2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明章末復(fù)習(xí)同步學(xué)案 新人教B版選修1-2

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1、第二章 推理與證明章末復(fù)習(xí)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解合情推理與演繹推理的區(qū)別與聯(lián)系，會利用歸納與類比推理進(jìn)行簡單的推理.2.加深對直接證明和間接證明的認(rèn)識，會應(yīng)用其解決一些簡單的問題1合情推理(1)歸納推理：由部分到整體、由個別到一般的推理(2)類比推理：由特殊到特殊的推理(3)合情推理：歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理2演繹推理(1)演繹推理：由一般到特殊的推理(2)“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理小前提所研究的特殊情況結(jié)論根據(jù)一般原理，對特殊情況作出的判斷3直接證明和間接證明(1

2、)直接證明的兩類基本方法是綜合法和分析法綜合法是從已知條件推出結(jié)論的證明方法分析法是從結(jié)論追溯到條件的證明方法(2)間接證明的一種方法是反證法，是從結(jié)論反面成立出發(fā)，推出矛盾的方法1歸納推理得到的結(jié)論不一定正確，類比推理得到的結(jié)論一定正確()2“所有3的倍數(shù)都是9的倍數(shù)，某數(shù)m是3的倍數(shù)，則m一定是9的倍數(shù)”，這是三段論推理，但其結(jié)論是錯誤的()3綜合法是直接證明，分析法是間接證明()4反證法是指將結(jié)論和條件同時否定，推出矛盾()類型一合情推理的應(yīng)用例1(1)有一個奇數(shù)列1,3,5,7,9，現(xiàn)在進(jìn)行如下分組：第一組含一個數(shù)1；第二組含兩個數(shù)3,5；第三組含三個數(shù)7,9,11；第四組含四個數(shù)13

3、,15,17,19；，試觀察每組內(nèi)各數(shù)之和并猜想f(n)(nN)與組的編號數(shù)n的關(guān)系式為_答案f(n)n3解析由于113，35823，79112733，131517196443，猜想第n組內(nèi)各數(shù)之和f(n)與組的編號數(shù)n的關(guān)系式為f(n)n3.(2)在平面幾何中，對于RtABC，ACBC，設(shè)ABc，ACb，BCa，則a2b2c2；cos2Acos2B1；RtABC的外接圓半徑為r.把上面的結(jié)論類比到空間寫出相類似的結(jié)論；試對其中一個猜想進(jìn)行證明解選取3個側(cè)面兩兩垂直的四面體作為直角三角形的類比對象設(shè)3個兩兩垂直的側(cè)面的面積分別為S1，S2，S3，底面面積為S，則SSSS2.設(shè)3個兩兩垂直的側(cè)面

4、與底面所成的角分別為，則cos2cos2cos21.設(shè)3個兩兩垂直的側(cè)面形成的側(cè)棱長分別為a，b，c，則這個四面體的外接球的半徑為R.下面對的猜想進(jìn)行證明如圖在四面體ABCD中，AB，AC，AD兩兩垂直，平面ABC，平面ABD，平面ACD為三個兩兩垂直的側(cè)面設(shè)ABa，ACb，ADc，則在RtABC中，BC，SRtABCab.同理，CD，SRtACDbc.BD，SRtABDac.SBCD.經(jīng)檢驗，SSSS.即所證猜想為真命題反思與感悟(1)歸納推理中有很大一部分題目是數(shù)列內(nèi)容，通過觀察給定的規(guī)律，得到一些簡單數(shù)列的通項公式是數(shù)列中的常見方法(2)類比推理重在考查觀察和比較的能力，題目一般情況下較

5、為新穎，也有一定的探索性跟蹤訓(xùn)練1如圖是由火柴棒拼成的圖形，第n個圖形由n個正方形組成通過觀察可以發(fā)現(xiàn)：第4個圖形中有_根火柴棒；第n個圖形中有_根火柴棒考點歸納推理的應(yīng)用題點歸納推理在圖形中的應(yīng)用答案133n1解析設(shè)第n個圖形中火柴棒的根數(shù)為an，可知a413.通過觀察得到遞推關(guān)系式anan13(n2，nN)，所以an3n1.類型二綜合法與分析法例2試用分析法和綜合法分別推證下列命題：已知(0，)，求證：2sin 2.考點分析法和綜合法的綜合應(yīng)用題點分析法和綜合法的綜合應(yīng)用證明分析法要證2sin 2成立，只需證4sin cos ，(0，)，sin 0，只需證4cos ，1cos 0，4cos

6、 (1cos )1，可變形為4cos24cos 10，只需證(2cos 1)20，顯然成立綜合法4(1cos )4，當(dāng)且僅當(dāng)cos ，即時取等號，4cos .(0，)，sin 0，4sin cos ，2sin 2.反思與感悟分析法和綜合法是兩種思路相反的推理方法：分析法是倒溯，綜合法是順推，二者各有優(yōu)缺點分析法容易探路，且探路與表述合一，缺點是表述易錯；綜合法條件清晰，易于表述，因此對于難題常把二者交互運(yùn)用，互補(bǔ)優(yōu)缺，形成分析綜合法，其邏輯基礎(chǔ)是充分條件與必要條件跟蹤訓(xùn)練2設(shè)a0，b0，ab1，求證：8.試用綜合法和分析法分別證明證明(綜合法)因為a0，b0，ab1，所以1ab2，ab，所以4

