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1、不等式選講第一節(jié) 絕對值不等式本節(jié)主要包括2個知識點：1.絕對值不等式的解法；2.絕對值三角不等式.突破點(一)絕對值不等式的解法(1)含絕對值的不等式|x|a的解集不等式a0a0a0|x|aR(2)|axb|c，|axb|c(c0)型不等式的解法|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc.(3)|xa|xb|c，|xa|xb|c(c0)型不等式的解法利用絕對值不等式的幾何意義求解利用零點分段法求解構造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解1判斷題(1)不等式|x|a的解集為x|ax3的解集為_解析：由|2x1|3得，2x13，即x2.答案：x|x2(3)若關于x的不等式|ax2|3的解集為，則
2、a_.解析：依題意，知a0.|ax2|33ax231ax0時，不等式的解集為，從而有此方程組無解當a0時，不等式的解集為，從而有解得a3.答案：3(4)不等式|x1|x2|1的解集是_解析：f(x)|x1|x2|當1x2時，由2x11，解得1x1恒成立所以不等式的解集為x|x1答案：x|x1絕對值不等式的解法典例解下列不等式：(1)|2x1|2|x1|0.(2)|x3|2x1|2|x1|，兩邊平方得4x24x14(x22x1)，解得x，所以原不等式的解集為.法二：原不等式等價于或或解得x，所以原不等式的解集為.(2)當x3時，原不等式化為(x3)(12x)1，解得x10，x3.當3x時，原不等
3、式化為(x3)(12x)1，解得x，3x.當x時，原不等式化為(x3)(12x)2，x2.綜上可知，原不等式的解集為.方法技巧絕對值不等式的常用解法(1)基本性質(zhì)法對aR，|x|aaxaxa.(2)平方法兩邊平方去掉絕對值符號(3)零點分區(qū)間法含有兩個或兩個以上絕對值符號的不等式，可用零點分區(qū)間法去掉絕對值符號，將其轉(zhuǎn)化為與之等價的不含絕對值符號的不等式(組)求解1求不等式|x1|x5|2的解集解：不等式|x1|x5|2等價于或或即或或故原不等式的解集為x|x1x|1x4x|x42解不等式x|2x3|2.解：原不等式可化為或解得x5或x.所以原不等式的解集是.3已知函數(shù)f(x)|x1|xa|，
4、g(x)|x2|1. (1)當a2時，解不等式f(x)5；(2)若對任意x1R，都存在x2R，使得g(x2)f(x1)成立，求實數(shù)a的取值范圍解：(1)當a2時，f(x)|x1|x2|f(x)5或或解得x2或x3，不等式f(x)5的解集為(，32，)(2)對任意x1R，都存在x2R，使得g(x2)f(x1)成立，y|yf(x)y|yg(x)f(x)|x1|xa|(x1)(xa)|a1|(當且僅當(x1)(xa)0時等號成立)，g(x)|x2|11，|a1|1，a11或a11，a0或a2，實數(shù)a的取值范圍為(，20，)4(2018湖北黃石調(diào)研)已知函數(shù)f(x)|x1|x3|.(1)解不等式f(x
5、)8；(2)若不等式f(x)a23a的解集不是空集，求實數(shù)a的取值范圍解：(1)f(x)|x1|x3|當x1時，由2x28，解得x3.不等式f(x)8的解集為x|x5或x3(2)由(1)得f(x)min4.又不等式f(x)4，解得a4或a1，即實數(shù)a的取值范圍是(，1)(4，)突破點(二)絕對值三角不等式 絕對值三角不等式定理定理1如果a，b是實數(shù)，則|ab|a|b|，當且僅當ab0時，等號成立定理2如果a，b，c是實數(shù)，那么|ac|ab|bc|，當且僅當(ab)(bc)0時，等號成立1判斷題(1)|ab|ab|2a|.()(2)不等式|ab|a|b|等號成立的條件是ab0.()答案：(1)(
6、2)2填空題(1)函數(shù)y|x4|x4|的最小值為_解析：|x4|x4|(x4)(x4)|8，即函數(shù)y的最小值為8.答案：8(2)設a，b為滿足ab|ab|ab|ab|ab|a|b| |ab|a|b|解析：ab|ab|.答案：(3)若存在實數(shù)x使|xa|x1|3成立，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：|xa|x1|(xa)(x1)|a1|，要使|xa|x1|3有解，可使|a1|3，3a13，2a4.答案：2,4證明絕對值不等式例1已知x，yR，且|xy|，|xy|，求證：|x5y|1.證明|x5y|3(xy)2(xy)|.由絕對值不等式的性質(zhì)，得|x5y|3(xy)2(xy)|3(xy)|2(xy)|
