（全國(guó)版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8章 平面解析幾何 第4講 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系學(xué)案

《（全國(guó)版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8章 平面解析幾何 第4講 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系學(xué)案》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（全國(guó)版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8章 平面解析幾何 第4講 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系學(xué)案（15頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第4講　直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 板塊一　知識(shí)梳理·自主學(xué)習(xí) [必備知識(shí)] 考點(diǎn)2　圓與圓的位置關(guān)系(⊙O1、⊙O2半徑r1、r2，d＝|O1O2|) [必會(huì)結(jié)論] 1．關(guān)注一個(gè)直角三角形 當(dāng)直線與圓相交時(shí)，由弦心距(圓心到直線的距離)、弦長(zhǎng)的一半及半徑構(gòu)成一個(gè)直角三角形． 2．圓心在過切點(diǎn)且垂直于切線的直線上． 3．兩圓相交時(shí)公共弦的方程 設(shè)圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，① 圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，② 若兩圓相交，則有一條公共弦，其公共弦所在直線方程由①－②所得，即：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2

2、)＝0. 4．兩圓相切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓心三點(diǎn)共線． 5．兩圓不同的位置關(guān)系與對(duì)應(yīng)公切線的條數(shù) (1)兩圓外離時(shí)，有4條公切線； (2)兩圓外切時(shí)，有3條公切線； (3)兩圓相交時(shí)，有2條公切線； (4)兩圓內(nèi)切時(shí)，有1條公切線； (5)兩圓內(nèi)含時(shí)，沒有公切線． 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [考點(diǎn)自測(cè)] 1．判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)“k＝1”是“直線x－y＋k＝0與圓x2＋y2＝1相交”的必要不充分條件．(　　) (2)過圓O：x2＋y2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程是x0x＋y0y＝r2.(　　) (3

3、)如果兩個(gè)圓的方程組成的方程組只有一組實(shí)數(shù)解，則兩圓外切．(　　) (4)如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交．(　　) (5)“m＝0”是“直線x＋y－m＝0與圓(x－1)2＋(y－1)2＝2相切”的充分不必要條件．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√ 2．[課本改編]直線l：x－y＋1＝0與圓C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的位置關(guān)系是(　　) A．相離 B．相切 C．相交且過圓心 D．相交但不過圓心 答案　D 解析　圓的方程化為(x－2)2＋(y－1)2＝4，圓心為(2,1)，半徑為2，圓心到直線l的距離為＝<2，所以直線l

4、與圓相交．又圓心不在直線l上，所以直線不過圓心．故選D. 3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線3x＋4y－5＝0與圓x2＋y2＝4相交于A，B兩點(diǎn)，則弦AB的長(zhǎng)為(　　) A．3 B．2 C. D．1 答案　B 解析　圓心(0,0)到直線3x＋4y－5＝0的距離d＝＝1，因?yàn)?＝22－12＝3，所以|AB|＝2. 4．[課本改編]圓x2＋y2－4x＝0在點(diǎn)P(1，)處的切線方程為 (　　) A．x＋y－2＝0 B．x＋y－4＝0 C．x－y＋4＝0 D．x－y＋2＝0 答案　D 解析　圓的方程為(x－2)2＋y2＝4，圓心坐標(biāo)為(2,0)，半徑為2，點(diǎn)P在圓上，

5、由題可知切線的斜率存在，設(shè)切線方程為y－＝k(x－1)，即kx－y－k＋＝0，∴＝2，解得k＝.∴切線方程為y－＝(x－1)，即x－y＋2＝0. 5．[2018·重慶模擬]圓O1：x2＋y2－2x＝0和圓O2：x2＋y2－4y＝0的位置關(guān)系是(　　) A．相離 B．相交 C．外切 D．內(nèi)切 答案　B 解析　圓O1的圓心坐標(biāo)為(1,0)，半徑長(zhǎng)r1＝1，圓O2的圓心坐標(biāo)為(0,2)，半徑長(zhǎng)r2＝2，故兩圓的圓心距d＝，而r2－r1＝1，r1＋r2＝3，則有r2－r1

