（魯京遼）2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 1.1.4 投影與直觀圖學(xué)案 新人教B版必修2

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1、1.1.4投影與直觀圖學(xué)習(xí)目標(biāo)理解直觀圖的斜二測畫法規(guī)則，會畫常見幾何體的直觀圖知識點直觀圖與斜二測畫法(1)直觀圖用來表示空間圖形的平面圖形(2)斜二測畫法的規(guī)則在已知模型所在的空間中取水平平面，作互相垂直的Ox，Oy軸，再作Oz軸，使xOz90，且yOz90.畫直觀圖時，把Ox，Oy，Oz畫成對應(yīng)的軸Ox，Oy，Oz，使xOy45(或135)，xOz90，xOy所確定的平面表示水平平面已知圖形中，平行于x軸、y軸或z軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x軸、y軸或z軸的線段，并使它們和所畫坐標(biāo)軸的位置關(guān)系，與已知圖形中相應(yīng)線段和原坐標(biāo)軸的位置關(guān)系相同已知圖形中平行于x軸和z軸的線段，在直觀圖

2、中保持長度不變，平行于y軸的線段，長度為原來的一半畫圖完成后，擦去作為輔助線的坐標(biāo)軸，就得到了空間圖形的直觀圖1用斜二測畫法畫水平放置的A時，若A的兩邊分別平行于x軸和y軸，且A90，則在直觀圖中，A45.()2用斜二測畫法畫平面圖形的直觀圖時，平行的線段在直觀圖中仍平行，且長度不變()3在斜二測畫法中平行于y軸的線段在直觀圖中長度保持不變()類型一直觀圖的畫法例1畫出如圖水平放置的直角梯形的直觀圖解(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底邊OB所在直線為x軸，垂直于OB的腰OD所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系畫出相應(yīng)的x軸和y軸，使xOy45，如圖(1)(2)所示(2)在x軸上截取OBOB，在

3、y軸上截取ODOD，過點D作x軸的平行線l，在l上沿x軸正方向取點C使得DCDC.連接BC，如圖(2)(3)所得四邊形OBCD就是直角梯形OBCD的直觀圖，如圖(3)引申探究若將本例中的直角梯形改為等腰梯形，其直觀圖如何？解畫法：(1)如圖所示，取AB所在直線為x軸，AB中點O為原點，建立直角坐標(biāo)系(2)畫對應(yīng)的坐標(biāo)系xOy，使xOy45.以O(shè)為中點在x軸上取ABAB，在y軸上取OEOE，以E為中點畫出CDx軸，并使CDCD.(3)連接BC，DA，所得的四邊形ABCD就是水平放置的等腰梯形ABCD的直觀圖反思與感悟(1)本題利用直角梯形互相垂直的兩邊建系，使畫直觀圖非常簡便(2)在畫水平放置的

4、平面圖形的直觀圖時，選取適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系是關(guān)鍵之一，一般要使平面多邊形盡可能多的頂點落在坐標(biāo)軸上，以便于畫點原圖中不平行于坐標(biāo)軸的線段可以通過作平行于坐標(biāo)軸的線段來作出其對應(yīng)線段關(guān)鍵之二是確定多邊形頂點的位置，借助于平面直角坐標(biāo)系確定頂點后，只需把這些頂點順次連接即可跟蹤訓(xùn)練1(1)用斜二測畫法畫邊長為4 cm的水平放置的正三角形(如圖)的直觀圖解如圖a所示，以BC邊所在的直線為x軸，以BC邊上的高線AO所在的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系畫出對應(yīng)的x軸、y軸，使xOy45.在x軸上截取OBOC2 cm，在y軸上截取OAOA cm，連接AB，AC，則三角形ABC即為正三角形ABC的直觀圖，如圖b

5、所示(2)畫一個正四棱錐的直觀圖(尺寸自定)解畫軸如圖c，畫x軸、y軸、z軸，使xOy45(或135)，xOz90.畫底面以O(shè)為中心，在xOy平面內(nèi)，畫出正方形的直觀圖ABCD.畫頂點在Oz軸上截取OS，使OS等于已知正四棱錐的高畫棱連接SA，SB，SC，SD，擦去輔助線(坐標(biāo)軸)，得到正四棱錐SABCD的直觀圖，如圖d所示類型二直觀圖的還原與計算命題角度1由直觀圖還原平面圖形例2如圖所示，ABC是水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖，將其還原成平面圖形解畫出直角坐標(biāo)系xOy，在x軸的正方向上取OAOA，即CACA；過B作BDy軸，交x軸于點D，在OA上取ODOD，過D作DBy軸，且使DB2DB；

6、連接AB，BC，得ABC.則ABC即為ABC對應(yīng)的平面圖形，如圖所示反思與感悟由直觀圖還原平面圖形的關(guān)鍵(1)平行于x軸的線段長度不變，平行于y軸的線段擴(kuò)大為原來的2倍(2)對于相鄰兩邊不與x、y軸平行的頂點可通過作x軸，y軸平行線變換確定其在xOy中的位置跟蹤訓(xùn)練2如圖所示，矩形OABC是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中OA6 cm，CD2 cm，則原圖形是_形答案菱解析如圖所示，在原圖形OABC中，應(yīng)有OD2OD224(cm)，CDCD2(cm)，OC6(cm)，OAOC，故四邊形OABC是菱形命題角度2原圖形與直觀圖的面積的計算例3如圖所示，梯形A1B1C1D1是一平面圖形ABCD的

