2022年高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí) 增分策略 第四篇 第6講 解析幾何

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1、2022年高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí) 增分策略 第四篇 第6講 解析幾何 1．直線的傾斜角與斜率 (1)傾斜角的范圍為[0，π)． (2)直線的斜率 ①定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切值叫這條直線的斜率k，即k＝tan α(α≠90°)；傾斜角為90°的直線沒有斜率；②斜率公式：經(jīng)過兩點P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直線的斜率為k＝(x1≠x2)；③直線的方向向量a＝(1，k)；④應(yīng)用：證明三點共線：kAB＝kBC. [問題1]　(1)直線的傾斜角θ越大，斜率k就越大，這種說法正確嗎？ (2)直線xcos θ＋y－2＝0的傾斜角的范圍是____________

2、________． 2．直線的方程 (1)點斜式：已知直線過點(x0，y0)，其斜率為k，則直線方程為y－y0＝k(x－x0)，它不包括垂直于x軸的直線． (2)斜截式：已知直線在y軸上的截距為b，斜率為k，則直線方程為y＝kx＋b，它不包括垂直于x軸的直線． (3)兩點式：已知直線經(jīng)過P1(x1，y1)、P2(x2，y2)兩點，則直線方程為＝，它不包括垂直于坐標(biāo)軸的直線． (4)截距式：已知直線在x軸和y軸上的截距為a，b，則直線方程為＋＝1，它不包括垂直于坐標(biāo)軸的直線和過原點的直線． (5)一般式：任何直線均可寫成Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)的形式． [問題2]　已

3、知直線過點P(1,5)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則此直線的方程為________________________________________________________________________． 3．點到直線的距離及兩平行直線間的距離 (1)點P(x0，y0)到直線Ax＋By＋C＝0的距離為d＝； (2)兩平行線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離為d＝. [問題3]　兩平行直線3x＋2y－5＝0與6x＋4y＋5＝0間的距離為________． 4．兩直線的平行與垂直 (1)l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2(兩直線斜率存在，

4、且不重合)，則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2；l1⊥l2?k1·k2＝－1. (2)l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則有l(wèi)1∥l2?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0；l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0. 特別提醒：(1)＝≠、≠、＝＝僅是兩直線平行、相交、重合的充分不必要條件；(2)在解析幾何中，研究兩條直線的位置關(guān)系時，有可能這兩條直線重合，而在立體幾何中提到的兩條直線都是指不重合的兩條直線． [問題4]　設(shè)直線l1：x＋my＋6＝0和l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，當(dāng)m＝________時，l1∥l2；當(dāng)m＝________時，l1⊥l2；

5、當(dāng)________時l1與l2相交；當(dāng)m＝________時，l1與l2重合． 5．圓的方程 (1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (2)圓的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，只有當(dāng)D2＋E2－4F>0時，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0才表示圓心為(－，－)，半徑為的圓． [問題5]　若方程a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0表示圓，則a＝________. 6．直線、圓的位置關(guān)系 (1)直線與圓的位置關(guān)系 直線l：Ax＋By＋C＝0和圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)有相交、相離、相切．可從代數(shù)和幾何兩個方

6、面來判斷： ①代數(shù)方法(判斷直線與圓方程聯(lián)立所得方程組的解的情況)：Δ>0?相交；Δ<0?相離；Δ＝0?相切；②幾何方法(比較圓心到直線的距離與半徑的大小)：設(shè)圓心到直線的距離為d，則dr?相離；d＝r?相切． (2)圓與圓的位置關(guān)系 已知兩圓的圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，則①當(dāng)|O1O2|>r1＋r2時，兩圓外離；②當(dāng)|O1O2|＝r1＋r2時，兩圓外切；③當(dāng)|r1－r2|<|O1O2|

7、為A1、A2，P是雙曲線右支上任意一點，則分別以線段PF1、A1A2為直徑的兩圓的位置關(guān)系為________． 7．對圓錐曲線的定義要做到“咬文嚼字”，抓住關(guān)鍵詞，例如橢圓中定長大于定點之間的距離，雙曲線定義中是到兩定點距離之差的“絕對值”，否則只是雙曲線的其中一支．在拋物線的定義中必須注意條件：FD∈/l，否則定點的軌跡可能是過點F且垂直于直線l的一條直線． [問題7]　已知平面內(nèi)兩定點A(0,1)，B(0，－1)，動點M到兩定點A、B的距離之和為4，則動點M的軌跡方程是________． 8．求橢圓、雙曲線及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，一般遵循先定位，再定型，后定量的步驟，即先確定焦點的位置，

