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1、2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題八 選考4系列 專題能力訓(xùn)練21 不等式選講 文
1.若a>0,b>0,且.
(1)求a3+b3的最小值;
(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并說(shuō)明理由.
2.設(shè)函數(shù)f(x)=+|x-a|(a>0).
(1)證明:f(x)≥2;
(2)若f(3)<5,求a的取值范圍.
3.已知關(guān)于x的不等式m-|x-2|≥1,其解集為[0,4].
(1)求m的值;
(2)若a,b均為正實(shí)數(shù),且滿足a+b=m,求a2+b2的最小值.
2、4.已知函數(shù)f(x)=,M為不等式f(x)<2的解集.
(1)求M;
(2)證明:當(dāng)a,b∈M時(shí),|a+b|<|1+ab|.
5.(2018全國(guó)Ⅰ,文23)已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.
(1)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)>1的解集;
(2)若x∈(0,1)時(shí)不等式f(x)>x成立,求a的取值范圍.
二、思維提升訓(xùn)練
6.已知函數(shù)f(x)=g(x)=af(x)-|x-2|,a∈R.
(1)當(dāng)a=0時(shí),若g(x)≤|x-1|+b對(duì)任意x∈(0,+∞)恒成立,求實(shí)數(shù)b的取值范圍;
(2)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)y
3、=g(x)的最小值.
7.已知函數(shù)f(x)=|x-3|-|x-a|.
(1)當(dāng)a=2時(shí),解不等式f(x)≤-;
(2)若存在實(shí)數(shù)a,使得不等式f(x)≥a成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
8.已知函數(shù)f(x)=-x2+ax+4,g(x) =|x+1|+|x-1|.
(1)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)≥g(x)的解集;
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范圍.
專題能力訓(xùn)練21 不等式選講(選修4—5)
一、能力突破訓(xùn)練
1.解 (1)由,得ab≥2,且當(dāng)a=b=時(shí)等號(hào)成立
4、.
故a3+b3≥2≥4,且當(dāng)a=b=時(shí)等號(hào)成立.
所以a3+b3的最小值為4.
(2)由(1)知,2a+3b≥2≥4.
由于4>6,從而不存在a,b,使得2a+3b=6.
2.(1)證明 由a>0,有f(x)=+|x-a|≥+a≥2.故f(x)≥2.
(2)解 f(3)=+|3-a|.當(dāng)a>3時(shí),f(3)=a+,由f(3)<5,得3
5、
∴m=3.
(2)由(1)知a+b=3.
(方法一:利用基本不等式)
∵(a+b)2=a2+b2+2ab≤(a2+b2)+(a2+b2)=2(a2+b2),∴a2+b2≥,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)取等號(hào),∴a2+b2的最小值為.
(方法二:消元法求二次函數(shù)的最值)
∵a+b=3,
∴b=3-a,
∴a2+b2=a2+(3-a)2=2a2-6a+9=2,
∴a2+b2的最小值為.
4.(1)解 f(x)=
當(dāng)x≤-時(shí),由f(x)<2得-2x<2,解得x>-1;
當(dāng)-
6、-11的解集為.
(2)當(dāng)x∈(0,1)時(shí)|x+1|-|ax-1|>x成立等價(jià)于當(dāng)x∈(0,1)時(shí)|ax-1|<1成立.
若a≤0,則當(dāng)x∈(0,1)時(shí)|ax-1|≥1;
若a>0,|ax-1|<1的解集為0
7、思維提升訓(xùn)練
6.解 (1)當(dāng)a=0時(shí),g(x)=-|x-2|(x>0),
g(x)≤|x-1|+b?-b≤|x-1|+|x-2|.
|x-1|+|x-2|≥|(x-1)-(x-2)|=1,
當(dāng)且僅當(dāng)1≤x≤2時(shí)等號(hào)成立.
故實(shí)數(shù)b的取值范圍是[-1,+∞).
(2)當(dāng)a=1時(shí),g(x)=
當(dāng)02-2=0;
當(dāng)x≥1時(shí),g(x)≥0,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立;
故當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)y=g(x)取得最小值0.
7.解 (1)∵a=2,
∴f(x)=|x-3|-|x-2|=
∴f(x)≤-等價(jià)于解得≤x<3或x≥3,
∴不等式的解集為.
(
8、2)由不等式性質(zhì)可知f(x)=|x-3|-|x-a|≤|(x-3)-(x-a)|=|a-3|,
∴若存在實(shí)數(shù)x,使得不等式f(x)≥a成立,則|a-3|≥a,解得a≤.
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
8.解 (1)當(dāng)a=1時(shí),不等式 f(x)≥g(x)等價(jià)于x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0. ①
當(dāng)x<-1時(shí),①式化為x2-3x-4≤0,無(wú)解;
當(dāng)-1≤x≤1時(shí),①式化為x2-x-2≤0,從而-1≤x≤1;
當(dāng)x>1時(shí),①式化為x2+x-4≤0,從而1
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