（全國版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 第2講 參數(shù)方程學(xué)案

《（全國版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 第2講 參數(shù)方程學(xué)案》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（全國版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 第2講 參數(shù)方程學(xué)案（12頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第2講　參數(shù)方程 板塊一　知識(shí)梳理·自主學(xué)習(xí) [必備知識(shí)] 考點(diǎn)1　參數(shù)方程的概念 　 在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x、y都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)(*)，如果對(duì)于t的每一個(gè)允許值，由方程組(*)所確定的點(diǎn)M(x，y)都在這條曲線上，那么方程組(*)就叫做這條曲線的參數(shù)方程，變數(shù)t叫做參數(shù)． 考點(diǎn)2　直線和圓錐曲線的參數(shù)方程和普通方程 [考點(diǎn)自測(cè)] 1．判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)參數(shù)方程(t≥1)表示的曲線為直線．(　　) (2)直線y＝x與曲線(α為參數(shù))的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.(　　) (3)直線(t為參數(shù))的傾

2、斜角α為30°.(　　) (4)參數(shù)方程表示的曲線為橢圓．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．已知圓的參數(shù)方程(θ為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為3ρcosα－4ρsinα－9＝0，則直線與圓的位置關(guān)系是(　　) A．相切 B．相離 C．直線過圓心 D．相交但直線不過圓心 答案　D 解析　圓的普通方程為x2＋y2＝4，直線的直角坐標(biāo)方程為3x－4y－9＝0.圓心(0,0)到直線的距離d＝＝<2，所以直線與圓相交．顯然直線不過原點(diǎn)(0,0)，故選D. 3．[2018·安徽模擬]以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極

3、點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位．已知直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，圓C的極坐標(biāo)方程是ρ＝4cosθ，則直線l被圓C截得的弦長為(　　) A. B．2 C. D．2 答案　D 解析　由題意得直線l的方程為x－y－4＝0，圓C的方程為(x－2)2＋y2＝4.則圓心到直線的距離d＝，故弦長＝2＝2. 4．[2018·湖南模擬]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若直線l：(t為參數(shù))過橢圓C：(φ為參數(shù))的右頂點(diǎn)，則常數(shù)a的值為________． 答案　3 解析　由題意知在直角坐標(biāo)系下，直線l的方程為y＝x－a，橢圓的方程為＋＝1，所以其右頂點(diǎn)為(3,0

4、)．由題意知0＝3－a，所以a＝3. 5．[2018·天津模擬]已知拋物線的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))，其中p>0，焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l.過拋物線上一點(diǎn)M作l的垂線，垂足為E.若|EF|＝|MF|，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是3，則p＝________. 答案　2 解析　由參數(shù)方程 (t為參數(shù))，p>0，可得曲線方程為y2＝2px(p>0)． ∵|EF|＝|MF|，且|MF|＝|ME|(拋物線定義)， ∴△MEF為等邊三角形， E的橫坐標(biāo)為－，M的橫坐標(biāo)為3. ∴EM中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，與F的橫坐標(biāo)相同． ∴＝，∴p＝2. 6．[2015·湖北高考]在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的

5、正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知直線l的極坐標(biāo)方程為ρ(sinθ－3cosθ)＝0，曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，l與C相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝________. 答案　2 解析　因?yàn)棣?sinθ－3cosθ)＝0，所以ρsinθ＝3ρcosθ，所以y＝3x.由消去t得y2－x2＝4.由解得或不妨令A(yù)，B，由兩點(diǎn)間的距離公式得|AB|＝＝2. 板塊二　典例探究·考向突破 考向　參數(shù)方程與普通方程的互化 例　1　[2017·全國卷Ⅰ]在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． (1)若a＝－1，求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)； (2)若C上

6、的點(diǎn)到l距離的最大值為，求a. 解　(1)曲線C的普通方程為＋y2＝1. 當(dāng)a＝－1時(shí)，直線l的普通方程為x＋4y－3＝0. 由 解得或 從而C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)，. (2)直線l的普通方程為x＋4y－a－4＝0，故C上的點(diǎn)(3cosθ，sinθ)到l的距離為d＝ ＝， 當(dāng)a≥－4時(shí)，d的最大值為. 由題設(shè)得＝，所以a＝8； 當(dāng)a＜－4時(shí)，d的最大值為. 由題設(shè)得＝，所以a＝－16. 綜上，a＝8或a＝－16. 觸類旁通 將參數(shù)方程化為普通方程的方法 (1)將參數(shù)方程化為普通方程，需要根據(jù)參數(shù)方程的結(jié)構(gòu)特征，選取適當(dāng)?shù)南麉⒎椒ǎＲ姷南麉⒎椒ㄓ校捍胂麉⒎?/p>