7、3|xy|2|xy|321.即|x5y|1.方法技巧證明絕對值不等式的三種主要方法(1)利用絕對值的定義去掉絕對值符號，轉(zhuǎn)化為普通不等式再證明(2)利用三角不等式|a|b|ab|a|b|進行證明(3)轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，利用數(shù)形結合進行證明絕對值不等式的恒成立問題例2(2018湖南五市十校聯(lián)考)設函數(shù)f(x)|xa|x3|，a3.(1)若不等式f(x)4的解集為，求a的值；(2)若對xR，不等式f(x)|x3|1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍解(1)法一：由已知得f(x)當x3時，2xa34，得x.已知f(x)4的解集為，則顯然a2.法二：由已知易得f(x)|xa|x3|的圖象關于直線x對稱，又f(x
8、)4的解集為，則a3，即a2.(2)法一：不等式f(x)|x3|1恒成立，即|xa|2|x3|1恒成立當xa時，3xa50恒成立，得3aa50，解得a；當ax0)(1)證明：f(x)2；(2)若f(3)0，有f(x)|xa|a2.當且僅當a1時等號成立所以f(x)2.(2)f(3)|3a|.當a3時，f(3)a，由f(3)5得3a.當0a3時，f(3)6a，由f(3)5得0)(1)當m1時，求不等式f(x)1的解集；(2)對于任意實數(shù)x，t，不等式f(x)|2t|t1|恒成立，求m的取值范圍解：(1)f(x)|xm|x3m|當m1時，由或x3，得x，不等式f(x)1的解集為.(2)不等式f(x
9、)|2t|t1|對任意的實數(shù)t，x恒成立，等價于對任意的實數(shù)x，f(x)(|2t|t1|)min恒成立，即f(x)max(|2t|t1|)min，f(x)|xm|x3m|(xm)(x3m)|4m，|2t|t1|(2t)(t1)|3，4m0，0m0(aR)；(2)若函數(shù)f(x)的圖象恒在函數(shù)g(x)圖象的上方，求m的取值范圍解：(1)不等式f(x)a10，即|x2|a10.當a1時， 原不等式化為|x2|0，解得x2，即解集為(，2)(2，)；當a1時，解集為全體實數(shù)R；當a1a(1a0)，解集為(，a1)(3a，)(2)f(x)的圖象恒在函數(shù)g(x)圖象的上方，即|x2|x3|m對任意實數(shù)x恒
10、成立，即|x2|x3|m恒成立又由絕對值三角不等式知，對任意實數(shù)x恒有|x2|x3|(x2)(x3)|5，當且僅當(x2)(x3)0時等號成立于是得m0.(1)當a1時，求不等式f(x)1的解集；(2)若f(x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6，求a的取值范圍解：(1)當a1時，f(x)1化為|x1|2|x1|10.當x1時，不等式化為x40，無解；當1x0，解得x0，解得1x1的解集為.(2)由題設可得f(x)所以函數(shù)f(x)的圖象與x軸圍成的三角形的三個頂點分別為A，B(2a1,0)，C(a，a1)，ABC的面積為(a1)2.由題設得(a1)26，故a2.所以a的取值范圍為(2，) 課時
11、達標檢測 1已知函數(shù)f(x)|xm|5x|(mR)(1)當m3時，求不等式f(x)6的解集；(2)若不等式f(x)10對任意實數(shù)x恒成立，求m的取值范圍解：(1)當m3時，f(x)6，即|x3|5x|6，不等式的解集是以下三個不等式組解集的并集.解得x5；或解得4x6的解集為x|x4(2)f(x)|xm|5x|(xm)(5x)|m5|，由題意得|m5|10，則10m510，解得15m5，故m的取值范圍為15,52(2018江西南昌模擬)已知函數(shù)f(x)|2xa|x1|.(1)若不等式f(x)2|x1|有解，求實數(shù)a的取值范圍；(2)當a2時，函數(shù)f(x)的最小值為3，求實數(shù)a的值解：(1)由題
12、意f(x)2|x1|，即為|x1|1.而由絕對值的幾何意義知|x1|，由不等式f(x)2|x1|有解，1，即0a4.實數(shù)a的取值范圍是0,4(2)由2xa0得x，由x10得x1，由a2知4；(2)若x，不等式a14，可化為或或解得x2或01.不等式f(x)4的解集為(，2)(0，)(2)由(1)知，當x時，f(x)3x2，當x，a1，即a.實數(shù)a的取值范圍為.4(2018長春模擬)已知函數(shù)f(x)|x2|x1|.(1)解不等式f(x)1；(2)當x0時，函數(shù)g(x)(a0)的最小值大于函數(shù)f(x)，試求實數(shù)a的取值范圍解：(1)當x2時，原不等式可化為x2x11，解集是.當1x2時，原不等式可