6、x－2＝0的位置關(guān)系是(　　) A．相離 B．相切 C．相交 D．以上三個(gè)選項(xiàng)均有可能 答案　C 解析　直線y＝kx－1恒經(jīng)過點(diǎn)A(0，－1)，圓x2＋y2－2x－2＝0的圓心為C(1,0)，半徑為，而|AC|＝<，點(diǎn)A在圓內(nèi)，故直線y＝kx－1與圓x2＋y2－2x－2＝0相交．故選C. 板塊二　典例探究·考向突破 考向　直線與圓的位置關(guān)系　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例1　[2018·豫南九校聯(lián)考]直線l：mx－y＋1－m＝0與圓C：x2＋(y－1)2＝5的位置關(guān)系是(　　) A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定 答案　A 解析　解法一：

7、由消去y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0， 則Δ＝4m4－4(1＋m2)(m2－5)＝16m2＋20>0， 所以直線l與圓C相交．故選A. 解法二：因?yàn)閳A心(0,1)到直線l的距離d＝<1<，故直線l與圓相交．選A. 解法三：直線l：mx－y＋1－m＝0過定點(diǎn)(1,1)，因?yàn)辄c(diǎn)(1,1)在圓C：x2＋(y－1)2＝5的內(nèi)部，所以直線l與圓C相交．故選A. 觸類旁通 判斷直線與圓的位置關(guān)系常見的有兩種方法 (1)代數(shù)法： (2)幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關(guān)系：dr?相離． 【變式訓(xùn)練1】　[2018·深圳模擬]已

8、知點(diǎn)M(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外，則直線ax＋by＝1與圓O的位置關(guān)系是(　　) A．相切 B．相交 C．相離 D．不確定 答案　B 解析　因?yàn)镸(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2>1，而圓心O到直線ax＋by＝1的距離d＝＝<1.故選B. 考向　直線與圓的綜合問題 命題角度1　圓的切線問題　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例2　已知點(diǎn)P(＋1,2－)，點(diǎn)M(3,1)，圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝4. (1)求過點(diǎn)P的圓C的切線方程； (2)求過點(diǎn)M的圓C的切線方程，并求出切線長(zhǎng)． 解　由題意得圓心C(1,2)，半徑r＝2.

9、 (1)因?yàn)?＋1－1)2＋(2－－2)2＝4， 所以點(diǎn)P在圓C上． 又kPC＝＝－1， 所以切線的斜率k＝－＝1. 所以過點(diǎn)P的圓C的切線方程是y－(2－)＝1×[x－(＋1)]，即x－y＋1－2＝0. (2)因?yàn)?3－1)2＋(1－2)2＝5>4，所以點(diǎn)M在圓C外部．當(dāng)過點(diǎn)M的直線斜率不存在時(shí)，直線方程為x＝3，即x－3＝0. 又點(diǎn)C(1,2)到直線x－3＝0的距離d＝3－1＝2＝r， 即此時(shí)滿足題意，所以直線x＝3是圓的切線． 當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，則圓心C到切線的距離d＝＝r＝2，解得k＝. 所以切線方程為y

10、－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0. 綜上可得，過點(diǎn)M的圓C的切線方程為x－3＝0或3x－4y－5＝0. 因?yàn)閨MC|＝＝，所以過點(diǎn)M的圓C的切線長(zhǎng)為＝＝1. 觸類旁通 圓的切線有關(guān)的結(jié)論 (1)過圓x2＋y2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程為x0x＋y0y＝r2. (2)過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. (3)過圓x2＋y2＝r2外一點(diǎn)P(x0，y0)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為A，B，則過A、B兩點(diǎn)的直線方程為x0x＋y0y＝r2. (4)過圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2

