2018-2019學年高中數(shù)學 第二章 推理與證明章末復習同步學案 新人教B版選修1-2

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1、第二章 推理與證明 章末復習 學習目標　1.理解合情推理與演繹推理的區(qū)別與聯(lián)系，會利用歸納與類比推理進行簡單的推理.2.加深對直接證明和間接證明的認識，會應用其解決一些簡單的問題． 1．合情推理 (1)歸納推理：由部分到整體、由個別到一般的推理． (2)類比推理：由特殊到特殊的推理． (3)合情推理：歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理． 2．演繹推理 (1)演繹推理：由一般到特殊的推理． (2)“三段論”是演繹推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理． ②小前提——

2、所研究的特殊情況． ③結(jié)論——根據(jù)一般原理，對特殊情況作出的判斷． 3．直接證明和間接證明 (1)直接證明的兩類基本方法是綜合法和分析法． ①綜合法是從已知條件推出結(jié)論的證明方法． ②分析法是從結(jié)論追溯到條件的證明方法． (2)間接證明的一種方法是反證法，是從結(jié)論反面成立出發(fā)，推出矛盾的方法． 1．歸納推理得到的結(jié)論不一定正確，類比推理得到的結(jié)論一定正確．(　×　) 2．“所有3的倍數(shù)都是9的倍數(shù)，某數(shù)m是3的倍數(shù)，則m一定是9的倍數(shù)”，這是三段論推理，但其結(jié)論是錯誤的．(　√　) 3．綜合法是直接證明，分析法是間接證明．(　×　) 4．反證法是指將結(jié)論和條件同時否定，

3、推出矛盾．(　×　) 類型一　合情推理的應用 例1　(1)有一個奇數(shù)列1,3,5,7,9，…，現(xiàn)在進行如下分組：第一組含一個數(shù){1}；第二組含兩個數(shù){3,5}；第三組含三個數(shù){7,9,11}；第四組含四個數(shù){13,15,17,19}；…，試觀察每組內(nèi)各數(shù)之和并猜想f(n)(n∈N＋)與組的編號數(shù)n的關(guān)系式為________． 答案　f(n)＝n3 解析　由于1＝13，3＋5＝8＝23，7＋9＋11＝27＝33， 13＋15＋17＋19＝64＝43，…，猜想第n組內(nèi)各數(shù)之和f(n)與組的編號數(shù)n的關(guān)系式為f(n)＝n3. (2)在平面幾何中，對于Rt△ABC，AC⊥BC，設(shè)AB＝

4、c，AC＝b，BC＝a，則 ①a2＋b2＝c2； ②cos2A＋cos2B＝1； ③Rt△ABC的外接圓半徑為r＝. 把上面的結(jié)論類比到空間寫出相類似的結(jié)論；試對其中一個猜想進行證明． 解　選取3個側(cè)面兩兩垂直的四面體作為直角三角形的類比對象． ①設(shè)3個兩兩垂直的側(cè)面的面積分別為S1，S2，S3，底面面積為S，則S＋S＋S＝S2. ②設(shè)3個兩兩垂直的側(cè)面與底面所成的角分別為α，β，γ，則cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1. ③設(shè)3個兩兩垂直的側(cè)面形成的側(cè)棱長分別為a，b，c，則這個四面體的外接球的半徑為R＝. 下面對①的猜想進行證明． 如圖在四面體A－BCD中，AB，A

5、C，AD兩兩垂直，平面ABC，平面ABD，平面ACD為三個兩兩垂直的側(cè)面． 設(shè)AB＝a，AC＝b，AD＝c， 則在Rt△ABC中，BC＝＝，SRt△ABC＝ab. 同理，CD＝，SRt△ACD＝bc. BD＝，SRt△ABD＝ac. ∴S△BCD＝. 經(jīng)檢驗，S＋S＋S＝S. 即所證猜想為真命題． 反思與感悟　(1)歸納推理中有很大一部分題目是數(shù)列內(nèi)容，通過觀察給定的規(guī)律，得到一些簡單數(shù)列的通項公式是數(shù)列中的常見方法． (2)類比推理重在考查觀察和比較的能力，題目一般情況下較為新穎，也有一定的探索性． 跟蹤訓練1　如圖是由火柴棒拼成的圖形，第n個圖形由n個正方形組成．