7、直觀圖若A1D1Oy，A1B1C1D1，A1B1C1D12，A1D1OD11.試畫出原四邊形的形狀，并求出原圖形的面積解如圖，建立直角坐標(biāo)系xOy，在x軸上截取ODOD11，OCOC12.在過點D的y軸的平行線上截取DA2D1A12.在過點A的x軸的平行線上截取ABA1B12.連接BC，即得到了原圖形由作法可知，原四邊形ABCD是直角梯形，上、下底長度分別為AB2，CD3，直角腰的長度AD2，所以面積為S25.反思與感悟(1)由原圖形求直觀圖的面積，關(guān)鍵是掌握斜二測畫法，明確原來實際圖形中的高，在直觀圖中變?yōu)榕c水平直線成45(或135)角且長度為原來一半的線段，這樣可得出所求圖形相應(yīng)的高(2)

8、若一個平面多邊形的面積為S，它的直觀圖面積為S，則SS.跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，一個水平放置的三角形的斜二測直觀圖是等腰直角三角形ABO，若OB1，那么原三角形ABO的面積是()A. B.C. D2答案C解析直觀圖中等腰直角三角形直角邊長為1，因此面積為，又直觀圖與原平面圖形面積比為4，所以原圖形的面積為，故選C.1已知一個正方形的直觀圖是一個平行四邊形，其中有一邊長為4，則此正方形的面積為()A16 B64C16或64 D無法確定答案C解析等于4的一邊在原圖形中可能等于4，也可能等于8，所以正方形的面積為16或64.2利用斜二測畫法畫出邊長為3 cm的正方形的直觀圖，正確的是圖中的()答案C解析

9、正方形的直觀圖應(yīng)是平行四邊形，且相鄰兩邊的邊長之比為21.3有一個長為5 cm，寬為4 cm的矩形，則其用斜二測畫法得到的直觀圖的面積為_cm2.考點平面圖形的直觀圖題點與直觀圖有關(guān)的計算答案5解析該矩形直觀圖的面積為545.4.畫出水平放置的四邊形OBCD(如圖所示)的直觀圖解(1)過點C作CEx軸，垂足為E，如圖所示，畫出對應(yīng)的x軸、y軸，使xOy45，如圖所示(2)如圖所示，在x軸上取點B，E，使得OBOB，OEOE；在y軸上取一點D，使得ODOD；過E作ECy軸，使ECEC.連接DC，BC.(3)擦去坐標(biāo)軸及BE，EC，則所求四邊形OBCD的直觀圖如圖所示1畫水平放置的平面圖形的直觀圖

10、，關(guān)鍵是確定直觀圖的頂點確定點的位置，可采用直角坐標(biāo)系建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是迅速作出直觀圖的關(guān)鍵，常利用圖形的對稱性，并讓頂點盡量多地落在坐標(biāo)軸上或與坐標(biāo)軸平行的直線上2用斜二測畫法畫圖時要緊緊把握?。骸耙恍薄薄ⅰ岸y”兩點：(1)一斜：平面圖形中互相垂直的Ox、Oy軸，在直觀圖中畫成Ox、Oy軸，使xOy45或135.(2)二測：在直觀圖中平行于x軸的長度不變，平行于y軸的長度取一半，記為“橫不變，縱折半”3中心投影的投射線相交于一點，中心投影后，圖形與原圖形相比雖然相差較大，但直觀性強(qiáng)，看起來與人的視覺效果一致若一個平面圖形所在的平面與投射面平行，則中心投影后得到的圖形與原圖形相似一、選擇題1

11、給出以下說法，其中不正確的是_水平放置的矩形的直觀圖可能是梯形；水平放置的梯形的直觀圖可能是平行四邊形；水平放置的平行四邊形的直觀圖可能是矩形；水平放置的菱形的直觀圖可能是平行四邊形A BC D答案A解析由斜二測畫法規(guī)則可知不正確，故選A.2根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則畫直觀圖時，把Ox，Oy，Oz軸畫成對應(yīng)的Ox，Oy，Oz，則xOy與xOz的度數(shù)分別為()A90，90 B45，90C135，90 D45或135，90考點平面圖形的直觀圖題點平面圖形的直觀圖答案D解析根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，xOy的度數(shù)應(yīng)為45或135，xOz指的是畫立體圖形時的橫軸與縱軸的夾角，所以度數(shù)為90.3下面每個選項的2個邊

