（江蘇專用）2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七章 不等式 第41講 簡單的線性規(guī)劃學(xué)案

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1、 第41講　簡單的線性規(guī)劃 考試要求　1.從實際情境中抽象出二元一次不等式(組)，二元一次不等式的幾何意義(A級要求)；2.用平面區(qū)域表示二元一次不等式組(A級要求)；3.從實際情況中抽象出一些簡單的線性規(guī)劃問題，并加以解決(A級要求). 診 斷 自 測 1.(教材改編)已知點A(1，0)，B(－2，m)，若A，B兩點在直線x＋2y＋3＝0的同側(cè)，則m的取值集合是________. 解析　因為A，B兩點在直線x＋2y＋3＝0的同側(cè)，所以把點A(1，0)，B(－2，m)代入可得x＋2y＋3的符號相同，即(1＋2×0＋3)(－2＋2m＋3)>0，解得m>－. 答案　 2.(教材改

2、編)如圖所示，表示陰影部分的二元一次不等式組是________. 解析　不等式y(tǒng)≤2x＋1表示直線y＝2x＋1下方的平面區(qū)域及直線上的點，不等式x＋2y>4表示直線x＋2y＝4上方的平面區(qū)域，所以這兩個平面區(qū)域的公共部分就是所表示的平面區(qū)域. 答案　 3.(2017·全國卷Ⅱ)設(shè)x，y滿足約束條件則z＝2x＋y的最小值是________. 解析　可行域如圖陰影部分所示，當(dāng)直線y＝－2x＋z取到點(－6，－3)時，所求最小值為－15. 答案?。?5 4.(必修5P95習(xí)題11改編)若實數(shù)x，y滿足不等式組則z＝x2＋y2的最小值是________. 解析　作出可行域如圖中陰

3、影部分所示，z＝x2＋y2的最小值表示陰影部分(包含邊界)中的點到原點的距離的最小值的平方，由圖可知直線x－y＋1＝0與直線x＝1的交點(1，2)到原點的距離最近，故z＝x2＋y2的最小值為12＋22＝5. 答案　5 知 識 梳 理 1.二元一次不等式表示的平面區(qū)域 (1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax＋By＋C＝0某一側(cè)所有點組成的平面區(qū)域.我們把直線畫成虛線以表示區(qū)域不包括邊界直線.當(dāng)我們在坐標(biāo)系中畫不等式Ax＋By＋C≥0所表示的 平面區(qū)域時，此區(qū)域應(yīng)包括邊界直線，則把邊界直線畫成實線. (2)由于對直線Ax＋By＋C＝0同一側(cè)的所

4、有點(x，y)，把它的坐標(biāo)(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符號都相同，所以只需在此直線的同一側(cè)取一個特殊點(x0，y0)作為測試點，由Ax0＋By0＋C的符號即可判斷Ax＋By＋C>0表示的直線是Ax＋By＋C＝0哪一側(cè)的平面區(qū)域. 2.線性規(guī)劃相關(guān)概念 名稱 意義 約束條件 由變量x，y組成的不等式(組) 線性約束條件 由x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式組 目標(biāo)函數(shù) 欲求最大值或最小值的函數(shù) 線性目標(biāo)函數(shù) 關(guān)于x，y的一次解析式 可行解 滿足線性約束條件的解 可行域 所有可行解組成的集合 最優(yōu)解 使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解 線性規(guī)劃問

5、題 在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題 3.重要結(jié)論 畫二元一次不等式表示的平面區(qū)域的直線定界，特殊點定域： (1)直線定界：不等式中無等號時直線畫成虛線，有等號時直線畫成實線； (2)特殊點定域：若直線不過原點，特殊點常選原點；若直線過原點，則特殊點常選取(0，1)或(1，0)來驗證. 4.判斷區(qū)域方法 (1)利用“同號上，異號下”判斷二元一次不等式表示的平面區(qū)域： 對于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，則有 ①當(dāng)B(Ax＋By＋C)>0時，區(qū)域為直線Ax＋By＋C＝0的上方； ②當(dāng)B(Ax＋By＋C)<0時，區(qū)域為直線Ax＋By＋C＝0的下方.