11、＋E2－4F>0)外一點(diǎn)P(x0，y0)引圓的切線，切點(diǎn)為T，則切線長(zhǎng)為|PT|＝. (5)過圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)外一點(diǎn)P(x0，y0)作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則切點(diǎn)弦AB所在直線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. (6)若圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，則過圓外一點(diǎn)P(x0，y0)的切線長(zhǎng) d＝. 【變式訓(xùn)練2】　[2015·廣東高考]平行于直線2x＋y＋1＝0且與圓x2＋y2＝5相切的直線的方程是(　　) A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0 B．2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0 C．2x

12、－y＋5＝0或2x－y－5＝0 D．2x－y＋＝0或2x－y－＝0 答案　A 解析　設(shè)與直線2x＋y＋1＝0平行的直線方程為2x＋y＋m＝0(m≠1)，因?yàn)橹本€2x＋y＋m＝0與圓x2＋y2＝5相切，即點(diǎn)(0,0)到直線2x＋y＋m＝0的距離為，所以＝，|m|＝5.故所求直線的方程為2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0. 命題角度2　圓的弦長(zhǎng)問題 例3　過點(diǎn)(－4,0)作直線l與圓x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝8，則直線l的方程為(　　) A．5x＋12y＋20＝0 B．5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0 C．5x－12y＋20＝0 D．5x－12

13、y＋20＝0或x＋4＝0 答案　B 解析　圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝25， 由|AB|＝8知，圓心(－1,2)到直線l的距離d＝3. 當(dāng)直線l的斜率不存在，即直線l的方程為x＝－4時(shí)，符合題意． 當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0. 則有＝3，∴k＝－. 此時(shí)直線l的方程為5x＋12y＋20＝0. 命題角度3　圓中的最值問題 斜率型最值 例4　已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0，則的最大值為________，最小值為________． 答案　　－ 解析　原方程可化為(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,

14、0)為圓心，為半徑的圓.的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，所以設(shè)＝k，即y＝kx. 當(dāng)直線y＝kx與圓相切時(shí)，斜率k取最大值或最小值(如圖)，此時(shí)＝，解得k＝±. 所以的最大值為，最小值為－. 截距型最值 例5　[2018·鄭州模擬]已知實(shí)數(shù)x，y滿足x2＋y2＝4(y≥0)，則m＝x＋y的取值范圍是(　　) A．(－2，4) B．[－2，4] C．[－4,4] D．[－4,2] 答案　B 解析　由于y≥0，所以x2＋y2＝4(y≥0)為上半圓.x＋y－m＝0是直線(如圖)，且斜率為－，在y軸上截距為m，又當(dāng)直線過點(diǎn)(－2,0)時(shí)，m＝－2， 所以即 解

15、得m∈[－2，4]，選B. 觸類旁通 直線與圓綜合問題的解題策略 (1)用幾何法求圓的弦長(zhǎng)：設(shè)圓的半徑為r，弦心距為d，弦長(zhǎng)為l，則2＝r2－d2. (2)求過一點(diǎn)的圓的切線方程時(shí)，首先要判斷此點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，若點(diǎn)在圓內(nèi)，無解；若點(diǎn)在圓上，有一解；若點(diǎn)在圓外，有兩解． (3)對(duì)于圓的最值問題，一般是根據(jù)條件列出關(guān)于所求目標(biāo)的式子——函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法等，應(yīng)用不等式的性質(zhì)求出最值． 【變式訓(xùn)練3】　[2015·江蘇高考]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(diǎn)(1,0)為圓心且與直線mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)

16、準(zhǔn)方程為________． 答案　(x－1)2＋y2＝2 解析　解法一：設(shè)A(1,0)，由mx－y－2m－1＝0，得m(x－2)－(y＋1)＝0，則直線過定點(diǎn)P(2，－1)，即該方程表示所有過定點(diǎn)P的直線系方程． 當(dāng)直線與AP垂直時(shí)，所求圓的半徑最大． 此時(shí)，半徑為|AP|＝＝. 故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋y2＝2. 解法二：設(shè)圓的半徑為r，根據(jù)直線與圓相切的關(guān)系得r＝＝ ＝， 當(dāng)m<0時(shí)，1＋<1，故1＋無最大值； 當(dāng)m＝0時(shí)，r＝1； 當(dāng)m>0時(shí)，m2＋1≥2m(當(dāng)且僅當(dāng)m＝1時(shí)取等號(hào))． 所以r≤＝，即rmax＝， 故半徑最大的圓的方程為(x－1)2＋y2＝

