2022高中數(shù)學(xué) 初高中銜接讀本 專題2.1 一元二次方程根的判別式精講深剖學(xué)案

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1、2022高中數(shù)學(xué) 初高中銜接讀本 專題2.1 一元二次方程根的判別式精講深剖學(xué)案 現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材主要要求學(xué)生掌握一元二次方程的概念、解法及應(yīng)用，而一元二次方程的根的判斷式及根與系數(shù)的關(guān)系，在高中教材中的二次函數(shù)、不等式及解析幾何等章節(jié)有著重要應(yīng)用．本專題將對一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系等進(jìn)行講述。 【知識梳理】 一元二次方程的根的判別式 一元二次方程，用配方法將其變形為： (1) 當(dāng)時(shí)，右端是正數(shù)．因此，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根： (2) 當(dāng)時(shí)，右端是零．因此，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根： (3) 當(dāng)時(shí)，右端是負(fù)數(shù)．因此，方程沒有實(shí)數(shù)根． 由于可以用的取值情況來判定

2、一元二次方程的根的情況．因此，把叫做一元二次方程的根的判別式，表示為： 【精講深剖】 一元二次方程根的判別式即是判定方程根的情況的充分條件，也是求解方程根的一般方法。 【典例解析】1.判定下列關(guān)于x的方程的根的情況（其中a為常數(shù)），如果方程有實(shí)數(shù)根，寫出方程的 實(shí)數(shù)根． （1）x2－3x＋3＝0； （2）x2－ax－1＝0； （3） x2－ax＋(a－1)＝0； （4）x2－2x＋a＝0． 【解析】（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0， ∴方程沒有實(shí)數(shù)根． （2）該方程的根的判別式Δ＝a

3、2－4×1×(－1)＝a2＋4＞0， 所以方程一定有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根;， ． （3）由于該方程的根的判別式為 Δ＝a2－4×1×(a－1)＝a2－4a＋4＝(a－2)2， 所以，①當(dāng)a＝2時(shí)，Δ＝0， 所以方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根：x1＝x2＝1； ②當(dāng)a≠2時(shí)，Δ＞0， 所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根： x1＝1，x2＝a－1． 【解題反思】在第3，4小題中，方程的根的判別式的符號隨著a的取值的變化而變化，于是，在解題過程中，需要對a的取值情況進(jìn)行討論，這一方法叫做分類討論．分類討論這一思想方法是高中數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的方法，在今后的解題中會經(jīng)常地運(yùn)用這一方法來解決問題．

4、 【變式訓(xùn)練】 1.已知關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)下列條件，分別求出的范圍： (1) 方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； (2) 方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根； (3)方程有實(shí)數(shù)根； (4) 方程無實(shí)數(shù)根． 【解析】 (1) ； (2) ； (3)； (4) ． 【點(diǎn)評】本題已知根的情況，運(yùn)用根的判別式，求方程中參數(shù)的取值范圍。需要逆向思考，體現(xiàn)了思維的靈活性。 2.（1）判斷直線與拋物線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)； （2）若直線與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求的范圍。 【分析】有題意，曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化為對應(yīng)方程組的解的個(gè)數(shù)，可借助根的判別式進(jìn)行解決； （2

5、）由，代入消元得；， 整理得；， 由題意可得；，解得， 即當(dāng)時(shí)，直線與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。 【點(diǎn)評】判斷兩曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題時(shí)，基本方法為直接求解法，判別式法即圖像法。而判別式法在解決二次曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題時(shí)更為高效。 3．已知關(guān)于x的一元二次方程. （1）求證：不管為何值，方程總有實(shí)數(shù)根； （2）若等腰三角形ABC的一邊長,另兩邊長恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求此三角形的周長. 【答案】（1）；（2）16或22. 【分析】（1）計(jì)算出“根的判別式△的值”，然后通過配方可知無論k去何值，△的值恒大于或等于0，由此可得結(jié)論； （2）因?yàn)轭}目中沒有告訴等腰△ABC中邊是腰還是底，故

6、要分兩種情況討論：①當(dāng)為腰時(shí)，則中有一邊為腰，即原方程有一根為6，代入方程可解得k的值，進(jìn)一步可求得方程的另一根，從而可求△ABC的周長；②當(dāng)為底時(shí)，則都為腰，此時(shí)原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則△=0，由此可求出k的值，代入原方程求解，從而可求△ABC的周長. 【解析】(1)∵在方程 中， △====， ∴無論k為何值，△0 ， ∴不管k為何值，原方程總有實(shí)數(shù)根； ②當(dāng)為底時(shí)，則兩邊均為腰，即原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根， 所以，解得， 此時(shí)原方程為：，解得： 即兩邊均為2，因?yàn)椋藭r(shí)三邊圍不成三角形，此種情況不成立； 綜合①②可得的周長為16或22 【點(diǎn)評】問題從一元二次根的判別式“△”入手，通過化簡、配方法等將“△”表達(dá)式轉(zhuǎn)化為可判斷其符號的形式，從而就可以判斷原一元二次方程根的情況了；（2）這類問題通常要分“已知邊是等腰三角形的腰和底”兩種情況分別討論，同時(shí)要特別注意在涉及三角形三邊的問題中，求出三邊后，一定要用三角形三邊間的關(guān)系進(jìn)行檢驗(yàn)，看能否圍成三角形.