8、再設(shè)出其方程，求出待定系數(shù)． (1)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：焦點在x軸上，＋＝1(a>b>0)；焦點在y軸上，＋＝1(a>b>0)． (2)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：焦點在x軸上，－＝1(a>0，b>0)；焦點在y軸上，－＝1(a>0，b>0)． (3)與雙曲線－＝1具有共同漸近線的雙曲線系為－＝λ(λ≠0)． (4)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 焦點在x軸上：y2＝±2px(p>0)； 焦點在y軸上：x2＝±2py(p>0)． [問題8]　與雙曲線－＝1有相同的漸近線，且過點(－3,2)的雙曲線方程為_____________________________________________________

9、___________________． 9．(1)在用圓錐曲線與直線聯(lián)立求解時，消元后得到的方程中要注意二次項的系數(shù)是否為零，利用解的情況可判斷位置關(guān)系：有兩解時相交；無解時相離；有唯一解時，在橢圓中相切．在雙曲線中需注意直線與漸近線的關(guān)系，在拋物線中需注意直線與對稱軸的關(guān)系，而后判斷是否相切． (2)直線與圓錐曲線相交時的弦長問題 斜率為k的直線與圓錐曲線交于兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則所得弦長 |P1P2|＝或|P1P2|＝. (3)過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的直線l交拋物線于C(x1，y1)、D(x2，y2)，則①焦半徑|CF|＝x1＋； ②弦

10、長|CD|＝x1＋x2＋p；③x1x2＝，y1y2＝－p2. [問題9]　已知F是拋物線y2＝x的焦點，A，B是該拋物線上的兩點，|AF|＋|BF|＝3，則線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為________． 例1　已知點P在曲線y＝上，α為曲線在點P處的切線的傾斜角，則α的取值范圍是______． 錯因分析　本題易出現(xiàn)的錯誤有兩個：一是利用導(dǎo)函數(shù)的幾何意義求出曲線在點P處的切線的斜率之后，不能利用基本不等式求出斜率的取值范圍；二是混淆直線傾斜角的取值范圍以及直線的傾斜角和斜率之間的關(guān)系，不能求出傾斜角的取值范圍． 解析　設(shè)曲線在點P處的切線斜率為k， 則k＝y(tǒng)′＝＝， 因為ex＞0

11、，所以由基本不等式， 得k≥ 又k＜0，所以－1≤k＜0， 即－1≤tan α＜0.所以≤α＜π. 答案　[，π) 易錯點2　忽視直線的特殊位置 例2　已知l1：3x＋2ay－5＝0，l2：(3a－1)x－ay－2＝0.求使l1∥l2的a的值． 錯因分析　本題易出現(xiàn)的問題是忽視直線斜率不存在的特殊情況，即忽視a＝0的情況． 解　當(dāng)直線斜率不存在，即a＝0時，有l(wèi)1：3x－5＝0，l2：－x－2＝0，符合l1∥l2； 當(dāng)直線斜率存在時，l1∥l2?－＝?a＝－， 經(jīng)檢驗，a＝－符合題意． 故使l1∥l2的a的值為－或0. 易錯點3　焦點位置考慮不全 例3　已知橢圓＋＝1

12、的離心率等于，則m＝_____________________________. 錯因分析　本題易出現(xiàn)的問題就是誤以為給出方程的橢圓，其焦點在x軸上導(dǎo)致漏解．該題雖然給出了橢圓的方程，但并沒有確定焦點所在坐標(biāo)軸，所以應(yīng)該根據(jù)其焦點所在坐標(biāo)軸進(jìn)行分類討論． 解析?、佼?dāng)橢圓的焦點在x軸上時， 則由方程， 得a2＝4，即a＝2.又e＝＝， 所以c＝，m＝b2＝a2－c2＝22－()2＝1. ②當(dāng)橢圓的焦點在y軸上時，橢圓的方程為＋＝1. 則由方程，得b2＝4，即b＝2. 又e＝＝，故＝， 解得＝，即a＝2b， 所以a＝4.故m＝a2＝16. 綜上，m＝1或16. 答案　1或1