7、.又(ab)24，所以8(當(dāng)且僅當(dāng)ab時等號成立)(分析法)因為a0，b0，ab1，要證8，只需證8，只需證8，即證4.也就是證4.即證2，由基本不等式可知，當(dāng)a0，b0時，2恒成立，所以原不等式成立類型三反證法例3已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足anSn2.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)求證：數(shù)列an中不存在三項按原來順序成等差數(shù)列(1)解當(dāng)n1時，a1S12a12，則a11.又anSn2，所以an1Sn12，兩式相減得an1an，所以an是首項為1，公比為的等比數(shù)列，所以an(nN)(2)證明假設(shè)存在三項按原來順序成等差數(shù)列，記為ap1，aq1，ar1(pqr，且p，q，rN)，則

8、2，所以22rq2rp1.(*)又因為pq2，求證：2或2中至少有一個成立證明假設(shè)2和0且y0，所以1x2y且1y2x，兩式相加，得2xy2x2y，所以xy2.這與已知xy2矛盾故2與0，b0，則有()A.2ba B.2baC.2ba D.2ba考點綜合法及應(yīng)用題點利用綜合法解決不等式問題答案C解析因為(2ba)0，所以2ba.5已知等差數(shù)列an的首項為8，Sn是其前n項的和，某同學(xué)經(jīng)計算得S18，S220，S336，S465，后來該同學(xué)發(fā)現(xiàn)了其中一個數(shù)算錯了，則算錯的數(shù)應(yīng)為_考點題點答案S456解析顯然S1是正確的假設(shè)后三個數(shù)均未算錯，則a18，a212，a316，a429，這四項不成等差數(shù)

9、列，但可知前三項成等差數(shù)列，故a4有誤，應(yīng)為20，故S4算錯了，S4應(yīng)為56.1歸納和類比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整體的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推測未知，都能用于猜想，推理的結(jié)論不一定為真，有待進(jìn)一步證明2演繹推理與合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是數(shù)學(xué)中證明的基本推理形式也是公理化體系所采用的推理形式，另一方面，合情推理與演繹推理又是相輔相成的，前者是后者的前提，后者論證前者的可靠性3直接證明和間接證明是數(shù)學(xué)證明的兩類基本證明方法直接證明的兩類基本方法是綜合法和分析法：綜合法是從已知條件推導(dǎo)出結(jié)論的證明方法；分析法是由結(jié)論追溯到條件的證明方法，在解

10、決數(shù)學(xué)問題時，常把它們結(jié)合起來使用間接證明的一種方法是反證法，反證法是從結(jié)論反面成立出發(fā)，推出矛盾的證明方法.一、選擇題1下面幾種推理是合情推理的是()由圓的性質(zhì)類比出球的有關(guān)性質(zhì)；由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內(nèi)角和是180，歸納出所有三角形的內(nèi)角和都是180；張軍某次考試成績是100分，由此推出全班同學(xué)的成績都是100分；三角形內(nèi)角和是180，四邊形內(nèi)角和是360，五邊形內(nèi)角和是540，由此得凸多邊形內(nèi)角和是(n2)180.A BC D答案C解析是類比推理；是歸納推理；是歸納推理所以是合情推理2在等差數(shù)列an中，若an0，則有a4a6a3a7，類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列bn中，若bn

11、0，q1，則下列有關(guān)b4，b5，b7，b8的不等關(guān)系正確的是()Ab4b8b5b7 Bb5b7b4b8Cb4b7b5b8 Db4b5b7b8答案A3我們把1,4,9,16,25，這些數(shù)稱做正方形數(shù)，這是因為這些數(shù)目的點可以排成一個正方形(如圖)試求第n個正方形數(shù)是()An(n1) Bn(n1)Cn2 D(n1)2答案C解析觀察前5個正方形數(shù)，恰好是序號的平方，所以第n個正方形數(shù)應(yīng)為n2.4當(dāng)n1,2,3,4,5,6時，比較2n和n2的大小并猜想()An1時，2nn2 Bn3時，2nn2Cn4時，2nn2 Dn5時，2nn2考點歸納推理題點歸納推理在數(shù)對(組)中的應(yīng)用答案D解析當(dāng)n1時，2nn2