7、、加減消參法、平方消參法等，對(duì)于含三角函數(shù)的參數(shù)方程，常利用同角三角函數(shù)關(guān)系式消參，如sin2θ＋cos2θ＝1等． (2)將參數(shù)方程化為普通方程時(shí)，要注意兩種方程的等價(jià)性，不要增解． 【變式訓(xùn)練1】　[2018·湖南長郡中學(xué)模擬]已知曲線C1：(t為參數(shù))，C2：(θ為參數(shù))． (1)化C1，C2的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線； (2)若C1上的點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t＝，Q為C2上的動(dòng)點(diǎn)，求PQ的中點(diǎn)M到直線C3：(t為參數(shù))距離的最小值． 解　(1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C2：＋＝1， C1表示圓心是(－4,3)，半徑是1的圓，C2表示中心是坐標(biāo)原

8、點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長半軸長是8，短半軸長是3的橢圓． (2)當(dāng)t＝時(shí)，P(－4,4)，又Q(8cosθ，3sinθ)，故M， 又C3的普通方程為x－2y－7＝0，則M到C3的距離d＝|4cosθ－3sinθ－13|＝·|3sinθ－4cosθ＋13|＝|5sin(θ－φ)＋13|， 所以d的最小值為. 考向　直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程的互化 例　2　[2018·寶雞模擬]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知C1：(θ為參數(shù))，將C1上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別伸長為原來的和2倍后得到曲線C2.以平面直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系，

9、已知直線l：ρ(cosθ＋sinθ)＝4. (1)試寫出曲線C1的極坐標(biāo)方程與曲線C2的參數(shù)方程； (2)在曲線C2上求一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到直線l的距離最小，并求此最小值． 解　(1)把C1：(θ為參數(shù))，消去參數(shù)化為普通方程為x2＋y2＝1，故曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ＝1. 再根據(jù)函數(shù)圖象的伸縮變換規(guī)律可得曲線C2的普通方程為2＋2＝1，即＋＝1.故曲線C2的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． (2)直線l：ρ(cosθ＋sinθ)＝4，即x＋y－4＝0，設(shè)點(diǎn)P(cosθ，2sinθ)，則點(diǎn)P到直線的距離為 d＝＝， 故當(dāng)sin＝1時(shí)，d取得最小值，此時(shí)，θ＝2kπ＋(k∈Z)，點(diǎn)P(1，)

10、，故曲線C2上有一點(diǎn)P(1，)滿足到直線l的距離的最小值為－. 觸類旁通 參數(shù)方程和直角坐標(biāo)方程及 極坐標(biāo)方程之間的相互轉(zhuǎn)化 (1)把C1消去參數(shù)化為普通方程為x2＋y2＝1，再化為極坐標(biāo)方程．根據(jù)函數(shù)圖象的伸縮變換規(guī)律可得曲線C2的普通方程，再化為參數(shù)方程． (2)先求得直線l的直角坐標(biāo)方程，設(shè)點(diǎn)P(cosθ，2sinθ)，求得點(diǎn)P到直線的距離為d＝，故當(dāng)sin＝1時(shí)，即θ＝2kπ＋，k∈Z時(shí)，點(diǎn)P到直線l的距離最小，從而求得P的坐標(biāo)以及此最小值． 【變式訓(xùn)練2】　[2018·宜春模擬]在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C1和C2的參數(shù)方程分別是(φ為參數(shù))和(φ為參數(shù))，以O(shè)為極點(diǎn)，

11、x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系． (1)求圓C1和C2的極坐標(biāo)方程； (2)射線OM：θ＝α與圓C1的交點(diǎn)為O、P，與圓C2的交點(diǎn)為O、Q，求|OP|·|OQ|的最大值． 解　(1)圓C1(φ為參數(shù))， 轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程為(x－2)2＋y2＝4， 即x2＋y2－4x＝0， 轉(zhuǎn)化成極坐標(biāo)方程為ρ2＝4ρcosθ， 即ρ＝4cosθ 圓C2(φ為參數(shù))， 轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程為x2＋(y－1)2＝1， 即x2＋y2－2y＝0 轉(zhuǎn)化成極坐標(biāo)方程為ρ2＝2ρsinθ， 即ρ＝2sinθ. (2)射線OM：θ＝α與圓C1的交點(diǎn)為O、P，與圓C2的交點(diǎn)為O、Q， 設(shè)P，Q對(duì)應(yīng)的