13、6 易錯點4　忽視“判別式”致誤 例4　已知雙曲線x2－＝1，過點A(1,1)能否作直線l，使l與雙曲線交于P、Q兩點，并且A為線段PQ的中點？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由． 錯因分析　只利用根與系數(shù)的關(guān)系考慮中點坐標(biāo)，而忽視直線與雙曲線相交于兩點的條件． 解　設(shè)被A(1,1)所平分的弦所在直線方程為 y＝k(x－1)＋1. 代入雙曲線方程x2－＝1，整理得， (2－k2)x2＋2k(k－1)x－3＋2k－k2＝0， 由Δ＝4k2(k－1)2－4(2－k2)(2k－3－k2)>0， 解得k<. 設(shè)直線與雙曲線交點為M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由根

14、與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝， 點A(1,1)是弦中點，則＝1. ∴＝1，解得k＝2>， 故不存在被點A(1,1)平分的弦． 易錯點5　求離心率范圍忽視特殊情況 例5　雙曲線－＝1 (a>0，b>0)的兩個焦點為F1、F2，若P為雙曲線上一點，且|PF1|＝2|PF2|，則雙曲線離心率的取值范圍為________． 錯因分析　忽視P為雙曲線右頂點的情況，導(dǎo)致離心率范圍縮?。? 解析　設(shè)|PF2|＝m，∠F1PF2＝θ (0<θ≤π)， 當(dāng)點P在右頂點處時，θ＝π. e＝＝＝＝3. 當(dāng)θ≠π時，由條件，得|PF1|＝2m，|F1F2|2＝m2＋(2m)2－4m2cos θ，

15、且||PF1|－|PF2||＝m＝2a. 所以e＝＝＝. 又－1

16、義不明，找錯方程的常數(shù)解． 證明　由題設(shè)，知F(1,0)，直線AB的斜率存在且不為0，設(shè)lAB：y＝k(x－1)(k≠0)，代入y2＝4x， 得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0， 得xM＝＝，又yM＝k(xM－1)＝， 故M(，)． 因為CD⊥AB， 所以kCD＝－.以－代k， 同理，可得N(2k2＋1，－2k)． 所以直線MN的方程為(2k2＋1－)(y＋2k) ＝(－2k－)(x－2k2－1)， 化簡整理，得yk2＋(x－3)k－y＝0，該方程對任意k恒成立，故 解得 故不論k為何值，直線MN恒過點(3,0)． 1．(xx·安徽)過點P(－，－1)的直線l

17、與圓x2＋y2＝1有公共點，則直線l的傾斜角的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 2．(xx·廣東)若實數(shù)k滿足00，b>0)的漸近線與圓(x－2)2＋y2＝2相交，則此雙曲線的離心率的取值范圍是(　　)

18、A．(2，＋∞) B．(1,2) C．(1，) D．(，＋∞) 5．已知點F1、F2是橢圓x2＋2y2＝2的左、右兩個焦點，點P是該橢圓上的一個動點，那么|＋|的最小值是(　　) A．0 B．1 C．2 D．2 6．(xx·課標(biāo)全國Ⅰ)已知拋物線C：y2＝8x的焦點為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點，Q是直線PF與C的一個交點，若＝4，則|QF|等于(　　) A. B. C．3 D．2 7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為x2＋y2－8x＋15＝0，若直線y＝kx－2上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，則k的最大值是________．

19、 8．拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，準(zhǔn)線為l，經(jīng)過F的直線與拋物線交于A、B兩點，交準(zhǔn)線于C點，點A在x軸上方，AK⊥l，垂足為K，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，則△AKF的面積是________． 9．(xx·蘭州、張掖聯(lián)考)如圖，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的直線l依次交拋物線及其準(zhǔn)線于點A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則拋物線的方程是______________． 10．過雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右焦點F向其一條漸近線作垂線，垂足為M，已知∠MFO＝30°(O為坐標(biāo)原點)，則該雙曲線的離心率為________． 11．已

20、知點A(－2,0)，B(2,0)，過點A作直線l與以A，B為焦點的橢圓交于M，N兩點，線段MN的中點到y(tǒng)軸的距離為，且直線l與圓x2＋y2＝1相切，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________． 學(xué)生用書答案精析 6．解析幾何 要點回扣 [問題1]　(1)錯　(2)[0，]∪[，π) [問題2]　5x－y＝0或x＋y－6＝0 [問題3]　 [問題4]　－1　　m≠3且m≠－1　3 [問題5]?。? [問題6]　內(nèi)切 [問題7]　＋＝1 [問題8]?。? [問題9]　 解析　∵|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋＝3， ∴xA＋xB＝. ∴線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為＝.