17、2. 考向　兩圓的位置關(guān)系　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例6　(1)[2016·山東高考]已知圓M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直線x＋y＝0所得線段的長(zhǎng)度是2，則圓M與圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置關(guān)系是(　　) A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．相離 答案　B 解析　由題意知圓M的圓心為(0，a)，半徑R＝a，因?yàn)閳AM截直線x＋y＝0所得線段的長(zhǎng)度為2，所以圓心M到直線x＋y＝0的距離d＝＝(a>0)，解得a＝2，又知圓N的圓心為(1,1)，半徑r＝1，所以|MN|＝，則R－r<

18、＋y2＝4與圓x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的長(zhǎng)為2，則a＝________. 答案　1 解析　兩圓的方程相減，得公共弦所在的直線方程為(x2＋y2＋2ay－6)－(x2＋y2)＝0－4?y＝，又a>0，結(jié)合圖形，利用半徑、弦長(zhǎng)的一半及弦心距所構(gòu)成的直角三角形，可知＝ ＝1?a＝1. 觸類旁通 如何處理兩圓的位置關(guān)系 判斷兩圓的位置關(guān)系時(shí)常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法．若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2、y2項(xiàng)得到． 【變式訓(xùn)練4】　已知圓C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0與圓

19、C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，若圓C1與圓C2相外切，則實(shí)數(shù)m＝(　　) A．－5 B．－5或2 C．－6 D．8 答案　B 解析　對(duì)于圓C1與圓C2的方程，配方得圓C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9，圓C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4，則圓C1的圓心C1(m，－2)，半徑r1＝3，圓C2的圓心C2(－1，m)，半徑r2＝2.如果圓C1與圓C2相外切，那么有|C1C2|＝r1＋r2，即＝5，則m2＋3m－10＝0，解得m＝－5或m＝2，所以當(dāng)m＝－5或m＝2時(shí)，圓C1與圓C2相外切． 核心規(guī)律 切線、弦長(zhǎng)的求解方法 (1)求圓的切線方程可用待定系數(shù)法

20、，利用圓心到切線的距離等于半徑，列出關(guān)系式求出切線的斜率即可． (2)幾何方法求弦長(zhǎng)，利用弦心距，即圓心到直線的距離、弦長(zhǎng)的一半及半徑構(gòu)成直角三角形計(jì)算． 滿分策略 1.過圓外一定點(diǎn)作圓的切線，有兩條，若在某種條件下只求出一個(gè)結(jié)果，則要想到還有斜率不存在的情況． 2.在兩個(gè)圓相交的情況下，兩個(gè)圓的方程相減后得到的直線方程才是公共弦所在的直線方程. 板塊三　啟智培優(yōu)·破譯高考 數(shù)學(xué)思想系列 8——數(shù)形結(jié)合思想在圓中的妙用　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [2018·江西模擬]過點(diǎn)(，0)引直線l與曲線y＝相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)△AOB的面積取最大值

21、時(shí)，直線l的斜率等于(　　) A. B．－ C．± D．－ 解題視點(diǎn)　如果等式、代數(shù)式的結(jié)構(gòu)中蘊(yùn)含著明顯的幾何特征，就要考慮數(shù)形結(jié)合法求解，解答本題時(shí)首先要看到曲線y＝表示的是以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的半個(gè)圓，作出圖形，結(jié)合三角形面積公式，確定面積最大時(shí)直線l的斜率． 解析　由y＝得x2＋y2＝1(y≥0)，即該曲線表示圓心在原點(diǎn)，半徑為1的半圓，如圖所示． 故S△AOB＝|OA|·|OB|·sin∠AOB＝sin∠AOB.所以當(dāng)sin∠AOB＝1，即OA⊥OB時(shí)，S△AOB取得最大值，此時(shí)點(diǎn)O到直線l的距離d＝|OA|·sin45°＝.設(shè)此時(shí)直線l的斜率為k，則方程為y＝k(

