（全國版）2019版高考數(shù)學一輪復習 第7章 立體幾何 第1講 空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖學案

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1、 第1講　空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖 板塊一　知識梳理·自主學習 [必備知識] 考點1　簡單幾何體 1．簡單旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征 (1)圓柱可以由矩形繞其任一邊旋轉(zhuǎn)得到； (2)圓錐可以由直角三角形繞其直角邊旋轉(zhuǎn)得到； (3)圓臺可以由直角梯形繞直角腰或等腰梯形繞上下底中點連線旋轉(zhuǎn)得到，也可由平行于圓錐底面的平面截圓錐得到； (4)球可以由半圓或圓繞直徑旋轉(zhuǎn)得到． 2．簡單多面體的結(jié)構(gòu)特征 (1)棱柱的側(cè)棱都平行且相等，上下底面是全等的多邊形； (2)棱錐的底面是任意多邊形，側(cè)面是有一個公共點的三角形； (3)棱臺可由平行于棱錐底面的平面截棱錐得到，其上下底面

2、是相似多邊形． 考點2　直觀圖 1．畫法：常用斜二測畫法． 2．規(guī)則 (1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直． (2)原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標軸．平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话耄? 考點3　三視圖 1．幾何體的三視圖包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖，分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫出的輪廓線． 說明：正視圖也稱主視圖，側(cè)視圖也稱左視圖． 2．三視圖的畫法 (1)基本要求：長對正，高平齊，寬相

3、等． (2)畫法規(guī)則：正側(cè)一樣高，正俯一樣長，側(cè)俯一樣寬；看不到的線畫虛線． [必會結(jié)論] 1．斜二測畫法中的“三變”與“三不變” “三變” “三不變” 2．直觀圖與原圖形面積的關(guān)系 S直觀圖＝S原圖形(或S原圖形＝2S直觀圖)． [考點自測]　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)球的任何截面都是圓．(　　) (2)有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．(　　) (3)夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體還是圓柱．(　　) (4)上下底面是兩個平行的圓面的旋轉(zhuǎn)體是圓臺．(　　) (5

4、)在用斜二測畫法畫水平放置的∠A時，若∠A的兩邊分別平行于x軸和y軸，且∠A ＝ 90°，則在直觀圖中∠A＝45°.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× 2．[2018·山西模擬]如圖，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形，粗實線畫出的是一個幾何體的三視圖，則這個幾何體是(　　) A.三棱錐 B．三棱柱 C．四棱錐 D．四棱柱 答案　B 解析　由題知，該幾何體的三視圖為一個三角形，兩個四邊形，經(jīng)分析可知該幾何體為三棱柱．故選B. 3．[課本改編]如圖，直觀圖所表示的平面圖形是(　　) A.正三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．直角三角形

5、 答案　D 解析　由直觀圖中，A′C′∥y′軸，B′C′∥x′軸，還原后如圖AC∥y軸，BC∥x軸．所以△ABC是直角三角形．故選D. 4．[2018·沈陽模擬]一個錐體的正視圖和側(cè)視圖如圖所示，下面選項中，不可能是該錐體的俯視圖的是(　　) 答案　C 解析　若俯視圖為選項C，側(cè)視圖的寬應為俯視圖中三角形的高，所以俯視圖不可能是選項C. 5．[2018·寧德質(zhì)檢]如圖是正方體截去陰影部分所得的幾何體，則該幾何體的側(cè)視圖是(　　) 答案　C 解析　此幾何體側(cè)視圖是從左邊向右邊看，故選C. 板塊二　典例探究·考向突破 考向　空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征　 　　　　　　　

6、　　　　　　　　　　　　　 例1　下列說法正確的是(　　) A．有兩個平面互相平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱 B．四棱錐的四個側(cè)面都可以是直角三角形 C．有兩個平面互相平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺 D．棱臺的各側(cè)棱延長后不一定交于一點 答案　B 解析　A錯，如圖1；B正確，如圖2，其中底面ABCD是矩形，可證明∠PAB，∠PCB都是直角，這樣四個側(cè)面都是直角三角形；C錯，如圖3；D錯，由棱臺的定義知，其側(cè)棱必相交于同一點． 觸類旁通 解決與空間幾何體結(jié)構(gòu)特征有關(guān)問題的技巧 (1)熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，

