2022年高中數(shù)學(xué)人教A版選修4-5教學(xué)案：第三講 三 排序不等式

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1、2022年高中數(shù)學(xué)人教A版選修4-5教學(xué)案：第三講 三 排序不等式 　　　　　　　　　　　 　　對應(yīng)學(xué)生用書P35 1．順序和、亂序和、反序和 設(shè)a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn為兩組實(shí)數(shù)，c1，c2，…，cn為b1，b2，…，bn的任一排列，稱a1b1＋a2b2＋…＋anbn為這兩個實(shí)數(shù)組的順序積之和(簡稱順序和)，稱a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1為這兩個實(shí)數(shù)組的反序積之和(簡稱反序和)．稱a1c1＋a2c2＋…＋ancn為這兩個實(shí)數(shù)組的亂序積之和(簡稱亂序和)． 2．排序不等式(排序原理) 定理：(排序原理，又稱為排序不等式

2、)　設(shè)a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn為兩組實(shí)數(shù)，c1，c2，…，cn為b1，b2，…，bn的任一排列，則有a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn，等號成立(反序和等于順序和)?a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn. 排序原理可簡記作：反序和≤亂序和≤順序和． [說明]　排序不等式也可以理解為兩實(shí)數(shù)序列同向單調(diào)時，所得兩兩乘積之和最大；反向單調(diào)(一增一減)時，所得兩兩乘積之和最?。? 　　　　　　　　　　　 　　對應(yīng)學(xué)生用書P35 [例1]　已知a，b，c為

3、正數(shù)，且a≥b≥c，求證： ＋＋≥＋＋. [思路點(diǎn)撥]　分析題目中已明確a≥b≥c，所以解答本題時可直接構(gòu)造兩個數(shù)組，再用排序不等式證明即可． [證明]　∵a≥b>0，于是≤， 又c>0，從而≥， 同理≥，從而≥≥. 又由于順序和不小于亂序和，故可得 ＋＋≥＋＋ ＝＋＋ ≥＋＋＝＋＋ ＝＋＋. 所以原不等式成立． 利用排序不等式證明不等式的技巧在于仔細(xì)觀察、分析所要證明的式子的結(jié)構(gòu)，從而正確地構(gòu)造出不等式中所需要的帶有大小順序的兩個數(shù)組． 1．已知0<α<β<γ<，求證：sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γ·cos α>(sin 2α

4、＋sin 2β＋sin 2γ)． 證明：∵0<α<β<γ<，且y＝sin x在為增函數(shù)，y＝cos x在為減函數(shù)， ∴0cos β>cos γ>0. ∴sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α>sin αcos α＋sin βcos β＋sin γcos γ＝(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)． 2．設(shè)x≥1，求證：1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn. 證明：∵x≥1，∴1≤x≤x2≤……≤xn. 由排序原理得12＋x2＋x4＋…＋x2n ≥1·xn＋x·xn－1＋…＋xn－1·x＋xn·

5、1 即1＋x2＋x4＋…＋x2nn≥(n＋1)xn.① 又因?yàn)閤，x2，…，xn,1為1，x，x2，…，xn的一個排列 由排序原理得：1·x＋x·x2＋…＋xn－1·xn＋xn·1 ≥1·xn＋x·xn－1＋…＋xn－1·x＋xn·1 得x＋x3＋…＋x2n－1＋xn≥(n＋1)xn② 將①②相加得1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn. 用排序不等式證明不等式(對所證不等式中的字母大小順序作出假設(shè)) [例2]　在△ABC中，試證：≤ [思路點(diǎn)撥]　可構(gòu)造△ABC的邊和角的有序數(shù)列，應(yīng)用排序不等式來證明． [證明]　不妨設(shè)a≤b≤c，于是A≤B≤C. 由排

6、序不等式，得 aA＋bB＋cC≥aA＋bB＋cC， aA＋bB＋cC≥bA＋cB＋aC， aA＋bB＋cC≥cA＋aB＋bC. 相加，得3(aA＋bB＋cC)≥(a＋b＋c)(A＋B＋C) ＝π(a＋b＋c)，得≥. 在排序不等式的條件中需要限定各數(shù)值的大小關(guān)系，對于沒有給出大小關(guān)系的情況，要根據(jù)各字母在不等式中地位的對稱性，限定一種大小關(guān)系． 3．設(shè)a，b，c都是正數(shù)，求證：＋＋≥a＋b＋c. 證明：由題意不妨設(shè)a≥b≥c＞0， 由不等式的單調(diào)性，知ab≥ac≥bc，≥≥. 由排序不等式，知 ab×＋ac×＋bc× ≥ab×＋ac×＋bc×， 即所證

7、不等式＋＋≥a＋b＋c成立． 4．設(shè)a1，a2，…，an是1,2，…，n的一個排列， 求證：＋＋…＋≤＋＋…＋. 證明：設(shè)b1，b2，…，bn－1是a1，a2，…，an－1的一個排列，且b1>…>且b1≥1，b2≥2，…，bn－1≥n－1，c1≤2，c2≤3，…，cn－1≤n. 利用排序不等式，有 ＋＋…＋≥＋＋…＋≥＋＋…＋. ∴原不等式成立． 對應(yīng)學(xué)生用書P36 1．有一有序數(shù)組，其順序

8、和為A，反序和為B，亂序和為C，則它們的大小關(guān)系為(　　) A．A≥B≥C　　　　　　　　　 　B．A≥C≥B C．A≤B≤C D．A≤C≤B 解析：由排序不等式，順序和≥亂序和≥反序和知；A≥C≥B. 答案：B 2．若A＝x＋x＋…＋x，B＝x1x2＋x2x3＋…＋xn－1xn＋xnx1其中x1x2，…，xn都是正數(shù)，則A與B的大小關(guān)系為(　　) A．A>B B．A

9、1x2＋x2x3＋…＋xnx1，即x＋x＋…＋x≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx1. 答案：C 3．銳角三角形中，設(shè)P＝，Q＝acos C＋bcos B＋ccos A，則P，Q的關(guān)系為(　　) A．P≥Q　　　　　　　 　B．P＝Q C．P≤Q D．不能確定 解析：不妨設(shè)A≥B≥C，則a≥b≥c，cos A≤cos B≤cos C，則由排序不等式有Q＝acos C＋bcos B＋ccos A≥acos B＋bcos C＋ccos A ＝R(2sin Acos B＋2sin Bcos C＋2sin Ccos A) ＝R[sin(A＋B)＋sin(B＋C)＋sin(A＋C)]