22、x－)，即kx－y－k＝0，則有＝，解得k＝±，由圖可知直線l的傾斜角為鈍角，故取k＝－. 答案　B 答題啟示　“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)這座高樓大廈的兩塊最重要的基石，二者在內(nèi)容上互相聯(lián)系，在方法上互相滲透，在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)化，而數(shù)形結(jié)合法正是在這一學(xué)科特點(diǎn)的基礎(chǔ)上發(fā)展而來的.在解答選擇題的過程中，可以先根據(jù)題意，作出草圖，然后參照?qǐng)D形的作法、形狀、位置、性質(zhì)，綜合圖象的特征，得出結(jié)論. 跟蹤訓(xùn)練 [2018·湖北模擬]若直線y＝x＋b與曲線y＝3－有公共點(diǎn)，則b的取值范圍是(　　) A．[1－2，1＋2] B．[1－，3] C．[－1,1＋2] D．[1－2，3] 答

23、案　D 解析　∵y＝3－，∴1≤y≤3， ∴(x－2)2＋(y－3)2＝4(1≤y≤3)， 即曲線y＝3－表示以(2,3)為圓心，2為半徑的下半圓．直線y＝x＋b與曲線y＝3－有公共點(diǎn)，表示兩曲線至少有一個(gè)公共點(diǎn)．符合條件的直線應(yīng)是夾在過點(diǎn)(0,3)和與下半圓相切的兩直線之間． 當(dāng)直線y＝x＋b過點(diǎn)(0,3)時(shí)，b＝3；當(dāng)直線y＝x＋b與圓y＝3－相切時(shí)，由點(diǎn)到直線的距離公式，得2＝，∴|b－1|＝2.結(jié)合圖形知b＝1－2. ∴1－2≤b≤3，故選D. 板塊四　模擬演練·提能增分 [A級(jí)　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)] 1．[2018·福建漳州八校聯(lián)考]已知點(diǎn)P(a，b)(ab≠0)是圓x2

24、＋y2＝r2內(nèi)的一點(diǎn)，直線m是以P為中點(diǎn)的弦所在的直線，直線l的方程為ax＋by＝r2，那么(　　) A．m∥l，且l與圓相交 B．m⊥l，且l與圓相切 C．m∥l，且l與圓相離 D．m⊥l，且l與圓相離 答案　C 解析　∵點(diǎn)P(a，b)(ab≠0)在圓內(nèi)，∴a2＋b2＝r，∴m∥l，l與圓相離．故選C. 2．已知過點(diǎn)P(2,2)的直線與圓(x－1)2＋y2＝5相切，且與直線ax－y＋1＝0垂直，則a等于(　　) A．－ B．

25、1 C．2 D. 答案　C 解析　圓心為C(1,0)，由于P(2,2)在圓(x－1)2＋y2＝5上，∴P為切點(diǎn)，CP與過點(diǎn)P的切線垂直．∴kCP＝＝2.又過點(diǎn)P的切線與直線ax－y＋1＝0垂直，∴a＝kCP＝2，選C. 3．[2018·湖北武漢調(diào)研]圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦所在直線和兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積為(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 答案　B 解析　圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦所在直線的方程為x－y＋2＝0，它與兩坐標(biāo)軸分別交于(－2,0)，(0,2)，所以直線和兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積為

26、×2×2＝2.故選B. 4．已知圓x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直線x＋y＋2＝0所得弦的長(zhǎng)度為4，則實(shí)數(shù)a的值是(　　) A．－2 B．－4 C．－6 D．－8 答案　B 解析　由圓的方程x2＋y2＋2x－2y＋a＝0可得，圓心為(－1,1)，半徑r＝.圓心到直線x＋y＋2＝0的距離為d＝＝.由r2＝d2＋2，得2－a＝2＋4，所以a＝－4. 5．[2018·安徽模擬]若過點(diǎn)P(－，－1)的直線l與圓x2＋y2＝1有公共點(diǎn)，則直線l的傾斜角的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　設(shè)直線l的方程為y＋1＝k(x＋)， 即kx－y＋k－1＝0