6、 通過觀察可以發(fā)現(xiàn)：第4個圖形中有________根火柴棒；第n個圖形中有________根火柴棒． 考點　歸納推理的應用 題點　歸納推理在圖形中的應用 答案　13　3n＋1 解析　設(shè)第n個圖形中火柴棒的根數(shù)為an，可知a4＝13. 通過觀察得到遞推關(guān)系式an－an－1＝3(n≥2，n∈N＋)， 所以an＝3n＋1. 類型二　綜合法與分析法 例2　試用分析法和綜合法分別推證下列命題：已知α∈(0，π)，求證：2sin 2α≤. 考點　分析法和綜合法的綜合應用 題點　分析法和綜合法的綜合應用 證明　分析法 要證2sin 2α≤成立， 只需證4sin αcos α≤，

7、 ∵α∈(0，π)，∴sin α>0， 只需證4cos α≤， ∵1－cos α>0， ∴4cos α(1－cos α)≤1， 可變形為4cos2α－4cos α＋1≥0， 只需證(2cos α－1)2≥0，顯然成立． 綜合法 ∵＋4(1－cos α)≥4， 當且僅當cos α＝，即α＝時取等號， ∴4cos α≤. ∵α∈(0，π)，∴sin α>0， ∴4sin αcos α≤， ∴2sin 2α≤. 反思與感悟　分析法和綜合法是兩種思路相反的推理方法：分析法是倒溯，綜合法是順推，二者各有優(yōu)缺點．分析法容易探路，且探路與表述合一，缺點是表述易錯；綜合法條件清晰，

8、易于表述，因此對于難題常把二者交互運用，互補優(yōu)缺，形成分析綜合法，其邏輯基礎(chǔ)是充分條件與必要條件． 跟蹤訓練2　設(shè)a>0，b>0，a＋b＝1，求證：＋＋≥8.試用綜合法和分析法分別證明． 證明　(綜合法) 因為a>0，b>0，a＋b＝1， 所以1＝a＋b≥2，≤，ab≤，所以≥4. 又＋＝(a＋b)＝2＋＋≥4， 所以＋＋≥8(當且僅當a＝b＝時等號成立)． (分析法) 因為a>0，b>0，a＋b＝1， 要證＋＋≥8， 只需證＋≥8， 只需證＋≥8， 即證＋≥4. 也就是證＋≥4. 即證＋≥2， 由基本不等式可知，當a>0，b>0時，＋≥2恒成立，所以原不等式成立

9、． 類型三　反證法 例3　已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足an＋Sn＝2. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)求證：數(shù)列{an}中不存在三項按原來順序成等差數(shù)列． (1)解　當n＝1時，a1＋S1＝2a1＝2，則a1＝1. 又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2， 兩式相減得an＋1＝an， 所以{an}是首項為1，公比為的等比數(shù)列， 所以an＝(n∈N＋)． (2)證明　假設(shè)存在三項按原來順序成等差數(shù)列，記為ap＋1，aq＋1，ar＋1(p

10、－q，r－p∈N＋. 所以(*)式左邊是偶數(shù)，右邊是奇數(shù)，等式不成立． 所以假設(shè)不成立，原命題得證． 反思與感悟　反證法常用于直接證明困難或以否定形式出現(xiàn)的命題；涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命題時，也常用反證法． 跟蹤訓練3　若x，y都是正實數(shù)，且x＋y>2，求證：<2或<2中至少有一個成立． 證明　假設(shè)<2和<2都不成立， 則有≥2和≥2同時成立． 因為x>0且y>0， 所以1＋x≥2y且1＋y≥2x， 兩式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，所以x＋y≤2. 這與已知x＋y>2矛盾． 故<2與<2中至少有一個成立. 1．觀察按下列順

