2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 第48課 基本不等式及其應(yīng)用（二）要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)

2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 第48課 基本不等式及其應(yīng)用（二）要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)基本不等式在方程與函數(shù)中的應(yīng)用　(xx·成都模擬)已知二次函數(shù)f(x)=ax2-4x+c(x∈R)的值域?yàn)閇0,+∞),那么+的最小值為　　　　.[答案]3[解析]由題意得a>0,且Δ=16-4ac=0?ac=4,所以+≥2=3.　(xx·湖北模擬)已知不等式xy≤ax2+2y2對(duì)于任意的x∈[1,2],y∈[2,3]恒成立,那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　　　.[答案][-1,+∞)[解析]由題意知a≥=-2,對(duì)x∈[1,2],y∈[2,3]恒成立,令t=,則a≥t-2t2,易知t∈[1,3],所以t-2t2∈[-15,-1],故a≥-1.基本不等式在數(shù)列、三角函數(shù)等問(wèn)題中的應(yīng)用　已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}滿(mǎn)足a7=a6+2a5,若存在兩項(xiàng)am,an,使得=4a1,則+的最小值為　　　　.[思維引導(dǎo)]首先根據(jù)條件找出m,n的關(guān)系式,再利用基本不等式求出+的最小值.[答案]　[解析]設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比為q,由a7=a6+2a5,得q2-q-2=0,解得q=2.由=4a1,得2m+n-2=24,即m+n=6.故+=(m+n)=+（+）≥+=,當(dāng)且僅當(dāng)n=2m時(shí)等號(hào)成立.[精要點(diǎn)評(píng)]將m+n=6表示為(m+n)=1,利用“1”的變換是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.　(xx·江蘇卷)若△ABC的內(nèi)角滿(mǎn)足sinA+sinB=2sinC,則cosC的最小值是　　　　.[答案][解析]由已知sinA+sinB=2sinC及正弦定理可得a+b=2c,cosC===≥=,當(dāng)且僅當(dāng)3a2=2b2即=時(shí)等號(hào)成立.基本不等式在解析幾何中的應(yīng)用　(xx·揚(yáng)州中學(xué)模擬)如圖,已知橢圓C:+y2=1的上、下頂點(diǎn)分別為A,B,點(diǎn)P在橢圓上,且異于點(diǎn)A,B,直線AP,BP與直線l:y=-2分別交于點(diǎn)M,N.(例3)(1) 設(shè)直線AP,BP的斜率分別為k1,k2,求證:k1·k2為定值;(2) 求線段MN的長(zhǎng)的最小值.[解答](1) 因?yàn)锳(0,1),B(0,-1),令P(x0,y0),則由題設(shè)可知x0≠0,所以直線AP的斜率k1=,PB的斜率k2=.又點(diǎn)P在橢圓上,所以+=1(x0≠0),從而有k1k2=·==-,為定值.(2) 由題設(shè)可以得到直線AP的方程為y-1=k1(x-0),直線BP的方程為y-(-1)=k2(x-0),由T由T所以直線AP與直線l的交點(diǎn)N,直線BP與直線l的交點(diǎn)M.又k1k2=-,所以MN===+4|k1|≥2=4,當(dāng)且僅當(dāng)=4|k1|,即k1=±時(shí)取等號(hào),故線段MN長(zhǎng)的最小值是4.基本不等式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用　(xx·湖北卷)某項(xiàng)研究表明,在考慮行車(chē)安全的情況下,某路段車(chē)流量F(單位時(shí)間內(nèi)測(cè)量點(diǎn)的車(chē)輛數(shù),單位:輛/小時(shí))與車(chē)流速度v(假設(shè)車(chē)輛以相同速度v行駛,單位:米/秒)、平均車(chē)長(zhǎng)l(單位:m)的值有關(guān),其公式為 F=.(1) 如果不限定車(chē)型,l=6.05,那么最大車(chē)流量為　　　輛/小時(shí);(2) 如果限定車(chē)型,l=5,那么最大車(chē)流量比(1)中的最大車(chē)流量增加　　　　輛/小時(shí).[答案](1) 1900　(2) 100[解析](1) 當(dāng)l=6.05時(shí),則F==≤=1 900,當(dāng)且僅當(dāng)v=,即v=11(米/秒)時(shí)取等號(hào).