（浙江專用）2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題六 計數(shù)原理、概率 第1講 排列、組合、二項式定理學(xué)案

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1、第1講　排列、組合、二項式定理 高考定位　1.高考中主要利用計數(shù)原理求解排列數(shù)、涂色、抽樣問題，以小題形式考查；2.二項式定理主要考查通項公式、二項式系數(shù)等知識． 真 題 感 悟 1．(2018·浙江卷)從1，3，5，7，9中任取2個數(shù)字，從0，2，4，6中任取2個數(shù)字，一共可以組成________個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)(用數(shù)字作答)． 解析　若取的4個數(shù)字不包括0，則可以組成的四位數(shù)的個數(shù)為CCA；若取的4個數(shù)字包括0，則可以組成的四位數(shù)的個數(shù)為CCCA.綜上，一共可以組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)為CCA＋CCCA＝720＋540＝1 260. 答案　1 260 2．(2

2、018·浙江卷)二項式的展開式的常數(shù)項是________． 解析　該二項展開式的通項公式為Tr＋1＝Cx＝Cx.令＝0，解得r＝2，所以所求常數(shù)項為C×＝7. 答案　7 3．(2018·全國Ⅰ卷)從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有________種(用數(shù)字填寫答案)． 解析　法一　可分兩種情況：第一種情況，只有1位女生入選，不同的選法有CC＝12(種)；第二種情況，有2位女生入選，不同的選法有CC＝4(種)．根據(jù)分類加法計數(shù)原理知，至少有1位女生入選的不同的選法有16種． 法二　從6人中任選3人，不同的選法有C＝20(種)，從6人中任選3

3、人都是男生，不同的選法有C＝4(種)，所以至少有1位女生入選的不同的選法有20－4＝16(種)． 答案　16 4．(2018·全國Ⅲ卷)的展開式中x4的系數(shù)為(　　) A．10 B．20 C．40 D．80 解析　Tr＋1＝C(x2)5－r＝C2rx10－3r，由10－3r＝4，得r＝2，所以x4的系數(shù)為C×22＝40. 答案　C 考 點 整 合 1．分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理 如果每種方法都能將規(guī)定的事件完成，則要用分類加法計數(shù)原理，將方法種數(shù)相加；如果需要通過若干步才能將規(guī)定的事件完成，則要用分步乘法計數(shù)原理，將各步的方法種數(shù)相乘． 2．排列與組合

4、名稱 排列 組合 相同點 都是從n個不同元素中取m(m≤n)個元素，元素?zé)o重復(fù) 不同點 ①排列與順序有關(guān)；②兩個排列相同，當且僅當這兩個排列的元素及其排列順序完全相同 ①組合與順序無關(guān)； ②兩個組合相同，當且僅當這兩個組合的元素完全相同 3.二項式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn，其中各項的系數(shù)C(k＝0，1，…，n)叫做二項式系數(shù)；展開式中共有n＋1項，其中第k＋1項Tk＋1＝Can－kbk(其中0≤k≤n，k∈N，n∈N*)稱為二項展開式的通項公式. 熱點一　兩個計數(shù)原理 【例1】 (1)(2018·金華質(zhì)檢)從1，1，2

5、，2，3，3六個數(shù)字中取出四個數(shù)字構(gòu)成四位數(shù)，要求相同數(shù)字不能相鄰，則滿足條件的四位數(shù)有________個． (2)在哈爾濱的中央大街的步行街同側(cè)有6塊廣告牌，牌的底色可選用紅、藍兩種顏色，若要求相鄰兩塊牌的底色不都為藍色，則不同的配色方案共有(　　) A．20種 B．21種 C．22種 D．24種 解析　(1)如果取出的數(shù)字是aabb： 第一步，取數(shù)字，有C種取法； 第二步，組成四位數(shù)，有2種排法；共有C×2＝6(種)． 如果取出的數(shù)字是aabc： 第一步，取數(shù)字，有C種取法； 第二步，組成四位數(shù)，先排bc有2種排法，再將兩個a插入到由b，c隔開的三個位置，有C

