、_條. 解析　如圖，有5條.其為BC，AA1，CD，C1D1，BB1. 答案　5 5.在四面體ABCD的棱AB，BC，CD，DA上分別取E，F(xiàn)，G，H四點，如果EF與HG交于點M，則下列命題正確的有________(填序號). ①M一定在直線AC上； ②M一定在直線BD上； ③M可能在AC上，也可能在BD上； ④M既不在AC上，也不在BD上. 解析　由于EF∩HG＝M，且EF?平面ABC， HG?平面ACD，所以點M為平面ABC與平面ACD的一個公共點，而這兩個平面的交線為AC， 所以點M一定在直線AC上，故①正確. 答案?、? 6.如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C

19、1中，底面為直角三角形.∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝，P是BC1上一動點，則CP＋PA1的最小值為________. 解析　連接A1B，將△A1BC1與△CBC1同時展開形成一個平面四邊形A1BCC1，則此時對角線CP＋PA1＝A1C達(dá)到最小，在等腰直角三角形△BCC1中，BC1＝2， ∠CC1B＝45°，在△A1BC1中，A1B＝＝2，A1C1＝6，BC1＝2，∴A1C＋BC＝A1B2，即∠A1C1B＝90°.對于展開形成的四邊形A1BCC1，在△A1C1C中，C1C＝，A1C1＝6，∠A1C1C＝135°，由余弦定理有CP＋PA1＝A1C＝＝＝5. 答案　5 7.

20、(2017·全國Ⅲ卷)a，b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論： ①當(dāng)直線AB與a成60°角時，AB與b成30°角； ②當(dāng)直線AB與a成60°角時，AB與b成60°角； ③直線AB與a所成角的最小值為45°； ④直線AB與a所成角的最小值為60°； 其中正確的是________(填寫所有正確結(jié)論的編號)． 解析　由題意，AB是以AC為軸，BC為底面半徑的圓錐的母線，由AC⊥a，AC⊥b，又AC⊥圓錐底面，在底面內(nèi)可以過點B，作BD∥a，交底面圓C于點D，如圖所示，連接DE，則DE⊥BD，∴D

21、E∥b，連接AD，設(shè)BC＝1，等腰△ABD中 ，AB＝AD＝，當(dāng)直線AB與a成60°角時，∠ABD＝60°，故BD＝，又在Rt△BDE中，BE＝2，∴DE＝， 過點B作BF∥DE，交圓C于點F，連接AF，EF，由圓的對稱性可知BF＝DE＝， ∴△ABF為等邊三角形，∴∠ABF＝60°，即AB與b成60°角，②正確，①錯誤，由最小角定理可知③正確；很明顯，可以滿足平面ABC⊥直線a，直線AB與a所成的最大角為90°，④錯誤，正確的說法為②③. 答案　②③ 8.(2015·浙江卷)如圖，三棱錐A－BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，點M，N分別是AD，BC的中點，則異面直

22、線AN，CM所成的角的余弦值是________. 解析　如圖所示，連接DN，取線段DN的中點K，連接MK，CK. ∵M(jìn)為AD的中點，∴MK∥AN， ∴∠KMC為異面直線AN，CM所成的角. ∵AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，N為BC的中點，由勾股定理求得AN＝DN＝CM＝2， ∴MK＝. 在Rt△CKN中，CK＝＝. 在△CKM中，由余弦定理得 cos∠KMC＝ ＝＝. 答案　 9.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為正方形ABCD的中心，H為直線B1D與平面ACD1的交點.求證：D1、H、O三點共線. 證明　連接BD，B1D1，如圖

23、. 則BD∩AC＝O， ∵BB1綊DD1， ∴四邊形BB1D1D為平行四邊形，又H∈B1D， B1D?平面BB1D1D， 則H∈平面BB1D1D， ∵平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，H∈平面ACD1，∴H∈OD1. 即D1、H、O三點共線. 10.如圖所示，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E為DA的中點.求異面直線BE與CD所成角的余弦值. 解　如圖所示，取AC的中點F，連接EF，BF， 在△ACD中，E，F(xiàn)分別是AD，AC的中點， ∴EF∥CD. ∴∠BEF或其補(bǔ)角即為異面直線BE與CD所成的角.

24、 在Rt△EAB中，AB＝AC＝1，AE＝AD＝， ∴BE＝. 在Rt△EAF中，AF＝AC＝，AE＝， ∴EF＝. 在Rt△BAF中，AB＝1，AF＝，∴BF＝. 在等腰三角形EBF中，cos∠FEB＝＝＝. ∴異面直線BE與CD所成角的余弦值為. 二、選做題 11.(2018·泰州質(zhì)檢)如圖，矩形ABCD中，AB＝2AD，E為邊AB的中點，將△ADE沿直線DE翻折成△A1DE.若M為線段A1C的中點，則在△ADE翻折過程中，下面四個命題中不正確的是________(填序號). ①BM是定值； ②點M在某個球面上運動； ③存在某個位置，使DE⊥A1C； ④存在某

25、個位置，使MB∥平面A1DE. 解析　取DC中點F，連接MF，BF，MF∥A1D且MF＝A1D，F(xiàn)B∥ED且FB＝ED，所以∠MFB＝∠A1DE.由余弦定理可得MB2＝MF2＋FB2－2MF·FB·cos∠MFB是定值，所以M是在以B為球心，MB為半徑的球上，可得①②正確；由MF∥A1D與FB∥ED，可得平面MBF∥平面A1DE，此時MB∥平面A1DE可得，④正確；A1C在平面ABCD中的投影與AC重合，AC與DE不垂直，可得③不正確. 答案　③ 12.已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1C1，C1B1的中點，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求證： (1)D

26、、B、F、E四點共面； (2)若A1C交平面DBFE于R點，則P，Q，R三點共線. 證明　(1)如圖所示，因為EF是△D1B1C1的中位線， 所以EF∥B1D1. 在正方體ABCD－A1B1C1D1中，B1D1∥BD， 所以EF∥BD. 所以EF，BD確定一個平面. 即D、B、F、E四點共面. (2)在正方體ABCD－A1B1C1D1中， 設(shè)平面A1ACC1確定的平面為α， 又設(shè)平面BDEF為β. 因為Q∈A1C1，所以Q∈α. 又Q∈EF，EF?β，所以Q∈β. 則Q是α與β的公共點， 同理，P點也是α與β的公共點. 所以α∩β＝PQ. 又A1C∩β＝R， 所以R∈A1C，則R∈α且R∈β. 則R∈PQ，故P，Q，R三點共線. 14