(2) 當(dāng)l=5時(shí),則F==≤=2 000,當(dāng)且僅當(dāng)v=,即v=10(米/秒)時(shí)取等號(hào),此時(shí)最大車(chē)流量比(1)中的最大車(chē)流量增加100輛/小時(shí).[精要點(diǎn)評(píng)]準(zhǔn)確構(gòu)建數(shù)學(xué)模型是解題的關(guān)鍵.本題根據(jù)所得函數(shù)的特征要結(jié)合基本不等式解決.　(xx·如皋中學(xué)模擬)揚(yáng)州某地區(qū)要建造一條防洪堤,其橫斷面為等腰梯形,腰與底邊成角為60°(如圖),考慮到防洪堤堅(jiān)固性及石塊用料等因素,設(shè)計(jì)其橫斷面要求面積為9 m2,且高度不低于m.記防洪堤橫斷面的腰長(zhǎng)為x(m),外周長(zhǎng)(梯形的上底BC與兩腰長(zhǎng)的和)為y(m).(變式)(1) 求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并指出其定義域;(2) 要使防洪堤橫斷面的外周長(zhǎng)不超過(guò)10.5m,則其腰長(zhǎng)x應(yīng)在什么范圍內(nèi)?(3) 當(dāng)防洪堤的腰長(zhǎng)x為多少米時(shí),堤的上面與兩側(cè)面的水泥用料最省(即斷面的外周長(zhǎng)最小)?求此時(shí)外周長(zhǎng)的值.[解答](1) 由題意得9=(AD+BC)h,其中AD=BC+2·=BC+x,h=x,所以9=(2BC+x)×x,得BC=-.由得2≤x<6.所以y=+,x∈[2,6).(2) 由y=+≤10.5,得3≤x≤4,因?yàn)閇3,4]ì[2,6),所以腰長(zhǎng)x的范圍是[3,4].(3) y=+≥2=6,當(dāng)且僅當(dāng)=,即x=2時(shí)等號(hào)成立.所以外周長(zhǎng)的最小值為6 m,此時(shí)腰長(zhǎng)為2 m.某化工企業(yè)xx年底投入100萬(wàn)元購(gòu)入一套污水處理設(shè)備.該設(shè)備每年的運(yùn)轉(zhuǎn)費(fèi)用是0.5萬(wàn)元,此外每年都要花費(fèi)一定的維護(hù)費(fèi),第一年的維護(hù)費(fèi)為2萬(wàn)元,由于設(shè)備老化,以后每年的維護(hù)費(fèi)都比上一年增加2萬(wàn)元.(1) 求該企業(yè)使用該設(shè)備x年的年平均污水處理費(fèi)用y(萬(wàn)元);(2) 為使該企業(yè)的年平均污水處理費(fèi)用最低,該企業(yè)幾年后需要重新更換新的污水處理設(shè)備? [規(guī)范答題](1) y=,即y=x++1.5(x>0). (7分)(2) 由均值不等式得y=x++1.5≥2+1.5=21.5(萬(wàn)元). (11分)當(dāng)且僅當(dāng)x=,即x=10時(shí)取等號(hào). (13分)答:該企業(yè)10年后需要重新更換新設(shè)備.(14分)1. 函數(shù)y=x+的值域是　　　　.[答案](-∞,-4 ]∪[4 ,+∞)[解析]當(dāng)x>0時(shí),x+≥4 (當(dāng)且僅當(dāng)x=2 時(shí)取等號(hào));當(dāng)x<0時(shí),-x>0,而(-x)+-≥4 (當(dāng)且僅當(dāng)x=-2 時(shí)取等號(hào)),所以x+≤-4 .則函數(shù)y的值域?yàn)閧y|y≤-4 或y≥4 }.2. 若x∈(0,π),則y=sin x+的最小值是　　　　.[答案]5[解析]注意利用基本不等式解決問(wèn)題時(shí)取“=”的條件.函數(shù)y在x=時(shí)取到最小值.3. (xx·邛崍?jiān)驴?若a>0,b>0,且函數(shù)f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1處有極值,則ab的最大值為　　　　.[答案]9[解析]f'(x)=12x2-2ax-2b,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1處有極值,所以f'(1)=0,即12-2a-2b=0,a+b=6,所以ab≤==9,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).4. 在如圖所示的銳角三角形空地中,欲建一個(gè)面積不小于300 m2的內(nèi)接矩形花園(陰影部分),則其邊長(zhǎng)x(單位:m)的取值范圍是　　　　.(第4題)[答案][10,30][解析]如圖所示,△ADE∽△ABC,設(shè)矩形的另一邊長(zhǎng)為y,則=,所以y=40-x.又xy≥300,所以x(40-x)≥300,即x2-40x+300≤0,解得10≤x≤30.(第4題)[溫馨提醒]趁熱打鐵,事半功倍.請(qǐng)老師布置同學(xué)們完成《配套檢測(cè)與評(píng)估》中的練習(xí)(第95-96頁(yè)).。