27、. 由d＝≤1, 得0≤k≤，所以直線l的傾斜角的取值范圍是. 6．圓C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0與圓C2：x2＋y2－4x－2y＋4＝0的公切線有(　　) A．1條 B．2條 C．3條 D．4條 答案　D 解析　圓C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，∴圓心C1(－1，－1)，半徑r1＝2；圓C2：(x－2)2＋(y－1)2＝1，∴圓心C2(2,1)，半徑r2＝1. ∴兩圓心的距離d＝＝，r1＋r2＝3，∴d>r1＋r2，∴兩圓外離，∴兩圓有4條公切線． 7．由直線y＝x＋1上的一點(diǎn)向圓x2＋y2－6x＋8＝0引切線，則切線長(zhǎng)的最小值為(　　) A. B．2

28、 C．3 D. 答案　A 解析　如圖，在Rt△PAB中，要使切線PB最小，只需圓心與直線y＝x＋1上的點(diǎn)的距離取得相應(yīng)最小值即可，易知其最小值為圓心到直線的距離，即|AP|min＝＝2，故|BP|min＝ ＝. 8．[2018·太原質(zhì)檢]過點(diǎn)A(4,1)的圓C與直線x－y－1＝0相切于B(2,1)，則圓C的方程為________． 答案　(x－3)2＋y2＝2 解析　設(shè)圓C的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由題意知：點(diǎn)(a，b)既在直線y－1＝－(x－2)上，又在AB的垂直平分線上，由得圓心坐標(biāo)為(3,0)，r＝|AC|＝＝，所以圓C的方程為(x－3)2＋y2＝2.

29、9．[2016·全國(guó)卷Ⅰ]設(shè)直線y＝x＋2a與圓C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝2，則圓C的面積為________． 答案　4π 解析　圓C的方程可化為x2＋(y－a)2＝a2＋2，可得圓心的坐標(biāo)為C(0，a)，半徑r＝，所以圓心到直線x－y＋2a＝0的距離為＝，所以2＋()2＝()2，解得a2＝2，所以圓C的半徑為2，所以圓C的面積為4π. 10．[2018·沈陽(yáng)質(zhì)檢]過點(diǎn)M(1,2)的直線l與圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝25交于A，B兩點(diǎn)，C為圓心，當(dāng)∠ACB最小時(shí)，直線l的方程是________． 答案　x＋y－3＝0 解析　依題意得知，當(dāng)∠A

30、CB最小時(shí)，圓心C到直線l的距離達(dá)到最大，此時(shí)直線l與直線CM垂直，又直線CM的斜率為1，因此所求的直線l的方程是y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0. [B級(jí)　知能提升] 1．已知圓C：(x－)2＋(y－1)2＝1和兩點(diǎn)A(－t,0)，B(t,0)，(t>0)，若圓C上存在點(diǎn)P，使得∠APB＝90°，則t的取值范圍是(　　) A．(0,2] B．[1,2] C．[2,3] D．[1,3] 答案　D 解析　由題意可知，若使圓C上存在點(diǎn)P，使得∠APB＝90°，即圓C與以原點(diǎn)O為圓心，半徑為t的圓有交點(diǎn)，即|OC|－1≤t≤|OC|＋1，即1≤t≤3，∴t的取值范圍為[1,3]