6、種排法； 共有C×2×C＝18(種)．從而總共有24個滿足條件的四位數(shù)． (2)分類討論． 當廣告牌沒有藍色時，有1種結(jié)果； 當廣告牌有1塊藍色時，有C＝6(種)結(jié)果； 當廣告牌有2塊藍色時，先排4塊紅色，形成5個位置，插入2塊藍色，有C＝10(種)結(jié)果； 當廣告牌有3塊藍色時，先排3塊紅色，形成4個位置，插入3塊藍色，有C＝4(種)結(jié)果； 由于相鄰廣告牌不能同為藍色，所以不可能有4塊藍色廣告牌． 根據(jù)分類加法計數(shù)原理有1＋6＋10＋4＝21(種)結(jié)果．故選B. 答案　(1)24　(2)B 探究提高　(1)在應(yīng)用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理時，一般先分類再分步，每一步

7、當中又可能用到分類加法計數(shù)原理． (2)對于復(fù)雜的兩個原理綜合使用的問題，可恰當列出示意圖或表格，使問題形象化、直觀化． 【訓(xùn)練1】 (1)某學(xué)校高三年級有2個文科班，3個理科班，現(xiàn)每個班指定1人對各班的衛(wèi)生進行檢查，若每班只安排一人檢查，且文科班學(xué)生不檢查文科班，理科班學(xué)生不檢查自己所在的班，則不同的安排方法種數(shù)是(　　) A．24 B．32 C．48 D．84 (2)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五個人玩搶紅包游戲，現(xiàn)有4個紅包，每人最多搶一個，且紅包被全部搶完，4個紅包中有2個6元，1個8元，1個10元(紅包中金額相同視為相同紅包)，則甲、乙都搶到紅包的情況有(　　)

8、 A．18種 B．24種 C．36種 D．48種 解析　(1)首先安排文科學(xué)生，文科兩個班的學(xué)生有A種安排方法，然后安排理科學(xué)生，理科的學(xué)生有A×A種安排方法，利用分步乘法計數(shù)原理可得，不同的安排方法種數(shù)為A×A×A＝24(種)，故選A. (2)若甲、乙搶的是一個6元和一個8元的，剩下2個紅包，被剩下的3人中的2個人搶走，有AA＝12(種)，若甲、乙搶的是一個6元和一個10元的，剩下2個紅包，被剩下的3人中的2個人搶走，有AA＝12(種)，若甲、乙搶的是一個8元和一個10元的，剩下2個紅包，被剩下的3人中的2個人搶走，有AC＝6(種)， 若甲、乙搶的是兩個6元的，剩下2個紅

9、包，被剩下的3人中的2個人搶走，有A＝6(種)， 根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得甲、乙都搶到紅包的情況共有36種．故選C. 答案　(1)A　(2)C 熱點二　排列、組合 【例2】 (1)(2018·杭州調(diào)研)三位女生坐到二排四列的8個位子中，要求同列中最多只有一個女生，同排中任兩個女生不相鄰，則不同的坐法數(shù)為________． (2)(2018·稽陽聯(lián)誼學(xué)校聯(lián)考)將7人分成3組，要求每組至多3人，則不同的分組方法的種數(shù)是________． 解析　(1)由已知有一排有一個女生，另外一排有兩個女生． 選一個女生到其中一排有：CC種方法； 當所選女生在所在排的兩側(cè)時，每種情況下其他兩個女生

10、有2種坐法，共4種方法； 當所選女生在所在排的中間兩個位置時，每種情況下其他兩個女生有4種坐法，共8種方法； 所以共有CC×(4＋8)＝72(種)方法． (2)由題意得3組人數(shù)有3，3，1和3，2，2兩種情況，當3組人數(shù)分別為3，3，1時，有種分組方法；當3組人數(shù)分別為3，2，2時，有種分組方法，所以不同的分組方法的種數(shù)是＋＝175. 答案　(1)72　(2)175 探究提高　求解排列、組合問題的思路：排組分清，加乘明確；有序排列，無序組合；分類相加，分步相乘． 具體地說，解排列、組合的應(yīng)用題，通常有以下途徑 (1)以元素為主體，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素． (2)