21、查缺補(bǔ)漏 1．D　[方法一　如圖，過點P作圓的切線PA，PB，切點為A，B. 由題意知|OP|＝2， |OA|＝1， 則sin α＝， 所以α＝，∠BPA＝. 故直線l的傾斜角的取值范圍是. 方法二　設(shè)過點P的直線方程為y＝k(x＋)－1，則由直線和圓有公共點知≤1. 解得0≤k≤.故直線l的傾斜角的取值范圍是[0，]．] 2．A　[因為0

22、F的傾斜角為α，準(zhǔn)線l與x軸交于點B，由題意知，F(xiàn)(2,0)，直線l：x＝－2.又tan α＝－，∴α＝π，∴∠AFB＝，∵|BF|＝4，∴|AB|＝4，即A(－2,4)．∵PA⊥l，∴P(x0，4)，代入y2＝8x得x0＝6，∴|PF|＝x0＋2＝8.] 4．C　[雙曲線的漸近線為bx±ay＝0，因為它與圓(x－2)2＋y2＝0相交，所以圓心(2,0)到該直線的距離小于圓的半徑，即<，整理得b2

23、＋|＝ ＝2 ＝2， ∵點P在橢圓上，∴0≤y≤1. ∴當(dāng)y＝1時， |＋|取最小值為2.] 6．C　[∵＝4，∴||＝4||， ∴＝. 如圖，過Q作QQ′⊥l，垂足為Q′， 設(shè)l與x軸的交點為A，則|AF|＝4， ∴＝＝， ∴|QQ′|＝3，根據(jù)拋物線定義可知|QQ′|＝|QF|＝3，故選C.] 7. 解析　圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－4)2＋y2＝1，圓心為(4,0)． 由題意知(4,0)到kx－y－2＝0的距離應(yīng)不大于2， 即≤2. 整理，得3k2－4k≤0.解得0≤k≤.故k的最大值是. 8．4 解析　設(shè)點A(x1，y1)，其中y1>0.過點B作拋物線的準(zhǔn)

24、線的垂線，垂足為B1，則有 |BF|＝|BB1|；又|CB|＝2|FB|，因此有 |CB|＝2|BB1|，cos∠CBB1＝＝，∠CBB1＝，即直線AB與x軸的夾角為. 又|AF|＝|AK|＝x1＋＝4，因此y1＝4sin＝2，因此△AKF的面積等于 |AK|·y1＝×4×2＝4. 9．y2＝3x 解析　如圖，分別過點A，B作準(zhǔn)線的垂線AE，BD，分別交準(zhǔn)線于點E，D，則|BF|＝|BD|，∵|BC|＝2|BF|， ∴|BC|＝2|BD|，∴∠BCD＝30°，又|AE|＝|AF|＝3， ∴|AC|＝6， 即點F是AC的中點，根據(jù)題意得p＝，∴拋物線的方程是y2＝3x. 10

25、．2 解析　由已知得點F的坐標(biāo)為(c,0)(c＝)， 其中一條漸近線方程為bx－ay＝0， 則|MF|＝＝b， 由∠MFO＝30°可得＝＝cos 30°＝， 所以＝， 所以e＝＝2. 11.＋＝1 解析　根據(jù)題意，知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋2)，①由題意設(shè)橢圓方程為＋＝1(a2＞4)，② 由直線l與圓x2＋y2＝1相切，得＝1，解得k2＝. 將①代入②，得(a2－3)x2＋a2x－a4＋4a2＝0，設(shè)點M的坐標(biāo)為(x1，y1)，點N的坐標(biāo)為(x2，y2)， 由根與系數(shù)的關(guān)系， 得x1＋x2＝－.又線段MN的中點到y(tǒng)軸的距離為，所以|x1＋x2|＝，即－＝－， 解得a2＝8. 所以該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.