11、序排序的等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，…，猜想第n(n∈N＋)個等式應為(　　) A．9(n＋1)＋n＝10n＋9 B．9(n－1)＋n＝10n－9 C．9n＋(n－1)＝10n－1 D．9(n－1)＋(n－1)＝10n－10 答案　B 解析　由已知中的式子，我們觀察后分析： 等式左邊分別為9與編號減1的積再加上編號， 等式右邊是一個等差數(shù)列． 根據(jù)已知可以推斷： 第n(n∈N＋)個等式為9(n－1)＋n＝10n－9. 故選B. 2．在平面直角坐標系中，方程＋＝1(ab≠0)表示x，y軸上的截距分別為a，b的直線，類比到空間

12、直角坐標系中，在x，y，z軸上截距分別為a，b，c(abc≠0)的平面方程為(　　) A.＋＋＝1 B.＋＋＝1 C.＋＋＝1 D．a(chǎn)x＋by＋cz＝1 答案　A 解析　∵在平面直角坐標系中，方程＋＝1表示的圖形是一條直線，具有特定性質(zhì)：“在x軸，y軸上的截距分別為a，b”．類比到空間坐標系中，在x，y，z軸上截距分別為a，b，c(abc≠0)的平面方程為＋＋＝1.故選A. 3．用反證法證明命題：“設(shè)a，b為實數(shù)，則方程x3＋ax＋b＝0至少有一個實根”時，要做的假設(shè)是(　　) A．方程x3＋ax＋b＝0沒有實根 B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一個實數(shù) C．方程x3＋

13、ax＋b＝0至多有兩個實根 D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有兩個實根 答案　A 解析　方程x3＋ax＋b＝0至少有一個實根的反面是方程x3＋ax＋b＝0沒有實根，故選A. 4．若a>0，b>0，則有(　　) A.>2b－a B.<2b－a C.≥2b－a D.≤2b－a 考點　綜合法及應用 題點　利用綜合法解決不等式問題 答案　C 解析　因為－(2b－a)＝＝≥0，所以≥2b－a. 5．已知等差數(shù)列{an}的首項為8，Sn是其前n項的和，某同學經(jīng)計算得S1＝8，S2＝20，S3＝36，S4＝65，后來該同學發(fā)現(xiàn)了其中一個數(shù)算錯了，則算錯的數(shù)應為________．

14、 考點　 題點　 答案　S4＝56 解析　顯然S1是正確的．假設(shè)后三個數(shù)均未算錯， 則a1＝8，a2＝12，a3＝16，a4＝29，這四項不成等差數(shù)列， 但可知前三項成等差數(shù)列，故a4有誤，應為20， 故S4算錯了，S4應為56. 1．歸納和類比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整體的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推測未知，都能用于猜想，推理的結(jié)論不一定為真，有待進一步證明． 2．演繹推理與合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是數(shù)學中證明的基本推理形式．也是公理化體系所采用的推理形式，另一方面，合情推理與演繹推理又是相輔相成的，前者是后者的前提，后者

15、論證前者的可靠性． 3．直接證明和間接證明是數(shù)學證明的兩類基本證明方法．直接證明的兩類基本方法是綜合法和分析法：綜合法是從已知條件推導出結(jié)論的證明方法；分析法是由結(jié)論追溯到條件的證明方法，在解決數(shù)學問題時，常把它們結(jié)合起來使用．間接證明的一種方法是反證法，反證法是從結(jié)論反面成立出發(fā)，推出矛盾的證明方法. 一、選擇題 1．下面幾種推理是合情推理的是(　　) ①由圓的性質(zhì)類比出球的有關(guān)性質(zhì)； ②由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內(nèi)角和是180°，歸納出所有三角形的內(nèi)角和都是180°； ③張軍某次考試成績是100分，由此推出全班同學的成績都是100分； ④三角形內(nèi)角和是180°