11、以位置為主體，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置． (3)先不考慮附加條件，計算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列或組合數(shù)． 解答計數(shù)問題多利用分類討論思想．分類應(yīng)在同一標準下進行，確保“不漏”“不重”． 【訓(xùn)練2】 (1)(2018·麗水測試)將顏色分別為紅色、黃色、藍色的3個球，放入編號為1，2，…，7的七個盒子中，每一個盒子至多放2個球，則不同的放法有(　　) A．98種 B．196種 C．252種 D．336種 (2)用數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，9組成沒有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有________個(用數(shù)字作答)

12、． 解析　(1)若每個盒子最多放一個球，則有A＝210(種)；若有一個盒子放了兩個球，則有CA＝126(種)，故共有210＋126＝336(種)放法，故選D. (2)當不含偶數(shù)時，有A＝120個， 當含有一個偶數(shù)時，有CCA＝960個， 所以這樣的四位數(shù)共有1 080個． 答案　(1)D　(2)1 080 熱點三　二項式定理 【例3】 (1)(2018·寧波調(diào)研)設(shè)(1＋x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，其中x，ai∈R，i＝0，1，…，6.則a2＋a4＋a6＝(　　) A．63 B．64 C．32 D．31 (2)(2018·湖州模擬)在二項式的展開

13、式中，含x的項的二項式系數(shù)是________，系數(shù)是________． 解析　(1)采用賦值法，分別令x＝0，－1，1，可得到 則a2＋a4＋a6＝31，故選D. (2)因為展開式的通項公式Tr＋1＝C(x2)5－r＝(－2)rCx10－3r，令10－3r＝1，所以r＝3，則含x的項的二項式系數(shù)是C＝10，系數(shù)是C(－2)3＝－80. 答案　(1)D　(2)10?。?0 探究提高　(1)在應(yīng)用通項公式時，要注意以下幾點 ①它表示二項展開式的任意項，只要n與k確定，該項就隨之確定； ②Tk＋1是展開式中的第k＋1項，而不是第k項； ③公式中，a，b的指數(shù)和為n，且a，b不能隨便顛

14、倒位置； ④對二項式(a－b)n的展開式的通項公式要特別注意符號問題． (2)在二項式定理的應(yīng)用中，“賦值思想”是一種重要方法，是處理組合數(shù)問題、系數(shù)問題的經(jīng)典方法． 【訓(xùn)練3】 (1)(2018·臺州月考)若二項式的展開式中各項的系數(shù)和為32，則該展開式中含x項的系數(shù)為(　　) A．1 B．5 C．10 D．20 (2)(2018·天津卷)在的展開式中，x2的系數(shù)為________． 解析　(1)令x＝1，則2n＝32，n＝5，所以的展開式的通項公式Tr＋1＝ C＝Cx－.令－＝1，解得r＝1，所以該展開式中含x項的系數(shù)為C＝5.故選B. (2)的展開式的通項Tr＋1

15、＝Cx5－rr＝Cx5－，令5－r＝2，得r＝2，所以x2的系數(shù)為C＝. 答案　(1)B　(2) 1．切實理解“完成一件事”的含義，以確定需要分類還是需要分步進行． 2．分類的關(guān)鍵在于要做到“不重不漏”，分步的關(guān)鍵在于要正確設(shè)計分步的程序，即合理分類，準確分步． 3．解受條件限制的排列、組合題，通常有直接法(合理分類)和間接法(排除法)．分類時標準應(yīng)統(tǒng)一，避免出現(xiàn)重復(fù)或遺漏． 4．對于分配問題，一般先分組，再分配，注意平均分組與不平均分組的區(qū)別，避免重復(fù)或遺漏． 5．二項展開式共有n＋1項；各項的次數(shù)都等于二項式的冪指數(shù)n，等于a與b的指數(shù)的和n. 6．通項Tk＋1＝Can－