6、(2)最優(yōu)解和可行解的關(guān)系： 最優(yōu)解必定是可行解，但可行解不一定是最優(yōu)解.最優(yōu)解不一定唯一，有時唯一，有時有多個. 考點一　二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域 【例1】 (1)(2015·重慶卷改編)若不等式組表示的平面區(qū)域為三角形，且其面積等于，則m的值為________. (2)若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線y＝kx＋分為面積相等的兩部分，則k的值是________. 解析　(1)不等式組表示的平面區(qū)域如圖，則圖中A點縱坐標(biāo)yA＝1＋m，B點縱坐標(biāo)yB＝， C點橫坐標(biāo)xC＝－2m， ∴S△ABD＝S△ACD－S△BCD＝×(2＋2m)×(1＋m)－×(2＋2m)×＝

7、＝， ∴m＋1＝2或－2(舍)，∴m＝1. (2)不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示. 由于直線y＝kx＋過定點.因此只有直線過AB中點時，直線y＝kx＋能平分平面區(qū)域. 因為A(1，1)，B(0，4)，所以AB中點D. 當(dāng)y＝kx＋過點時，＝＋， 所以k＝. 答案　(1)1　(2) 規(guī)律方法　(1)求平面區(qū)域的面積： ①首先畫出不等式組表示的平面區(qū)域，若不能直接畫出，應(yīng)利用題目的已知條件轉(zhuǎn)化為不等式組問題，從而再作出平面區(qū)域； ②對平面區(qū)域進行分析，若為三角形應(yīng)確定底與高，若為規(guī)則的四邊形(如平行四邊形或梯形)，可利用面積公式直接求解，若為不規(guī)則四邊形，可分割成幾個三角形

8、分別求解再求和即可. (2)利用幾何意義求解的平面區(qū)域問題，也應(yīng)作出平面圖形，利用數(shù)形結(jié)合的方法去求解. 【訓(xùn)練1】 (1)若函數(shù)y＝2x圖象上存在點(x，y)滿足約束條件則實數(shù)m的最大值為________. (2)(2018·徐州四校模擬)若不等式組表示的平面區(qū)域是一個三角形及其內(nèi)部，則a的取值范圍是________. 解析　(1)在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝2x的圖象及所表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示. 由圖可知，當(dāng)m≤1時， 函數(shù)y＝2x的圖象上存在點(x，y)滿足約束條件， 故m的最大值為1. (2)不等式x－y＋5≥0和0≤x≤2表示的平面區(qū)域如圖所示.

9、 因為原不等式組表示的平面區(qū)域是一個三角形及其內(nèi)部，所以由圖可知5≤a<7. 答案　(1)1　(2)[5，7) 考點二　求目標(biāo)函數(shù)的最值問題 【例2－1】 (1)(2015·山東卷改編)已知x，y滿足約束條件若z＝ax＋y的最大值為4，則a＝________. (2)已知a>0，x，y滿足約束條件若z＝2x＋y的最小值為1，則a＝________. 解析　(1)不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示. 易知A(2，0)， 由得B(1，1). 由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z. ∴當(dāng)a<0時，z＝ax＋y在O(0，0)或B(1，1)處取得最大值，最大值為zmax＝0或zma

10、x＝a＋1＝4，a＝3，不滿足題意；當(dāng)a>0時，z＝ax＋y在A(2，0)或B(1，1)處取得最大值， ∴2a＝4或a＋1＝4，∴a＝2，a＝3(經(jīng)檢驗舍去)，則a＝2滿足題意. (2)作出不等式組表示的可行域，如圖(陰影部分). 易知直線z＝2x＋y過交點A時，z取最小值， 由得∴zmin＝2－2a＝1， 解得a＝. 答案　(1)2　(2) 規(guī)律方法　(1)先準(zhǔn)確作出可行域，再借助目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求目標(biāo)函數(shù)的最值. (2)當(dāng)目標(biāo)函數(shù)是非線性的函數(shù)時，常利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義來解題，常見代數(shù)式的幾何意義： ①表示點(x，y)與原點(0，0)的距離，表示點(x，y)與點(

