2022-2023學年高中數(shù)學 考點03 圓柱、圓錐、圓臺的結構特征庖丁解題 新人教A版必修2

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1、2022-2023學年高中數(shù)學 考點03 圓柱、圓錐、圓臺的結構特征庖丁解題 新人教A版必修2 1．圓柱、圓錐、圓臺可以分別看作以矩形一邊、直角三角形的一直角邊、直角梯形中垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉軸，將矩形、直角三角形、直角梯形分別旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體，旋轉軸叫做所圍成的幾何體的軸；在軸上的這條邊(或它的長度)叫做這個幾何體的高；垂直于軸的邊旋轉而成的圓面叫做這個幾何體的底面；不垂直于軸的邊旋轉而成的曲面叫做這個幾何體的側面，無論旋轉到什么位置，這條邊都叫做側面的母線． 2．圓柱、圓錐、圓臺、球等幾何體，都是由一個平面圖形繞著一條直線旋轉產(chǎn)生的曲面所圍成的幾何體，這

2、類幾何體叫做旋轉體，這條直線叫做旋轉體的軸． 【例】若邊長為5 cm的正方形EFGH是圓柱的軸截面，則從點E沿圓柱的側面到相對頂點G的最短距離是( ) A．10 cm B．5 cm C．5 cm D．2(5) cm 【答案】D 【規(guī)律總結】解決旋轉體中的距離最值問題，用側面展開圖，將問題平面化． 1．如果圓錐的側面展開圖是半圓，那么這個圓錐的頂角(圓錐軸截面中兩條母線的夾角)是( ) A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】C 【解析】設圓錐底面半徑為r，母線長為l，則有2πr＝2(1)·2πl(wèi)．∴2r＝l， 即△A

3、BC為等邊三角形，故頂角為60°． 2．下列說法： ①以直角三角形的一邊所在的直線為旋轉軸，旋轉一周得到的旋轉體為圓錐； ②以直角梯形的一腰所在的直線為旋轉軸，旋轉一周得到的旋轉體為圓臺； ③圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓； ④分別以矩形兩條不相等的邊所在直線為旋轉軸，將矩形旋轉一周，所得的兩個圓柱是不同的圓柱． 其中正確的有( ) A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【答案】B 【秒殺技】處理臺體問題常采用還臺為錐的補體思想． 3．一個圓錐的母線長為5，底面半徑為3，則該圓錐的軸截面的面積為( ) A．10 B．12 C．20 D．15 【答案

4、】B 【解析】圓錐的軸截面是等腰三角形，兩腰為圓錐的母線，底邊為圓錐的底面圓的直徑，所以軸截面的面積S＝2(1)×2×3×＝12，故選B． 4．下列說法不正確的是（ ） A．圓柱的側面展開圖是一個矩形 B．圓錐過軸的截面是一個等腰三角形 C．直角三角形繞它的一條邊旋轉一周形成的曲面圍成的幾何體是圓錐 D．圓臺平行于底面的截面是圓面 【答案】C 【解析】由圓錐的概念知直角三角形繞它的一條直角邊所在直角旋轉一周所圍成的幾何體是圓錐，即旋轉軸為直角三角形的一條直角邊所在的直線，因而C錯． 5．給出下列命題：①圓柱的底面是圓；②經(jīng)過圓柱任意兩條母線的截面是一個矩形；③連接圓柱上、

5、下底面圓周上兩點的線段是圓柱的母線；④圓柱的任意兩條母線互相平行；⑤圓柱的側面沿母線展開的圖形是矩形；⑥圓柱的母線有且只有一條．其中正確的為 ．（只填序號） 【答案】②④⑤ 【規(guī)律方法】圓柱、圓錐、圓臺的關系如圖所示． 6．如圖所示，用一個平行于圓錐SO底面的平面截這個圓錐，截得圓臺上、下底面的半徑分別為2 cm和5 cm，圓臺的母線長是12 cm，求圓錐SO的母線長． 【解析】如圖，過圓臺的軸作截面，截面為等腰梯形ABCD，由已知可得上底半徑O1A＝2 cm，下底半徑OB＝5 cm，且腰長AB＝12 cm．設截得此圓臺的圓錐的母線長為l，則

6、由△SAO1∽△SBO，可得l(l－12)＝5(2)，所以l＝20 cm，即截得此圓臺的圓錐的母線長為20 cm． 1．如上、下底面面積分別為36π和49π，母線長為5的圓臺，其兩底面之間的距離為( ) A．4 B．3 C．2 D．2 【答案】D 2．圓臺軸截面的兩條對角線互相垂直，且上下底面半徑的比為3:4，又其高為14，則圓臺的母線長是__________． 【答案】20 【解析】如圖所示，由已知有R(r)＝4(3)＝OO2(O1O)，因為OB⊥OC，所以△AOB，△DOC均為等腰直角三角形．又O1O2

7、＝14，所以O1O＝r＝6，OO2＝R＝8，在Rt△BOC中，OB2＋OC2＝l2， 所以r2＋OO1(2)＋R2＋OO2(2)＝l2，代入數(shù)據(jù)得l＝20． 3．已一個等邊圓柱(底面直徑等于高)的軸截面面積是S，則它的底面面積是________． 【答案】4(π)S 【解析】設底面半徑為r，則4r2＝S，故底面面積為πr2＝π·4(S)＝4(π)S． 4．如圓臺的上底周長是下底周長的3(1)，軸截面面積等于392，母線與底面的夾角為45°，求此圓臺的高、母線長及兩底面的半徑． 【答案】R＝21，r＝7，h＝14，l＝14． 圜丘壇 圜丘壇是我國明朝建立的一個地點，在天壇南部，為皇帝冬至日祭天大典的場所，又稱祭天壇．壇面為艾葉青石，漢白玉欄板、欄柱雕成，兩道外方里圓的圍墻象征著 “天圓地方”．由于是祭天壇，圜丘的整個結構是對數(shù)學的巧妙運用，壇面、臺階、欄桿的石制構件，都取九或九的倍數(shù)，即陽數(shù)，用以象征天．壇中心的圓形石板，叫天心石，站在上面高喊或發(fā)出敲擊聲，周圍即起回音，自己聽起來聲音很大，好似一呼百應．