16、kbk是(a＋b)n的展開式的第k＋1項，而不是第k項，這里k＝0，1，…，n. 7．區(qū)別(a＋b)n的展開式中“項的系數(shù)”與“二項式系數(shù)”，審題時要仔細．項的系數(shù)與a，b有關(guān)，可正可負，第k＋1項的二項式系數(shù)是C，只與n和k有關(guān)，恒為正. 　 一、選擇題 1．5名學(xué)生進行知識競賽．筆試結(jié)束后，甲、乙兩名參賽者去詢問成績，回答者對甲說：“你們5人的成績互不相同，很遺憾，你的成績不是最好的”；對乙說：“你不是最后一名”．根據(jù)以上信息，這5人的筆試名次的所有可能的種數(shù)是(　　) A．54 B．72 C．78 D．96 解析　由題得甲不是第一，乙不是最后，先排乙，乙得第一

17、，有A＝24(種)，乙沒得第一有3種，再排甲也有3種，余下的有A＝6(種)，故有6×3×3＝54(種)，所以一共有24＋54＝78(種)． 答案　C 2．某公司有五個不同的部門，現(xiàn)有4名在校大學(xué)生來該公司實習(xí)，要求安排到該公司的兩個部門，且每部門安排兩名，則不同的安排方案種數(shù)為(　　) A．60 B．40 C．120 D．240 解析　由題意得，先將4名大學(xué)生平均分為兩組，共有＝3(種)不同的分法； 再將兩組安排在其中的兩個部門，共有3×A＝60(種)不同的安排方法，故選A. 答案　A 3．(2018·蕭山中學(xué)模擬)若a0＋a1(2x－1)＋a2(2x－1)2＋a3(

18、2x－1)3＋a4(2x－1)4＋a5(2x－1)5＝x5，則a3等于(　　) A. B. C. D. 解析　設(shè)2x－1＝t，則x＝. 所以原式可轉(zhuǎn)化為a0＋a1t＋a2t2＋a3t3＋a4t4＋a5t5＝，所以a3＝C·＝，故選C. 答案　C 4．(x＋y)(2x－y)5的展開式中x3y3的系數(shù)為(　　) A．－80 B．－40 C．40 D．80 解析　由二項式定理可得，展開式中含x3y3的項為 x·C(2x)2(－y)3＋y·C(2x)3(－y)2＝40x3y3，則x3y3的系數(shù)為40. 答案　C 5．將A，B，C，D，E這5名同學(xué)從左至右排成

19、一排，則A與B相鄰且A與C之間恰好有一名同學(xué)的排法有(　　) A．18種 B．20種 C．21種 D．22種 解析　當A，C之間為B時，看成一個整體進行排列，共有A·A＝12(種)，當A，C之間不是B時，先在A，C之間插入D，E中的任意一個，然后B在A之前或之后，再將這四個人看成一個整體，與剩余一個進行排列，共有C·A·A＝8(種)，所以共有20種不同的排法． 答案　B 6．若(1－x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，則|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a9|等于(　　) A．1 B．513 C．512 D．511 解析　令x＝0，得a0＝1，令

20、x＝－1，得|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a9|＝[1－(－1)]9－1＝29－1＝511. 答案　D 7．(2018·舟山調(diào)研)已知的展開式中含x的項的系數(shù)為30，則a等于(　　) A. B．－ C．6 D．－6 解析　的展開式通項Tk＋1＝Cx(－1)kak·x－＝(－1)kakCx－k，令－k＝，則k＝1，∴T2＝－aCx，∴－aC＝30，∴a＝－6，故選D. 答案　D 8．《中國詩詞大會》(第二季)亮點頗多，十場比賽每場都有一首特別設(shè)計的開場詩詞，在聲光舞美的配合下，百人團齊聲朗誦，別有韻味．若《將進酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另確定的兩

21、首詩詞排在后六場，且《將進酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》不相鄰且均不排在最后，則后六場的排法有(　　) A．144種 B．288種 C．360種 D．720種 解析　《將進酒》、《望岳》和另確定的兩首詩詞進行全排列共有A種排法，滿足《將進酒》排在《望岳》的前面的排法共有種，再將《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》插排在4個空里(最后一個空不排)，有A種排法，《將進酒》排在《望岳》的前面、《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》不相鄰且均不排在最后，則后六場的排法有×A＝144(種)，故選A. 答案　A 9．(2018·嘉興一中等五校聯(lián)考)的展開式中，x6