11、a，b)的距離； ②表示點(x，y)與原點(0，0)連線的斜率，表示點(x，y)與點(a，b)連線的斜率. (3)當(dāng)目標(biāo)函數(shù)中含有參數(shù)時，要根據(jù)臨界位置確定參數(shù)所滿足的條件. 【例2－2】 已知變量x，y滿足約束條件試求解下列問題. (1)z＝的最大值和最小值； (2)z＝的最大值和最小值； (3)z＝|3x＋4y＋3|的最大值和最小值. 解　作出約束條件表示的可行域如圖中陰影部分所示，易得A(1，1)，B(5，2)，C. (1)z＝表示的幾何意義是可行域中的點(x，y)到原點(0，0)的距離，如圖所示，zmax＝，zmin＝. (2)z＝表示區(qū)域中的點(x，y)與點M(

12、－2，0)連線的斜率，如圖所示.zmax＝kMC＝，zmin＝kMB＝. (3)z＝|3x＋4y＋3|＝5·，而表示區(qū)域中的點(x，y)到直線3x＋4y＋3＝0的距離，如圖所示，zmax＝26，zmin＝10. 規(guī)律方法　(1)此題中與z有關(guān)量的幾何意義不再是縱截距，而是點到點的距離、斜率、點到直線的距離.(2)在第(3)問中才是點到直線的距離. 考點三　可轉(zhuǎn)化線性規(guī)劃的問題 【例3】 已知正數(shù)a，b，c滿足則的取值范圍是________. 解析　條件可化為 設(shè)＝x，＝y(tǒng)，則題目轉(zhuǎn)化為：已知變量x，y滿足求的取值范圍. 作出(x，y)所在的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示. 假設(shè)

13、在y＝ex上一點P(x0，y0)處取得最小值. 則＝，設(shè)g(x)＝，g′(x)＝，易知x＝1時，g(x)取得最小值，故此時＝e，當(dāng)(x，y)對應(yīng)點C時，取得最大值7，所以的取值范圍為[e，7]，即的取值范圍是[e，7]. 答案　[e，7] 【訓(xùn)練2】 若變量a，b滿足約束條件求u＝的最大值. 解　將不等式組中各不等式兩邊同時取以3為底的對數(shù)得再令x＝log3a，y＝log3b，得同時令z＝log3u＝2log3a－log3b＝2x－y，題目就轉(zhuǎn)化為：若x，y滿足約束條件求z＝2x－y的最大值. 作出可行域如圖中陰影部分所示， 將z＝2x－y化為y＝2x－z，平移直線y＝2x－z

14、，當(dāng)直線過點A時，z取得最大值，聯(lián)立，解得A(1，1)，此時zmax＝2×1－1＝1，umax＝3. 考點四　線性規(guī)劃的實際應(yīng)用問題 【例4】 某玩具生產(chǎn)公司每天計劃生產(chǎn)衛(wèi)兵、騎兵、傘兵這三種玩具共100個，生產(chǎn)一個衛(wèi)兵需5分鐘，生產(chǎn)一個騎兵需7分鐘，生產(chǎn)一個傘兵需4分鐘，已知總生產(chǎn)時間不超過10小時.若生產(chǎn)一個衛(wèi)兵可獲利潤5元，生產(chǎn)一個騎兵可獲利潤6元，生產(chǎn)一個傘兵可獲利潤3元. (1)試用每天生產(chǎn)的衛(wèi)兵個數(shù)x與騎兵個數(shù)y表示每天的利潤ω(元)； (2)怎樣分配生產(chǎn)任務(wù)才能使每天的利潤最大，最大利潤是多少？ 解　(1)依題意每天生產(chǎn)的傘兵個數(shù)為100－x－y， 所以利潤ω＝5x＋