16、，四邊形內(nèi)角和是360°，五邊形內(nèi)角和是540°，由此得凸多邊形內(nèi)角和是(n－2)·180°. A．①② B．①③ C．①②④ D．②④ 答案　C 解析　①是類比推理；②是歸納推理；④是歸納推理．所以①②④是合情推理． 2．在等差數(shù)列{an}中，若an<0，公差d>0，則有a4·a6>a3·a7，類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列{bn}中，若bn>0，q>1，則下列有關(guān)b4，b5，b7，b8的不等關(guān)系正確的是(　　) A．b4＋b8>b5＋b7 B．b5＋b7>b4＋b8 C．b4＋b7>b5＋b8 D．b4＋b5>b7＋b8 答案　A 3．我們把1,4,9,16,2

17、5，…這些數(shù)稱做正方形數(shù)，這是因為這些數(shù)目的點可以排成一個正方形(如圖)． 試求第n個正方形數(shù)是(　　) A．n(n－1) B．n(n＋1) C．n2 D．(n＋1)2 答案　C 解析　觀察前5個正方形數(shù)，恰好是序號的平方，所以第n個正方形數(shù)應為n2. 4．當n＝1,2,3,4,5,6時，比較2n和n2的大小并猜想(　　) A．n≥1時，2n>n2 B．n≥3時，2n>n2 C．n≥4時，2n>n2 D．n≥5時，2n>n2 考點　歸納推理 題點　歸納推理在數(shù)對(組)中的應用 答案　D 解析　當n＝1時，2n>n2；當n＝2時，2n＝n2； 當n＝

18、3時，2nn2；當n＝6時，2n>n2. 故猜想當n≥5時，2n>n2. 5．“∵四邊形ABCD是矩形，∴四邊形ABCD的對角線相等．”以上推理的大前提是(　　) A．正方形都是對角線相等的四邊形 B．矩形都是對角線相等的四邊形 C．等腰梯形都是對角線相等的四邊形 D．矩形都是對邊平行且相等的四邊形 答案　B 解析　利用三段論分析： 大前提：矩形都是對角線相等的四邊形； 小前提：四邊形ABCD是矩形； 結(jié)論：四邊形ABCD的對角線相等． 6．定義運算：x?y＝例如3?4＝4，則下列等式不成立的是(　　) A．x?y

19、＝y(tǒng)?x B．(x?y)?z＝x?(y?z) C．(x?y)2＝x2?y2 D．c·(x?y)＝(c·y)?(c·x)(c>0) 考點　合情推理的綜合應用 題點　合情推理在函數(shù)中的應用 答案　C 解析　由定義可知：“?”是求兩個數(shù)中的較大者，所以A，B，D均是恒成立的． 7．某學校運動會的立定跳遠和30秒跳繩兩個單項比賽分成預賽和決賽兩個階段，下表為10名學生的預賽成績，其中有三個數(shù)據(jù)模糊. 學生序號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 立定跳遠(單位：米) 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.

20、72 1.68 1.60 30秒跳繩(單位：次) 63 a 75 60 63 72 70 a－1 b 65 在這10名學生中，進入立定跳遠決賽的有8人，同時進入立定跳遠決賽和30秒跳繩決賽的有6人，則(　　) A．2號學生進入30秒跳繩決賽 B．5號學生進入30秒跳繩決賽 C．8號學生進入30秒跳繩決賽 D．9號學生進入30秒跳繩決賽 考點　演繹推理的綜合應用 題點　演繹推理在其他方面的應用 答案　B 解析　進入立定跳遠決賽的有8人，根據(jù)成績應是1號至8號． 若a>63，則同時進入兩決賽的不是6人，不符合題意； 若61≤a≤63，則同時進入兩