7、變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判定． (2)通過反例對結(jié)構(gòu)特征進行辨析，要說明一個命題是錯誤的，只要舉出一個反例即可． 【變式訓練1】　以下命題： ①以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐； ②以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺； ③圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓； ④一個平面截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺． 其中正確命題的個數(shù)為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　A 解析　命題①錯，因為這條邊若是直角三角形的斜邊，則得不到圓錐；命題②錯，因為這條腰必須是垂直于兩底的腰；命題③錯，因為圓柱、圓錐、圓臺的底面都

8、是圓面；命題④錯，必須用平行于圓錐底面的平面截圓錐才可以．故選A. 考向　空間幾何體的三視圖 命題角度1　由空間幾何體的直觀圖識別三視圖　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例2　[2018·臨沂模擬]如圖甲，將一個正三棱柱ABC－DEF截去一個三棱錐A－BCD，得到幾何體BCDEF，如圖乙，則該幾何體的正視圖(主視圖)是(　　) 答案　C 解析　由于三棱柱為正三棱柱，故平面ADEB⊥平面DEF，△DEF是等邊三角形，所以CD在后側(cè)面上的投影為AB的中點與D的連線，CD的投影與底面不垂直．故選C. 命題角度2　由空間幾何體的三視圖還原直觀圖 例3　[2017·浙江高考

9、]某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是(　　) A.＋1 B.＋3 C.＋1 D.＋3 答案　A 解析　由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個底面半徑為1，高為3的圓錐的一半與一個底面為直角邊長是的等腰直角三角形，高為3的三棱錐的組合體， ∴該幾何體的體積 V＝×π×12×3＋××××3＝＋1. 故選A. 命題角度3　由兩個視圖補畫第三個視圖 例4　[2016·天津高考]將一個長方體沿相鄰三個面的對角線截去一個棱錐，得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)(左)視圖為(　　) 答案　B 解析　由幾何體的正視圖

10、、俯視圖以及題意可畫出幾何體的直觀圖，如圖所示． 從左側(cè)觀察直觀圖，可知截面體現(xiàn)為從左上到右下的虛線．故選B. 觸類旁通 三視圖問題的常見類型及求解策略 (1)在分析空間幾何體的三視圖時，先根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面，然后根據(jù)正視圖或側(cè)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征，調(diào)整實線和虛線所對應的棱、面的位置，再確定幾何體的形狀，即可得到結(jié)果． (2)在由三視圖還原空間幾何體的實際形狀時，要從三個視圖綜合考慮，一般是以正視圖和俯視圖為主，結(jié)合側(cè)視圖進行綜合考慮． 考向　空間幾何體的直觀圖　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例5　[2018·桂林模擬]已知正三角

11、形ABC的邊長為a，那么△ABC的平面直觀圖△A′B′C′的面積為(　　) A.a2 B.a2 C.a2 D.a2 答案　D 解析　如圖①、②所示的平面圖形和直觀圖． 由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a，在圖②中作C′D′⊥A′B′于D′，則C′D′＝O′C′＝a. ∴S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×a×a＝a2. 　若本例改為“△A1B1C1是邊長為a的正三角形，且△A1B1C1是△ABC的直觀圖”，則△ABC的面積為多少？ 解　 在△A1D1C1中，由正弦定理＝，得x＝a，∴S△ABC＝×a×a＝a2. 【變式訓練2】　如圖，矩形O′A

12、′B′C′是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6，O′C′＝2，則原圖形OABC的面積為(　　) A．24 B．12 C．48 D．20 答案　A 解析　由題意知原圖形OABC是平行四邊形，且OA＝BC＝6，設(shè)平行四邊形OABC的高為OE，則OE××＝O′C′，∵O′C′＝ 2，∴OE＝4，∴S?OABC＝6×4＝24.故選A. 核心規(guī)律 1.掌握棱柱、棱錐的結(jié)構(gòu)特征． 2.旋轉(zhuǎn)體要抓住“旋轉(zhuǎn)”的特點，弄清底面、側(cè)面及其展開圖的形狀． 3.三視圖的畫法：(1)分界線和可見輪廓線用實線，看不見的輪廓線用虛線；(2)理解“長對正、高平齊、寬相等”．