15、6y＋3(100－x－y)＝2x＋3y＋300. (2)約束條件為 整理得 目標(biāo)函數(shù)為ω＝2x＋3y＋300， 作出可行域，如圖所示， 作初始直線l0：2x＋3y＝0，平移l0，當(dāng)l0經(jīng)過點A時，ω有最大值， 由得 ∴最優(yōu)解為A(50，50)，此時ωmax＝550元. 故每天生產(chǎn)衛(wèi)兵50個，騎兵50個，傘兵0個時利潤最大，且最大利潤為550元. 規(guī)律方法　解線性規(guī)劃應(yīng)用問題的一般步驟 (1)審題：仔細閱讀材料，抓住關(guān)鍵，準(zhǔn)確理解題意，明確有哪些限制條件，借助表格或圖形理清變量之間的關(guān)系. (2)設(shè)元：設(shè)問題中起關(guān)鍵作用(或關(guān)聯(lián)較多)的量為未知量x，y，并列出相應(yīng)的

16、不等式組和目標(biāo)函數(shù). (3)作圖：準(zhǔn)確作出可行域，平移找點(最優(yōu)解). (4)求解：代入目標(biāo)函數(shù)求解(最大值或最小值). (5)檢驗：根據(jù)結(jié)果，檢驗反饋. 一、必做題 1.若點(m，1)在不等式2x＋3y－5>0所表示的平面區(qū)域內(nèi)，則m的取值范圍是________. 解析　由2m＋3－5>0，得m>1. 答案　(1，＋∞) 2.(2017·北京卷)若x，y滿足則x＋2y的最大值為________. 解析　畫出可行域，設(shè)z＝x＋2y，則y＝－x＋.當(dāng)直線y＝－x＋過C(3，3)時，z取得最大值9. 答案　9 3.直線2x＋y－10＝0與不等式組表示的平面區(qū)域的公共點

17、有________個. 解析　由不等式組畫出可行域的平面區(qū)域如圖(陰影部分). 直線2x＋y－10＝0恰過點A(5，0)，且其斜率k＝－2

18、______. 解析　由約束條件作出可行域如圖所示，目標(biāo)函數(shù)可化為y＝－x＋z，在圖中畫出直線y＝－x， 平移該直線，易知經(jīng)過點A時z最小. 又知點A的坐標(biāo)為(3，0)， ∴zmin＝2×3＋5×0＝6. 答案　6 6.(2016·江蘇卷)已知實數(shù)x，y滿足則x2＋y2的取值范圍是________. 解析　已知不等式組所表示的平面區(qū)域如圖： x2＋y2表示原點到可行域內(nèi)的點的距離的平方. 解方程組得A(2，3). 由圖可知(x2＋y2)min＝＝， (x2＋y2)max＝|OA|2＝22＋32＝13. 答案　 7.(2018·蘇北三市質(zhì)檢)若實數(shù)x，y滿足約束

19、條件則|3x－4y－10|的最大值為________. 解析　作出實數(shù)x，y在約束條件下的平面區(qū)域(如圖所示)，令z＝3x－4y－10， 則平移直線3x－4y＝0經(jīng)過點A(1，0)時，zmax＝3－10＝－7；平移直線3x－4y＝0經(jīng)過點B時，zmin＝－3－10＝－，即－≤z＝3x－4y－10≤－7，從而7≤|3x－4y－10|≤， 所求的|3x－4y－10|的最大值為. 答案　 8.已知變量x，y滿足約束條件若z＝x－2y的最大值與最小值分別為a，b，且方程x2－kx＋1＝0在區(qū)間(b，a)上有兩個不同實數(shù)解，則實數(shù)k的取值范圍是________. 解析　作出可行域，如圖所

20、示， 則目標(biāo)函數(shù)z＝x－2y在點(1，0)處取得最大值1，在點(－1，1)處取得最小值－3， ∴a＝1，b＝－3，從而可知方程x2－kx＋1＝0在區(qū)間(－3，1)上有兩個不同實數(shù)解. 令f(x)＝x2－kx＋1， 則?－