22、的系數(shù)為(　　) A．240 B．241 C．－239 D．－240 解析　＝x6，所以x6的系數(shù)為C×(－1)6＋CCx3(－1)1＝－239.故選C. 答案　C 10．為迎接中國共產(chǎn)黨十九大的到來，某校舉辦了“祖國，你好”的詩歌朗誦比賽．該校高三年級準備從包括甲、乙、丙在內(nèi)的7名學(xué)生中選派4名學(xué)生參加，要求甲、乙、丙這3名同學(xué)中至少有1人參加，且當這3名同學(xué)都參加時，甲和乙的朗誦順序不能相鄰，那么選派的4名學(xué)生中不同的朗誦順序的種數(shù)為(　　) A．720 B．768 C．810 D．816 答案　B 二、填空題 11．(2017·浙江卷)已知多項

23、式(x＋1)3(x＋2)2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，則a4＝________，a5＝________． 解析　令x＝0，得a5＝(0＋1)3(0＋2)2＝4， 而(x＋1)3(x＋2)2＝(x＋1)3[(x＋1)2＋2(x＋1)＋1] ＝(x＋1)5＋2(x＋1)4＋(x＋1)3， 則a4＝C＋2C＋C＝5＋8＋3＝16. 答案　16　4 12．(2018·東陽中學(xué)月考)(3b＋2a)6的展開式中的第3項的系數(shù)為________，二項式系數(shù)為________． 解析　由(3b＋2a)6的展開式中的第3項為T3＝C·(3b)4·(2a)2，可得第3項的系數(shù)

24、為C·34·22＝4 860，該項的二項式系數(shù)為C＝15. 答案　4 860　15 13．安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的安排方式共有________種． 解析　只能是一個人完成2項工作，剩下2人各完成一項工作．由此把4項工作分成3份再全排得C·A＝36種． 答案　36 14．(2018·鎮(zhèn)海中學(xué)調(diào)研)若多項式x10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a10(x－1)10，則a0＝________，a2＝________． 解析　因為x10＝[1＋(x－1)]10，所以a0＝1，a2＝C＝45. 答案　1　45 15．(201

25、8·衢州二中模擬)2018北京兩會期間，有甲、乙、丙、丁、戊5位國家部委領(lǐng)導(dǎo)人要去3個分會場發(fā)言(每個會場至少1人)，其中甲和乙要求不在同一分會場，甲和丙必須在同一分會場，則不同的安排方案共有________種(用數(shù)字作答)． 解析　5人去3個會場發(fā)言，每個會場至少1人的分配方式為兩個2人組，一個1人組或一個3人組，兩個1人組兩種，則兩個2人組，一個1人組的安排方法有CA＝18種，一個3人組，兩個1人組的安排方法有CA＝12種，故由分類加法計算原理，共有18＋12＝30種． 答案　30 16．(2017·浙江卷)從6男2女共8名學(xué)生中選出隊長1人，副隊長1人，普通隊員2人組成4人服務(wù)隊，

26、要求服務(wù)隊中至少有1名女生，共有________種不同的選法(用數(shù)字作答)． 解析　總的選法為CCC(種)，其中不滿足條件的選法為CCC(種)．則滿足條件的選法為CCC－CCC＝660(種)． 答案　660 17．(2018·學(xué)軍中學(xué)模擬)若(2x－)n的展開式中所有二項式系數(shù)和為64，則n＝________，展開式中的常數(shù)項是________． 解析　∵的展開式中所有二項式系數(shù)和為2n＝64，則n＝6，＝的展開式的通項公式為Tr＋1＝C·(－1)r·(2x)6－r·x－2r＝C·(－1)r·26－r·x6－3r，令6－3r＝0，求得r＝2，可得展開式中的常數(shù)項是C·24＝240. 答案　6　240 9