31、，故選D. 2．[2017·河南洛陽(yáng)二模]已知圓C的方程為x2＋y2＝1，直線l的方程為x＋y＝2，過圓C上任意一點(diǎn)P作與l夾角為45°的直線交l于點(diǎn)A，則|PA|的最小值為(　　) A. B．1 C.－1 D．2－ 答案　D 解析　解法一：由題意可知，直線PA與坐標(biāo)軸平行或重合，不妨設(shè)直線PA與y軸平行或重合，設(shè)P(cosα，sinα)，則A(cosα，2－cosα)，∴|PA|＝|2－cosα－sinα|＝，∴|PA|的最小值為2－.故選D. 解法二：由題意可知圓心(0,0)到直線x＋y＝2的距離d＝＝，∴圓C上一點(diǎn)到直線x＋y＝2的距離的最小值為－1.由題意可得|PA|m

32、in＝(－1)＝2－.故選D. 3．[2017·江蘇高考]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(－12,0)，B(0,6)，點(diǎn)P在圓O：x2＋y2＝50上．若·≤20，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是________． 答案　[－5，1] 解析　解法一：因?yàn)辄c(diǎn)P在圓O：x2＋y2＝50上， 所以設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，±)(－5≤x≤5)． 因?yàn)锳(－12,0)，B(0,6)，所以＝(－12－x，－)或＝(－12－x，)，＝(－x，6－)或＝(－x,6＋)． 因?yàn)椤ぁ?0，先取P(x, )進(jìn)行計(jì)算， 所以(－12－x)(－x)＋(－)(6－)≤20，即2x＋5≤ . 當(dāng)2x＋5≤0，即x≤－時(shí)，上

33、式恒成立； 當(dāng)2x＋5≥0，即x≥－時(shí)，(2x＋5)2≤50－x2，解得－5≤x≤1，故x≤1. 同理可得P(x，－)時(shí)，x≤－5. 又－5≤x≤5，所以－5≤x≤1. 故點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍為[－5，1]． 解法二：設(shè)P(x，y)，則＝(－12－x，－y)，＝(－x，6－y)． ∵·≤20，∴(－12－x)·(－x)＋(－y)(6－y)≤20， 即2x－y＋5≤0. 如圖，作圓O：x2＋y2＝50，直線2x－y＋5＝0與⊙O交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)， ∵P在圓O上且滿足2x－y＋5≤0， ∴點(diǎn)P在上． 由得F點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1. 又D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為－5， ∴P點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值

34、范圍為[－5，1]． 4．[2017·全國(guó)卷Ⅲ]已知拋物線C：y2＝2x，過點(diǎn)(2,0)的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，圓M是以線段AB為直徑的圓． (1)證明：坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上； (2)設(shè)圓M過點(diǎn)P(4，－2)，求直線l與圓M的方程． 解　(1)證明：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my＋2， 由可得y2－2my－4＝0，則y1y2＝－4. 又x1＝，x2＝，故x1x2＝＝4. 因此OA的斜率與OB的斜率之積為·＝＝－1，所以O(shè)A⊥OB. 故坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上． (2)由(1)可得y1＋y2＝2m，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝2m2＋4. 故圓心M的坐標(biāo)為

35、(m2＋2，m)， 圓M的半徑r＝. 由于圓M過點(diǎn)P(4，－2)，因此·＝0， 故(x1－4)(x2－4)＋(y1＋2)(y2＋2)＝0， 即x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0. 由(1)可得y1y2＝－4，x1x2＝4. 所以2m2－m－1＝0，解得m＝1或m＝－. 當(dāng)m＝1時(shí)，直線l的方程為x－y－2＝0，圓心M的坐標(biāo)為(3,1)，圓M的半徑為，圓M的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝10. 當(dāng)m＝－時(shí)，直線l的方程為2x＋y－4＝0，圓心M的坐標(biāo)為，圓M的半徑為， 圓M的方程為2＋2＝. 5．[2015·全國(guó)卷Ⅰ]已知過點(diǎn)A(0,1)且斜

36、率為k的直線l與圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N兩點(diǎn)． (1)求k的取值范圍； (2)若·＝12，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求|MN|. 解　(1)由題設(shè)，可知直線l的方程為y＝kx＋1. 因?yàn)閘與C交于兩點(diǎn)，所以<1， 解得