21、解得P(－1，1)，由 解得Q(2，－2). ∴AB＝PQ＝＝3. 答案　3 10.某客運公司用A、B兩種型號的車輛承擔(dān)甲、乙兩地間的長途客運業(yè)務(wù)，每車每天往返一次.A、B兩種車輛的載客量分別為36人和60人，從甲地去乙地的營運成本分別為1 600元/輛和2 400元/輛，公司擬組建一個不超過21輛車的客運車隊，并要求B型車不多于A型車7輛.若每天運送人數(shù)不少于900，且使公司從甲地去乙地的營運成本最小，那么應(yīng)配備A型車、B型車各多少輛？ 解　設(shè)A型、B型車輛分別為x、y輛，相應(yīng)營運成本為z元，則z＝1 600x＋2 400y. 由題意得x，y滿足約束條件 作可行域如圖所示，可行

22、域的三個頂點坐標(biāo)分別為P(5，12)，Q(7，14)，R(15，6). 由圖可知，當(dāng)直線z＝1 600x＋2 400y經(jīng)過可行域的點P時，直線z＝1 600x＋2 400y在y軸上的截距最小，即z取得最小值. 故應(yīng)配備A型車5輛、B型車12輛，可以滿足公司從甲地去乙地的營運成本最小. 二、選做題 11.若實數(shù)x，y滿足x2＋y2≤1，則|2x＋y－2|＋|6－x－3y|的最小值是________. 解析　∵x2＋y2≤1，∴6－x－3y>0，令t＝|2x＋y－2|＋|6－x－3y|，當(dāng)2x＋y－2≥0時，t＝x－2y＋4.點(x，y)可取區(qū)域Ⅰ內(nèi)的點(含邊界). 通過作圖可

23、知，當(dāng)直線t＝x－2y＋4過點A時，t取最小值，∴tmin＝－＋4＝3. 當(dāng)2x＋y－2<0時，t＝8－3x－4y，點(x，y)可取區(qū)域Ⅱ內(nèi)的點(不含線段AB). 通過作圖可知，此時t>8－3×－4×＝3. 綜上，tmin＝3，即|2x＋y－2|＋|6－x－3y|的最小值是3. 答案　3 12.(2016·天津卷)某化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料，需要A，B，C三種主要原料.生產(chǎn)1車皮甲種肥料和生產(chǎn)1車皮乙種肥料所需三種原料的噸數(shù)如下表所示： 　　　　原料 肥料　　　 　 A B C 甲 4 8 3 乙 5 5 10 現(xiàn)有A種原料200噸，B種

24、原料360噸，C種原料300噸.在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)甲、乙兩種肥料.已知生產(chǎn)1車皮甲種肥料，產(chǎn)生的利潤為2萬元；生產(chǎn)1車皮乙種肥料，產(chǎn)生的利潤為3萬元.分別用x，y表示計劃生產(chǎn)甲、乙兩種肥料的車皮數(shù). (1)用x，y列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域； (2)問分別生產(chǎn)甲、乙兩種肥料各多少車皮，能夠產(chǎn)生最大的利潤？并求出此最大利潤. 解　(1)由已知，x，y滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式為 該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域為圖①中的陰影部分. 圖① (2)設(shè)利潤為z萬元，則目標(biāo)函數(shù)為z＝2x＋3y. 考慮z＝2x＋3y，將它變形為y＝－x＋，它的圖象是斜率為－，隨z變化的一簇平行直線，為直線在y軸上的截距，當(dāng)取最大值時，z的值最大.根據(jù)x，y滿足的約束條件，由圖②可知，當(dāng)直線z＝2x＋3y經(jīng)過可行域上的點M時，截距最大，即z最大. 圖② 解方程組 得點M的坐標(biāo)為(20，24)， 所以zmax＝2×20＋3×24＝112. 答：生產(chǎn)甲種肥料20車皮，乙種肥料24車皮時利潤最大，且最大利潤為112萬元. 16