12、長為1的正ABC的直觀圖不是全等三角形的一組是()答案C解析可分別畫出各組圖形的直觀圖，觀察可得結(jié)論4如圖所示為一平面圖形的直觀圖，則此平面圖形可能是下圖中的()答案C解析設(shè)直觀圖中與x軸和y軸的交點分別為A和B，根據(jù)斜二測畫法在直角坐標(biāo)系中先做出對應(yīng)的A點和B點，再由平行于x軸的線段在原圖中平行于x軸，且長度不變，作出原圖可得C.5已知一個建筑物上部為四棱錐，下部為長方體，且四棱錐的底面與長方體的上底面尺寸一樣，長方體的長、寬、高分別為20 m,5 m,10 m，四棱錐的高為8 m如果按1500的比例畫出它的直觀圖，那么在直觀圖中，長方體的長、寬、高和棱錐的高應(yīng)分別為()A4 cm,1 cm

13、,2 cm,1.6 cmB4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cmC4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmD4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm答案B解析由比例尺可知，長方體的長、寬、高和棱錐的高應(yīng)分別為4 cm,1 cm,2 cm和1.6 cm，再結(jié)合直觀圖，圖形的尺寸應(yīng)為4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm.6關(guān)于斜二測畫法所得直觀圖，以下說法正確的是()A等腰三角形的直觀圖仍是等腰三角形B正方形的直觀圖為平行四邊形C梯形的直觀圖不是梯形D正三角形的直觀圖一定為等腰三角形答案B解析由直觀圖的性質(zhì)知B正確7如圖，用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖為

14、一個正方形，則原來圖形的形狀是()考點平面圖形的直觀圖題點由直觀圖還原平面圖形答案A解析直觀圖中正方形的對角線長為，故在平面圖形中平行四邊形的高為2，只有A項滿足條件，故A正確8.用斜二測畫法畫出的某平面圖形的直觀圖如圖所示，邊AB平行于y軸，邊BC，AD平行于x軸已知四邊形ABCD的面積為2 cm2，則原平面圖形ABCD的面積為()A4 cm2 B4 cm2 C8 cm2 D8 cm2答案C解析依題意可知，BAD45，則原平面圖形ABCD為直角梯形，上，下底邊分別為BC，AD，且長度分別與BC，AD相等，高為AB，且長度為梯形ABCD高的2倍，所以原平面圖形的面積為8 cm2.二、填空題9在

15、斜二測畫法中，位于平面直角坐標(biāo)系中的點M(4,4)在直觀圖中的對應(yīng)點是M，則點M的坐標(biāo)為_答案(4,2)解析由直觀圖畫法“橫不變，縱折半”可得點M的坐標(biāo)為(4,2)10如圖所示，四邊形OABC是上底為2，下底為6，底角為45的等腰梯形，用斜二測畫法畫出這個梯形的直觀圖OABC，則直觀圖梯形的高為_ cm.答案解析作CD，BEOA于點D，E，則ODEA2，ODCD2，直觀圖中梯形的高為2(cm)11.如圖所示，四邊形OABC的四個頂點坐標(biāo)分別為O(0,0)，A(2,4)，B(4,0)，C(4，2)，則該圖形直觀圖的面積為_答案3解析由S原4(42)12，則S直S原123.三、解答題12如圖所示，

16、在梯形ABCD中，ABCD，AB4 cm，CD2 cm，DAB30，AD3 cm，試畫出它的直觀圖解畫法：(1)如圖a所示，在梯形ABCD中，以邊AB所在的直線為x軸，點A為原點，建立平面直角坐標(biāo)系xOy.如圖b所示，畫出對應(yīng)的x軸，y軸，使xOy45.(2)在圖a中，過D點作DEx軸，垂足為E.在圖b中，在x軸上取ABAB4 cm，AEAE2.598 cm；過點E作EDy軸，使EDED0.75 cm，再過點D作DCx軸，且使DCDC2 cm.(3)連接AD、BC，并擦去x軸與y軸及其他一些輔助線，如圖c所示，則四邊形ABCD就是所求作的直觀圖13畫出一個正三棱臺的直觀圖(尺寸：上、下底面邊長

17、分別為1 cm,2 cm，高為2 cm)解(1)作水平放置的下底面等邊三角形的直觀圖ABC，其中O為ABC的重心，BC2 cm，線段AO與x軸的夾角為45，AO2OD.(2)過O作z軸，使xOz90，在z軸上截取OO2 cm，作上底面等邊三角形的直觀圖ABC，其中BC1 cm，線段AO與x軸的夾角為45，AO2OD，連接AA，BB，CC，得正三棱臺的直觀圖四、探究與拓展14.如圖所示為水平放置的ABO的直觀圖ABO，由圖判斷在原三角形中，AB，BO，BD，OD由小到大的順序是_答案ODBDABBO15.如圖為一邊長為1的正方形ABCD，已知該正方形是某個四邊形用斜二測畫法畫出的直觀圖，試畫出該四邊形原來的圖形，并求出其面積解(1)在正方形ABCD中建系如圖a，建立直角坐標(biāo)系xOy如圖b.(2)在x軸上截取AOAO，OCOC.(3)過點A作ADy軸，并截取AD2AD.過點C作CBy軸，并截取CB2CB.(4)連接DC，AB.四邊形ABCD為原圖形因為AC在水平方向，ABCD為正方形，所以在四邊形ABCD中，DAAC.所以DA2DA2，ACAC，所以S四邊形ABCDACAD2.12