13、化為2xx11，即1x0；當x1，即x1.綜上，原不等式的解集是x|x0時，f(x)所以f(x)3,1)，所以211，即a1，故實數(shù)a的取值范圍是1，)5(2018湖北四校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)e|xa|xb|，a，bR.(1)當ab1時，解不等式f(x)e；(2)若f(x)e2恒成立，求ab的取值范圍解：(1)當ab1時，f(x)e|x1|x1|，由于yex在(，)上是增函數(shù)，所以f(x)e等價于|x1|x1|1，當x1時，|x1|x1|x1(x1)2，則式恒成立；當1x1時，|x1|x1|2x，式化為2x1，此時xg(a)2；(2)當xa,1)時恒有f(x)g(a)，求實數(shù)a的取值范圍解：
14、(1)a3時，f(x)|x1|x3|g(3)4.f(x)g(a)2化為|x1|x3|6，即或或解得x2.所求不等式解集為(，4)(2，)(2)xa,1)f(x)1a.f(x)g(a)即為1aa2a2，可化為a22a30，解得a3或a1.又a1.綜上，實數(shù)a的取值范圍為3，)7(2018安徽蚌埠模擬)已知函數(shù)f(x)|2xa|2x3|，g(x)|x1|2.(1)解不等式|g(x)|5；(2)若對任意x1R，都有x2R，使得f(x1)g(x2)成立，求實數(shù)a的取值范圍解：(1)由|x1|2|5，得5|x1|25，7|x1|3，解得2x4，原不等式的解集為x|2x4(2)對任意x1R，都有x2R，使
15、得f(x1)g(x2)成立，y|yf(x)y|yg(x)又f(x)|2xa|2x3|(2xa)(2x3)|a3|，g(x)|x1|22，|a3|2，解得a1或a5，實數(shù)a的取值范圍是(，51，)8已知函數(shù)f(x)|3x2|.(1)解不等式f(x)0)，若|xa|f(x)(a0)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍解：(1)不等式f(x)4|x1|，即|3x2|x1|4.當x時，即3x2x14，解得x；當x1時，即3x2x14，解得x1時，即3x2x14，無解綜上所述，原不等式的解集為.(2)(mn)114，當且僅當mn時等號成立令g(x)|xa|f(x)|xa|3x2|x時，g(x)maxa，要使不等式
16、恒成立，只需g(x)maxa4，即02，b2，則abab.()(3)設xa2b，Sab21則Sx.()答案：(1)(2)(3)2填空題(1)已知a，bR，ab2，則的最小值為_解析：a，bR，且ab2，(ab)222 4，2，即的最小值為2(當且僅當ab1時，“”成立)答案：2(2)已知正實數(shù)a，b滿足2abab12，則ab的最小值是_解析：由2abab12，得2ab212，當且僅當ab時等號成立化簡得(3)(2)0，解得ab9，所以ab的最小值是9.答案：9(3)已知a，b，c是正實數(shù)，且abc1，則的最小值為_解析：把abc1代入，得332229，當且僅當abc時，等號成立答案：9(4)設
17、xa2b25，y2aba24a，若xy，則實數(shù)a，b應滿足的條件為_解析：若xy，則xya2b25(2aba24a)a2b22aba24a5(ab1)2(a2)20，ab1或a2.答案：ab1或a2比較法證明不等式例1求證：(1)當xR時，12x42x3x2；(2)當a，b(0，)時，aabb(ab).證明(1)法一：(12x4)(2x3x2)2x3(x1)(x1)(x1)(x1)(2x3x1)(x1)(2x32xx1)(x1)2x(x21)(x1)(x1)2(2x22x1)(x1)20，所以12x42x3x2.法二：(12x4)(2x3x2)x42x3x2x42x21(x1)2x2(x21)
18、20，所以12x42x3x2.(2)ab，當ab時，1，當ab0時，1，0，1，當ba0時，01，1，aabb(ab).方法技巧作差比較法證明不等式的步驟(1)作差；(2)變形；(3)判斷差的符號；(4)下結論其中“變形”是關鍵，通常將差變形成因式連乘積的形式或平方和的形式，再結合不等式的性質(zhì)判斷出差的正負綜合法證明不等式例2已知a，b，c0且互不相等，abc1.試證明：.證明因為a，b，c0，且互不相等，abc1，所以 ，即.方法技巧綜合法證明時常用的不等式(1)a20；|a|0.(2)a2b22ab.(3)，它的變形形式有：a2(a0)；2(ab0)；2(ab0)分析法證明不等式例3(20
19、18福建畢業(yè)班質(zhì)量檢測)已知函數(shù)f(x)|x1|.(1)求不等式f(x)|2x1|1的解集M；(2)設a，bM，證明：f(ab)f(a)f(b)解(1)由題意，|x1|bc，則|ad|bc|；(2)t，求實數(shù)t的取值范圍解：(1)證明：由adbc，且a，b，c，d均為正數(shù)，得(ad)2(bc)2，又adbc，所以(ad)2(bc)2，即|ad|bc|.(2)因為(a2b2)(c2d2)a2c2a2d2b2c2b2d2a2c22abcdb2d2(acbd)2，所以tt(acbd)由于ac，bd，又已知t，則t(acbd)(acbd)，故t，當且僅當ac，bd時取等號.全國卷5年真題集中演練明規(guī)律