12、；當(dāng)n2時，2nn2；當(dāng)n3時，2nn2；當(dāng)n6時，2nn2.故猜想當(dāng)n5時，2nn2.5“四邊形ABCD是矩形，四邊形ABCD的對角線相等”以上推理的大前提是()A正方形都是對角線相等的四邊形B矩形都是對角線相等的四邊形C等腰梯形都是對角線相等的四邊形D矩形都是對邊平行且相等的四邊形答案B解析利用三段論分析：大前提：矩形都是對角線相等的四邊形；小前提：四邊形ABCD是矩形；結(jié)論：四邊形ABCD的對角線相等6定義運(yùn)算：xy例如344，則下列等式不成立的是()AxyyxB(xy)zx(yz)C(xy)2x2y2Dc(xy)(cy)(cx)(c0)考點合情推理的綜合應(yīng)用題點合情推理在函數(shù)中的應(yīng)用答

13、案C解析由定義可知：“”是求兩個數(shù)中的較大者，所以A，B，D均是恒成立的7某學(xué)校運(yùn)動會的立定跳遠(yuǎn)和30秒跳繩兩個單項比賽分成預(yù)賽和決賽兩個階段，下表為10名學(xué)生的預(yù)賽成績，其中有三個數(shù)據(jù)模糊.學(xué)生序號12345678910立定跳遠(yuǎn)(單位：米)1.961.921.821.801.781.761.741.721.681.6030秒跳繩(單位：次)63a7560637270a1b65在這10名學(xué)生中，進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽的有8人，同時進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽和30秒跳繩決賽的有6人，則()A2號學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽B5號學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽C8號學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽D9號學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽考點演繹推理

14、的綜合應(yīng)用題點演繹推理在其他方面的應(yīng)用答案B解析進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽的有8人，根據(jù)成績應(yīng)是1號至8號若a63，則同時進(jìn)入兩決賽的不是6人，不符合題意；若61a63，則同時進(jìn)入兩決賽的有1,2,3,5,6,7號，符合題意；若a60，則同時進(jìn)入兩決賽的不是6人，不符合題意；若a59，則同時進(jìn)入兩決賽的有1,3,4,5,6,7號，符合題意綜上可知，5號進(jìn)入30秒跳繩決賽二、填空題8如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是凸函數(shù)，那么對于區(qū)間D內(nèi)的任意x1，x2，xn，都有f.若ysin x在區(qū)間(0，)上是凸函數(shù)，那么在ABC中，sin Asin Bsin C的最大值是_答案解析sin Asin Bsin C3si

15、n 3sin .9在平面幾何中，ABC的內(nèi)角平分線CE分AB所成線段的比為，把這個結(jié)論類比到空間：在三棱錐ABCD中(如圖所示)，面DEC平分二面角ACDB且與AB相交于E，則得到的類比的結(jié)論是_考點類比推理題點類比推理在圖形中的應(yīng)用答案解析CE平分ACB，而面CDE平分二面角ACDB.可類比成，故結(jié)論為.10已知f(x)，定義f1(x)f(x)，f2(x)f1(x)，fn1(x)fn(x)，nN.經(jīng)計算f1(x)，f2(x)，f3(x)，照此規(guī)律，fn(x)_.答案解析觀察各個式子，發(fā)現(xiàn)分母都是ex，分子依次是(x1)，(x2)，(x3)，故fn(x).三、解答題11已知a0，b0，1.求證

16、： .證明要證成立，只需證1a，只需證(1a)(1b)1(1b0)，即1baab1，abab，只需證1(a0，b0)，即證1.又1成立，成立12求證：不論x，y取何非零實數(shù)，等式總不成立考點反證法及應(yīng)用題點反證法的應(yīng)用證明假設(shè)存在非零實數(shù)x，y使得等式成立于是有y(xy)x(xy)xy，即x2y2xy0，即2y20.由y0，得y20.又20，所以2y20.與x2y2xy0矛盾，故原命題成立13已知a0，b0,2cab，求證：cac.考點分析法及應(yīng)用題點分析法解決不等式問題證明要證cac，只需證ac，即證|ac|，只需證(ac)2()2，只需證a22acc2a2ab，因為a0，所以只需證2cab

17、.因為2cab已知，所以原不等式成立四、探究與拓展14設(shè)S，V分別表示表面積和體積，如ABC的面積用SABC表示，三棱錐OABC的體積用VOABC表示，對于命題：如果O是線段AB上一點，則|0.將它類比到平面的情形時，應(yīng)該有：若O是ABC內(nèi)一點，有SOBCSOCASOBA0.將它類比到空間的情形時，應(yīng)該有：若O是三棱錐ABCD內(nèi)一點，則有_考點類比推理的應(yīng)用題點平面幾何與立體幾何之間的類比答案VOBCDVOACDVOABDVOABC015某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)：sin213cos217sin 13cos 17；sin215cos215sin 15cos

18、15；sin218cos212sin 18cos 12；sin2(18)cos248sin(18)cos 48；sin2(25)cos255sin(25)cos 55.(1)試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)；(2)根據(jù)(1)的計算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論解(1)選擇式，計算如下：sin215cos215sin 15cos 151sin 301.(2)三角恒等式為sin2cos2(30)sin cos(30).證明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin2(cos 30cos sin 30sin )2sin (cos 30cos sin 30sin )sin2cos2sin cos sin2sin cos sin2sin2cos2.14