12、極徑分別為ρ1，ρ2，則|OP|·|OQ|＝ρ1ρ2＝4|sin2α|. ∵(|sin2α|)max＝1，∴|OP|·|OQ|的最大值為4. 考向　直線的參數(shù)方程 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例　3　[2018·泉州模擬]已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程是(t是參數(shù))，以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系中取相同的單位長度，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4sin. (1)寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(1,2)，直線l與曲線C的交點(diǎn)為A，B，試求|AB|及|PA|·|PB|的值

13、． 解　(1)直線l的普通方程為x＋y－3＝0. ρ＝4sin＝4sinθ＋4cosθ，所以ρ2＝4ρsinθ＋4ρcosθ，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－4x－4y＝0(或?qū)懗?x－2)2＋(y－2)2＝8)． (2)直線l的參數(shù)方程可化為(t′是參數(shù))， 把直線l的參數(shù)方程代入x2＋y2－4x－4y＝0得，t′2＋t′－7＝0. 設(shè)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1′，t2′，則t1′＋t2′＝－，t1′t2′＝－7，點(diǎn)P(1,2)顯然在直線l上，故|AB|＝|t1′－t2′|＝＝，故|PA|·|PB|＝|t1′t2′|＝7. 觸類旁通 直線的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 過定點(diǎn)P0

14、(x0，y0)，傾斜角為α的直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為(t為參數(shù))，t的幾何意義是直線上的點(diǎn)P到點(diǎn)P0(x0，y0)的數(shù)量，即|t|＝|PP0|時(shí)為距離．使用該式時(shí)直線上任意兩點(diǎn)P1、P2對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1、t2，則|P1P2|＝|t1－t2|，P1P2的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為(t1＋t2)． 【變式訓(xùn)練3】　[2018·哈爾濱模擬]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知圓C的圓心C的極坐標(biāo)為，半徑為2，直線l與圓C交于M，N兩點(diǎn)． (1)求圓C的極坐標(biāo)方程； (2)當(dāng)φ變化時(shí)，求弦長|MN|的取值范圍． 解　(1)由已知，得

15、圓心C的直角坐標(biāo)為(1，)，半徑為2， ∴圓C的直角坐標(biāo)方程為(x－1)2＋(y－)2＝4， 即x2＋y2－2x－2y＝0， ∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴ρ2－2ρcosθ－2ρsinθ＝0， 故圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cos. (2)由(1)知，圓C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x－2y＝0，將直線的參數(shù)方程代入圓的直角坐標(biāo)方程中得， (2＋tcosφ)2＋(＋tsinφ)2－2(2＋tcosφ)－2(＋tsinφ)＝0， 整理得，t2＋2tcosφ－3＝0， 設(shè)M，N兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則t1＋t2＝－2cosφ，t1·t2＝－3， ∴|MN|＝|t1

16、－t2|＝ ＝， ∵φ∈，∴cosφ∈，∴|MN|∈[，4]． 考向　極坐標(biāo)、參數(shù)方程的綜合應(yīng)用 例　4　[2018·鹽城模擬]已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝. (1)直接寫出直線l的極坐標(biāo)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程； (2)過曲線C上任意一點(diǎn)P作與直線l夾角為的直線m，設(shè)直線m與直線l的交點(diǎn)為A，求|PA|的最大值． 解　(1)由(t為參數(shù))，得l的普通方程為2x＋y－6＝0，令x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得直線l的極坐標(biāo)方程為2ρcosθ＋ρsinθ－6＝0，由曲線C的極坐標(biāo)方程，知ρ2＋3

17、ρ2cos2θ＝4，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＋＝1. (2)由(1)，知直線l的普通方程為2x＋y－6＝0，設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P(cosα，2sinα)，點(diǎn)P到直線l的距離d＝. 由題意得|PA|＝＝， ∴當(dāng)sin＝－1時(shí)，|PA|取得最大值，最大值為. 觸類旁通 極坐標(biāo)與參數(shù)方程綜合應(yīng)用中注意的問題 (1)在已知極坐標(biāo)方程求曲線交點(diǎn)、距離、線段長、切線等幾何問題時(shí)，如果不能直接用極坐標(biāo)解決，或用極坐標(biāo)解決較麻煩時(shí)，可將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程解決．轉(zhuǎn)化時(shí)要注意兩坐標(biāo)系的關(guān)系，注意ρ，θ的取值范圍，取值范圍不同對(duì)應(yīng)的曲線不同． (2)解答參數(shù)方程的有關(guān)問題時(shí)，首先要弄清