13、 滿分策略 1.臺體可以看成是由錐體截得的，易忽視截面與底面平行且側(cè)棱(母線)延長后必交于一點． 2.空間幾何體不同放置時其三視圖不一定相同． 3.對于簡單組合體，若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線，在三視圖中，易忽視實虛線的畫法. 板塊三　啟智培優(yōu)·破譯高考 易錯警示系列 9 ——三視圖識圖不準致誤　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [2014·湖北高考]在如圖所示的空間直角坐標系Oxyz中，一個四面體的頂點坐標分別是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．給出編號為①、②、③、④的四

14、個圖，則該四面體的正視圖和俯視圖分別為(　　) A．①和② B．③和① C．④和③ D．④和② 錯因分析　本題易出現(xiàn)的錯誤：(1)不能由點的坐標確定點在空間直角坐標系中的位置．(2)不能借助于正方體，由空間幾何體的直觀圖得到它的三視圖．(3)受思維定勢的影響，直觀感覺正視圖為三角形，而無法作出選擇． 解析　在空間直角坐標系中構(gòu)建棱長為2的正方體，設(shè)A(0，0,2)，B(2,2,0)，C(1,2,1)，D(2，2,2)，則ABCD即為滿足條件的四面體，得出正視圖和俯視圖分別為④和②.故選D. 答案　D 答題啟示　在三視圖中，正視圖、側(cè)視圖的高就是空間幾何體的高，正

15、視圖、俯視圖中的長就是空間幾何體的最大長度，側(cè)視圖、俯視圖中的寬就是空間幾何體的最大寬度.在繪制三視圖時，分界線和可見輪廓線都用實線畫出，被遮擋的部分的輪廓線用虛線表示出來. 跟蹤訓練 一個四面體的頂點在空間直角坐標系Oxyz中的坐標分別是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，畫該四面體三視圖中的正視圖時，以zOx平面為投影面，則得到的正視圖可以為(　　) 答案　A 解析　在空間直角坐標系中，易知O(0,0,0)，A(1,0,1)，B(1，1,0)，C(0,1,1)恰為單位正方體的四個頂點，棱BC在zOx平面的投影是看得見的，而OA的投影即它本身，在投影面

16、中是看不見的．故選A. 板塊四　模擬演練·提能增分 [A級　基礎(chǔ)達標] 1．[2018·銀川模擬]三視圖如圖的幾何體是(　　) A.三棱錐 B．四棱錐 C．四棱臺 D．三棱臺 答案　B 解析　幾何體底面為四邊形，側(cè)面是三角形．故選B. 2．如圖是一個物體的三視圖，則此三視圖所描述的物體是下列哪個幾何體？(　　) 答案　D 解析　由三視圖知該幾何體是一個組合體，上部是圓錐，下部是圓柱．故選D. 3．某幾何體的正視圖和側(cè)視圖完全相同，均如圖所示，則該幾何體的俯視圖一定不可能是(　　) 答案　D 解析　幾何體的正視圖和側(cè)視圖完全一樣，則幾何體從

17、正面看和側(cè)面看的長度相等，只有等邊三角形不可能．故選D. 4．[2018·云南玉溪模擬]將長方體截去一個四棱錐后得到的幾何體如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為(　　) 答案　D 解析　根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征進行分析即可．故選D. 5．若某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的直觀圖是(　　) 答案　A 解析　該幾何體是正方體的一部分，結(jié)合側(cè)視圖可知直觀圖為選項A中的圖．故選A. 6．[2017·北京高考]某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長棱的長度為(　　) A.3 B．2 C．2 D．2 答案　B 解析　在正方體中還原該四棱錐，如圖所示， 可知SD為

18、該四棱錐的最長棱． 由三視圖可知正方體的棱長為2，故SD＝＝2.故選B. 7．[2018·河北石家莊質(zhì)檢]一個三棱錐的正視圖和俯視圖如圖所示，則該三棱錐的側(cè)視圖可能為(　　) 答案　D 解析　由題圖可知，該幾何體為如圖所示的三棱錐，其中平面ACD⊥平面BCD.故選D. 8．如圖，正方形OABC的邊長為1 cm，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長為________． 答案　8 cm 解析　將直觀圖還原為平面圖形，如圖． 可知還原后的圖形中， OB＝2，AB＝＝3， 于是周長為2×3＋2×1＝8(cm)． 9．[2018·濟寧模擬]已知四棱錐P