20、1(2017全國卷)已知a0，b0，a3b32.證明：(1)(ab)(a5b5)4；(2)ab2.證明：(1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6(a3b3)22a3b3ab(a4b4)4ab(a2b2)24.(2)因為(ab)3a33a2b3ab2b323ab(ab)2(ab)2，所以(ab)38，因此ab2.2(2016全國卷)已知函數(shù)f(x)，M為不等式f(x)2的解集(1)求M；(2)證明：當a，bM時，|ab|1ab|.解：(1)f(x)當x時，由f(x)2得2x1，所以1x；當x時，f(x)2恒成立；當x時，由f(x)2得2x2，解得x1，所以x1.所以f(x)2的解集Mx|1
21、x1(2)證明：由(1)知，當a，bM時，1a1，1b1，從而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)0.因此|ab|1ab|. 課時達標檢測 1(2018武漢調(diào)研)若正實數(shù)a，b滿足ab，求證：1.證明：要證 1，只需證ab21，即證2，即證.而ab2，成立，原不等式成立2已知函數(shù)f(x)|x3|x1|，其最小值為t.(1)求t的值；(2)若正實數(shù)a，b滿足abt，求證：.解：(1)因為|x3|x1|x3|1x|x31x|4，所以f(x)min4，即t4.(2)證明：由(1)得ab4，故1，121，當且僅當b2a，即a，b時取等號，故.3設不等式2|x1|x2|0的解集為
22、M，a，bM.(1)證明：；(2)比較|14ab|與2|ab|的大小，并說明理由解：(1)證明：記f(x)|x1|x2|由22x10解得x，則M.所以|a|b|.(2)由(1)得a2，b20.所以|14ab|24|ab|2，故|14ab|2|ab|.4(2018廣州模擬)已知x，y，z(0，)，xyz3.(1)求的最小值；(2)證明：3x2y2z20，0，所以(xyz)9，即3，當且僅當xyz1時，取得最小值3.(2)證明：x2y2z23，當且僅當xyz1時等號成立又因為x2y2z29x2y2z2(xyz)22(xyyzzx)0，所以3x2y2z20，b0，函數(shù)f(x)|2xa|21的最小值為
23、2.(1)求ab的值；(2)求證：alog33b.解：(1)因為f(x)|2xa|2xb|1|2xa(2xb)|1|ab|1，當且僅當(2xa)(2xb)0時，等號成立，又a0，b0，所以|ab|ab，所以f(x)的最小值為ab12，所以ab1.(2)由(1)知，ab1，所以(ab)1452 9，當且僅當且ab1，即a，b時取等號所以log3log392，所以ablog3123，即alog33b.6(2018長沙模擬)設，均為實數(shù)(1)證明：|cos()|cos |sin |，|sin()|cos |cos |；(2)若0，證明：|cos |cos |cos |1.證明：(1)|cos()|c
24、os cos sin sin |cos cos |sin sin |cos |sin |；|sin()|sin cos cos sin |sin cos |cos sin |cos |cos |.(2)由(1)知，|cos()|cos |sin()|cos |cos |cos |，而0，故|cos |cos |cos |cos 01.7(2018安徽安師大附中、馬鞍山二中階段測試)已知函數(shù)f(x)|x2|.(1)解不等式：f(x)f(x1)2；(2)若a0，求證：f(ax)af(x)f(2a)解：(1)由題意，得f(x)f(x1)|x1|x2|.因此只要解不等式|x1|x2|2.當x1時，原不
25、等式等價于2x32，即x1；當1x2時，原不等式等價于12，即12時，原不等式等價于2x32，即2x.綜上，原不等式的解集為.(2)證明：由題意得f(ax)af(x)|ax2|a|x2|ax2|2aax|ax22aax|2a2|f(2a)，所以f(ax)af(x)f(2a)成立8(2018重慶模擬)設a，b，cR且abc1.求證：(1)2abbcca；(2)2.證明：(1)因為1(abc)2a2b2c22ab2bc2ca4ab2bc2cac2，當且僅當ab時等號成立，所以2abbcca(4ab2bc2cac2).(2)因為，當且僅當abc時等號成立所以abc2a2b2c2，當且僅當abc時等號成立23
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