18、參數(shù)是誰，代表的幾何意義是什么；其次要認(rèn)真觀察方程的表現(xiàn)形式，以便于尋找最佳化簡(jiǎn)途徑． 【變式訓(xùn)練4】　在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，若以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρcosθ＋2ρsinθ＋4＝0(ρ≥0)． (1)求曲線C1的普通方程與曲線C2的直角坐標(biāo)方程； (2)若A是曲線C1上的任意一點(diǎn)，B是曲線C2上的任意一點(diǎn)，求線段AB的最小值． 解　(1)由消去參數(shù)t，得曲線C1的普通方程為x2＝4y. 將代入到ρcosθ＋2ρsinθ＋4＝0(ρ≥0)中，得x＋2y＋4＝0， 即曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x＋2y＋4＝0.

19、 (2)解法一：因?yàn)锳是曲線C1上的任意一點(diǎn)，B是曲線C2上的任意一點(diǎn)，所以線段AB的最小值，即與曲線C2平行的直線與曲線C1相切時(shí)，切點(diǎn)到曲線C2的距離，設(shè)切線的方程為x＋2y＋m＝0， 由消去y得x2＋2x＋2m＝0， 所以Δ＝22－4×1×2m＝0，得m＝， 因此切點(diǎn)為，其到直線C2的距離d＝＝，即|AB|min＝. 解法二：因?yàn)锳是曲線C1上的任意一點(diǎn)，B是曲線C2上的任意一點(diǎn)， 所以可設(shè)點(diǎn)A(4t,4t2)，線段AB的最小值即點(diǎn)A到直線C2的距離d的最小值， 所以d＝＝， 當(dāng)t＝－時(shí)，dmin＝，即|AB|min＝. 核心規(guī)律 參數(shù)方程與普通方程互化的方法

20、(1)參數(shù)方程化為普通方程：化參數(shù)方程為普通方程的基本思路是消去參數(shù)，常用的消參方法有代入消去法、加減消去法、恒等式(三角的或代數(shù)的)消去法． (2)普通方程化為參數(shù)方程：化普通方程為參數(shù)方程的基本思路是引入?yún)?shù)，即選定合適的參數(shù)t，先確定一個(gè)關(guān)系x＝f(t)(或y＝φ(t))，再代入普通方程F(x，y)＝0，求得另一關(guān)系y＝φ(t)(或x＝f(t))． 滿分策略 參數(shù)方程應(yīng)用中的注意事項(xiàng) (1)參數(shù)方程通過代入消元或加減消元消去參數(shù)化為普通方程，要注意普通方程與原參數(shù)方程的取值范圍保持一致． (2)普通方程化為參數(shù)方程需要引入?yún)?shù)，選擇的參數(shù)不同，所得的參數(shù)方程也不一樣．一般地，常

21、選擇的參數(shù)有角、有向線段的數(shù)量、斜率，某一點(diǎn)的橫坐標(biāo)(或縱坐標(biāo))． (3)常見曲線的參數(shù)方程中的參數(shù)都有幾何意義，注意利用幾何意義常能夠給解題帶來方便. 板塊三　模擬演練·提能增分 [基礎(chǔ)能力達(dá)標(biāo)] 1．[2017·江蘇高考]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，曲線C的參數(shù)方程為(s為參數(shù))．設(shè)P為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l的距離的最小值． 解　直線l的普通方程為x－2y＋8＝0. 因?yàn)辄c(diǎn)P在曲線C上，設(shè)P(2s2,2s)， 從而點(diǎn)P到直線l的距離d＝ ＝. 當(dāng)s＝時(shí)，dmin＝. 因此當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,4)時(shí)，曲線C上的點(diǎn)P到直線l的距

22、離取到最小值. 2．[2017·全國卷Ⅲ]在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l2的參數(shù)方程為(m為參數(shù))．設(shè)l1與l2的交點(diǎn)為P，當(dāng)k變化時(shí)，P的軌跡為曲線C. (1)寫出C的普通方程； (2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)l3：ρ(cosθ＋sinθ)－＝0，M為l3與C的交點(diǎn)，求M的極徑． 解　(1)消去參數(shù)t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)； 消去參數(shù)m得l2的普通方程l2：y＝(x＋2)． 設(shè)P(x，y)，由題設(shè)得 消去k得x2－y2＝4(y≠0)， 所以C的普通方程為x2－y2＝4(y≠0)． (2)C的極坐標(biāo)方程