19、－ABCD的三視圖如圖所示，則四棱錐P－ABCD的四個側(cè)面中面積的最大值是________． 答案　6 解析　四棱錐如圖所示，作PN⊥平面ABCD，交DC于點N，PC＝PD＝3，DN＝2，則PN＝＝，AB＝4，BC＝2，BC⊥CD，故BC⊥平面PDC，即BC⊥PC，同理AD⊥PD.設(shè)M為AB的中點，連接PM，MN，則PM＝3，S△PDC＝×4×＝2，S△PBC＝S△PAD＝×2×3＝3，S△PAB＝×4×3＝6，所以四棱錐P－ABCD的四個側(cè)面中面積的最大值是6. 10．[2016·浙江高考]某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的表面積是________cm2，體積

20、是________cm3. 答案　80　40 解析　幾何體的直觀圖如圖： ∴S表＝42×2＋4×2×4＋22×4＝80(cm2)， V＝23＋4×4×2＝40(cm3)． [B級　知能提升] 1．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是BB1，BC的中點，則圖中陰影部分在平面ADD1A1上的投影為(　　) 答案　A 解析　點D在平面ADD1A1上的正投影為點D，點M在平面ADD1A1上的正投影為AA1的中點，點N在平面ADD1A1上的投影為DA的中點，連接三點可知A正確．故選A. 2．[2018·湖南模擬]正方體ABCD－A1B1C1D1中，E

21、為棱BB1的中點(如圖)，用過點A，E，C1的平面截去該正方體的上半部分，則剩余幾何體的左視圖為(　　) 答案　C 解析　過點A，E，C1的截面為AEC1F，如圖，則剩余幾何體的左視圖為選項C中的圖形．故選C. 3.用斜二測畫法畫出的某平面圖形的直觀圖如圖，邊AB平行于y軸，BC，AD平行于x軸．已知四邊形ABCD的面積為2 cm2，則原平面圖形的面積為________． 答案　8 cm2 解析　解法一：依題意可知∠BAD＝45°，則原平面圖形為直角梯形，上下底面的長與BC，AD相等，高為梯形ABCD的高的2倍，所以原平面圖形的面積為8 cm2. 解法二：依題意可知，S

22、直觀圖＝2 cm2， 故S原圖形＝2S直觀圖＝8 cm2. 4.已知某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形，正視圖(或稱主視圖)是一個底邊長為8，高為4的等腰三角形，側(cè)視圖(或稱左視圖)是一個底邊長為6，高為4的等腰三角形． (1)求該幾何體的體積V； (2)求該幾何體的側(cè)面積S. 解　本題考查由三視圖求幾何體的側(cè)面積和體積，由正視圖和側(cè)視圖的三角形結(jié)合俯視圖可知該幾何體是一個底面為矩形，高為4，頂點在底面的射影是矩形中心的四棱錐，如圖． (1)V＝×(8×6)×4＝64. (2)四棱錐的兩個側(cè)面VAD、VBC是全等的等腰三角形，取BC的中點E，連接OE，VE，則△VOE為直角

23、三角形，VE為△VBC邊上的高，VE＝＝4. 同理側(cè)面VAB、VCD也是全等的等腰三角形，AB邊上的高h＝ ＝5. ∴S側(cè)＝2×＝40＋24. 5.[2018·合肥模擬]一個幾何體的三視圖如圖所示．已知正視圖是底邊長為1的平行四邊形，側(cè)視圖是一個長為、寬為1的矩形，俯視圖為兩個邊長為1的正方形拼成的矩形． (1)求該幾何體的體積V； (2)求該幾何體的表面積S. 解　(1)由三視圖可知，該幾何體是一個平行六面體(如圖)，其底面是邊長為1的正方形，高為. 所以V＝1×1×＝. (2)由三視圖可知，該平行六面體中，A1D⊥平面ABCD，CD⊥平面BCC1B1，所以AA1＝2，側(cè)面ABB1A1，CDD1C1均為矩形．S＝2×(1×1＋1×＋1×2)＝6＋2. 21