21、決賽的有1,2,3,5,6,7號，符合題意； 若a＝60，則同時進入兩決賽的不是6人，不符合題意； 若a≤59，則同時進入兩決賽的有1,3,4,5,6,7號，符合題意． 綜上可知，5號進入30秒跳繩決賽． 二、填空題 8．如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是凸函數(shù)，那么對于區(qū)間D內(nèi)的任意x1，x2，…，xn，都有≤f?.若y＝sin x在區(qū)間(0，π)上是凸函數(shù)，那么在△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值是________． 答案　 解析　sin A＋sin B＋sin C≤3sin ＝3sin ＝. 9．在平面幾何中，△ABC的內(nèi)角平分線CE分AB所成線段的比為＝，

22、把這個結(jié)論類比到空間：在三棱錐A—BCD中(如圖所示)，面DEC平分二面角A—CD—B且與AB相交于E，則得到的類比的結(jié)論是________． 考點　類比推理 題點　類比推理在圖形中的應用 答案　＝ 解析　CE平分∠ACB，而面CDE平分二面角A—CD—B. ∴可類比成， 故結(jié)論為＝. 10．已知f(x)＝，定義f1(x)＝f′(x)，f2(x)＝[f1(x)]′，…，fn＋1(x)＝[fn(x)]′，n∈N＋.經(jīng)計算f1(x)＝，f2(x)＝，f3(x)＝，…，照此規(guī)律，fn(x)＝________. 答案　 解析　觀察各個式子，發(fā)現(xiàn)分母都是ex，分子依次是－(x－1)

23、，(x－2)，－(x－3)，故fn(x)＝. 三、解答題 11．已知a＞0，b＞0，－＞1.求證：＞ . 證明　要證＞成立， 只需證1＋a＞， 只需證(1＋a)(1－b)＞1(1－b＞0)，即1－b＋a－ab＞1， ∴a－b＞ab，只需證＞1(a＞0，b>0)， 即證－＞1.又－＞1成立， ∴＞成立． 12．求證：不論x，y取何非零實數(shù)，等式＋＝總不成立． 考點　反證法及應用 題點　反證法的應用 證明　假設(shè)存在非零實數(shù)x，y使得等式＋＝成立． 于是有y(x＋y)＋x(x＋y)＝xy， 即x2＋y2＋xy＝0， 即2＋y2＝0. 由y≠0，得y2＞0. 又2≥0

24、， 所以2＋y2＞0. 與x2＋y2＋xy＝0矛盾，故原命題成立． 13．已知a>0，b>0,2c>a＋b，求證：c－a2＋ab，因為a>0，所以只需證2c>a＋b. 因為2c>a＋b已知，所以原不等式成立． 四、探究與拓展 14．設(shè)S，V分別表示表面積和體積，如△ABC的面積用S△ABC表示，三棱錐O－ABC的體積用VO－ABC表示，對于命題：如果O是線

25、段AB上一點，則||·＋||·＝0.將它類比到平面的情形時，應該有：若O是△ABC內(nèi)一點，有S△OBC·＋S△OCA·＋S△OBA·＝0.將它類比到空間的情形時，應該有：若O是三棱錐A－BCD內(nèi)一點，則有________________________． 考點　類比推理的應用 題點　平面幾何與立體幾何之間的類比 答案　VO－BCD·＋VO－ACD·＋VO－ABD·＋VO－ABC·＝0 15．某同學在一次研究性學習中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)： ①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°； ②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°

26、； ③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°； ④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°. (1)試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)； (2)根據(jù)(1)的計算結(jié)果，將該同學的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論． 解　(1)選擇②式，計算如下： sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°＝1－＝. (2)三角恒等式為sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝. 證明如下： sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝sin2α＋(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)2－sin α·(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α) ＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α＝sin2α＋cos2α＝. 14