23、為ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)， 聯(lián)立得 cosθ－sinθ＝2(cosθ＋sinθ)． 故tanθ＝－，從而cos2θ＝，sin2θ＝. 代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5， 所以交點(diǎn)M的極徑為. 3．[2018·安陽模擬]已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，兩種坐標(biāo)系中的長度單位相同，圓C的直角坐標(biāo)系方程為x2＋y2＋2x－2y＝0，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，射線OM的極坐標(biāo)方程為θ＝. (1)求圓C和直線l的極坐標(biāo)方程； (2)已知射線OM與圓C的交點(diǎn)為O，P，與直線l的交點(diǎn)為Q，求線段PQ的長

24、． 解　(1)∵圓C的直角坐標(biāo)系方程為x2＋y2＋2x－2y＝0， ∴圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2＋2ρcosθ－2ρsinθ＝0， 化簡(jiǎn)得ρ＋2cosθ－2sinθ＝0，即ρ＝2sin. ∵直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))， 消參得：x－y＋1＝0， ∴直線l的極坐標(biāo)方程為ρcosθ－ρsinθ＋1＝0， 即ρ＝. (2)當(dāng)θ＝時(shí)，|OP|＝2sin＝2， 故點(diǎn)P的極坐標(biāo)為， |OQ|＝＝＝， 故點(diǎn)Q的極坐標(biāo)為， |PQ|＝|OP|－|OQ|＝2－＝ 故線段PQ的長為. 4．[2018·長沙模擬]以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，且兩個(gè)坐標(biāo)系取相等的長度單位

25、．已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，0<φ<π)，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos2θ＝4sinθ. (1)求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè)直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)φ變化時(shí)，求|AB|的最小值． 解　(1)由(t為參數(shù)，0<φ<π)，消去t，得xcosφ－ysinφ＋sinφ＝0， 所以直線l的普通方程為xcosφ－ysinφ＋sinφ＝0. 由ρcos2θ＝4sinθ，得(ρcosθ)2＝4ρsinθ， 把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入上式，得x2＝4y， 所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＝4y. (2)將直線l的參數(shù)方程代入x2＝4y，得t2si

26、n2φ－4tcosφ－4＝0， 設(shè)A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2， 則t1＋t2＝，t1t2＝－， 所以|AB|＝|t1－t2|＝ ＝＝. 當(dāng)φ＝時(shí)，|AB|取得最小值，最小值為4. 5．[2018·榆林模擬]在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，a>0)．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos＝－2. (1)設(shè)P是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)a＝2時(shí)，求點(diǎn)P到直線l的距離的最小值； (2)若曲線C上的所有點(diǎn)均在直線l的右下方，求a的取值范圍． 解　(1)由ρcos＝－2，得(ρcosθ－ρsinθ)＝－2， 化成直

27、角坐標(biāo)方程，得(x－y)＝－2，即直線l的方程為x－y＋4＝0. 依題意，設(shè)P(2cost,2sint)，則點(diǎn)P到直線l的距離d＝＝. 當(dāng)t＋＝2kπ＋π，即t＝2kπ＋，k∈Z時(shí)，dmin＝2－2. 故點(diǎn)P到直線l的距離的最小值為2－2. (2)∵曲線C上的所有點(diǎn)均在直線l的右下方， ∴對(duì)?t∈R，有acost－2sint＋4>0恒成立， 即cos(t＋φ)>－4恒成立， ∴<4，又a>0，∴0

28、)若α＝，求線段AB的中點(diǎn)M的直角坐標(biāo)； (2)若|PA|·|PB|＝|OP|2，其中P(2，)，求直線l的斜率． 解　(1)將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程是＋y2＝1. 當(dāng)α＝時(shí)，直線l的方程為(t為參數(shù))， 代入曲線C的普通方程＋y2＝1，得13t2＋56t＋48＝0， 設(shè)直線l上的點(diǎn)A，B，M對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，t0. 則t0＝＝－，所以點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為. (2)設(shè)直線l上的點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2. 將代入曲線C的普通方程＋y2＝1， 得(cos2α＋4sin2α)t2＋(8sinα＋4cosα)t＋12＝0， 因?yàn)閨PA|·|PB|＝|t1t2|＝，|OP|2＝7， 所以＝7，得tan2α＝. 結(jié)合Δ＝32cosα(2sinα－cosα)>0可知tanα＝. 所以直線l的斜率為. 12