2022高考數(shù)學一輪復習 第三章 導數(shù)及其應用 3.1 導數(shù)的概念及運算練習 文

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1、2022高考數(shù)學一輪復習 第三章 導數(shù)及其應用 3.1 導數(shù)的概念及運算練習 文考點內(nèi)容解讀要求高考示例?？碱}型預測熱度1.導數(shù)的概念與幾何意義1.了解導數(shù)概念的實際背景2.理解導數(shù)的幾何意義2017課標全國,14;2017天津,10;2016山東,10;2015課標,14;2015課標,16選擇題、填空題2.導數(shù)的運算1.能根據(jù)導數(shù)定義求函數(shù)y=C(C為常數(shù)),y=x,y=,y=x2,y=x3,y=的導數(shù)2.能利用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù)2016天津,10;2015天津,11選擇題、解答題分析解讀本部分主要是對導數(shù)概念及其運算的考查,以導數(shù)的運算公式和運算法

2、則為基礎,以導數(shù)的幾何意義為重點.1.導數(shù)的幾何意義最常見的是求過曲線上某點的切線的斜率、方程、斜率與傾斜角的關系、切點的坐標,或以平行、垂直直線的斜率間的關系為載體求字母的取值等.2.導數(shù)的運算是每年必考的內(nèi)容,一般不單獨考查,而在考查導數(shù)的應用時與單調(diào)性、極值與最值結合出題考查.3.本節(jié)內(nèi)容在高考中分值為5分左右,屬于容易題.五年高考考點一導數(shù)的概念與幾何意義1.(2016山東,10,5分)若函數(shù)y=f(x)的圖象上存在兩點,使得函數(shù)的圖象在這兩點處的切線互相垂直,則稱y=f(x)具有T性質(zhì).下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是()A.y=sin xB.y=ln xC.y=exD.y=x3答案A2.(

3、2014陜西,10,5分)如圖,修建一條公路需要一段環(huán)湖彎曲路段與兩條直道平滑連接(相切).已知環(huán)湖彎曲路段為某三次函數(shù)圖象的一部分,則該函數(shù)的解析式為()A.y=x3-x2-xB.y=x3+x2-3xC.y=x3-xD.y=x3+x2-2x答案A3.(2017天津,10,5分)已知aR,設函數(shù)f(x)=ax-ln x的圖象在點(1, f(1)處的切線為l,則l在y軸上的截距為.答案14.(2017課標全國,14,5分)曲線y=x2+在點(1,2)處的切線方程為.答案x-y+1=05.(2016課標全國,16,5分)已知f(x)為偶函數(shù),當x0時, f(x)=e-x-1-x,則曲線y=f(x)

4、在點(1,2)處的切線方程是.答案y=2x6.(2015課標,14,5分)已知函數(shù)f(x)=ax3+x+1的圖象在點(1, f(1)處的切線過點(2,7),則a=.答案17.(2015課標,16,5分)已知曲線y=x+ln x在點(1,1)處的切線與曲線y=ax2+(a+2)x+1相切,則a=.答案88.(2014江西,11,5分)若曲線y=xln x上點P處的切線平行于直線2x-y+1=0,則點P的坐標是.答案(e,e)教師用書專用(915)9.(2014廣東,11,5分)曲線y=-5ex+3在點(0,-2)處的切線方程為.答案5x+y+2=010.(2013江西,11,5分)若曲線y=x+

5、1(R)在點(1,2)處的切線經(jīng)過坐標原點,則=.答案211.(2013廣東,12,5分)若曲線y=ax2-ln x在點(1,a)處的切線平行于x軸,則a=.答案12.(2015山東,20,13分)設函數(shù)f(x)=(x+a)ln x,g(x)=.已知曲線y=f(x)在點(1, f(1)處的切線與直線2x-y=0平行.(1)求a的值;(2)是否存在自然數(shù)k,使得方程f(x)=g(x)在(k,k+1)內(nèi)存在唯一的根?如果存在,求出k;如果不存在,請說明理由;(3)設函數(shù)m(x)=minf(x),g(x)(minp,q表示p,q中的較小值),求m(x)的最大值.解析(1)由題意知,曲線y=f(x)在

6、點(1, f(1)處的切線斜率為2,所以f (1)=2,又f (x)=ln x+1,所以a=1.(2)k=1時,方程f(x)=g(x)在(1,2)內(nèi)存在唯一的根.設h(x)=f(x)-g(x)=(x+1)ln x-,當x(0,1時,h(x)1-1=0,所以存在x0(1,2),使得h(x0)=0.因為h(x)=ln x+1+,所以當x(1,2)時,h(x)1-0,當x(2,+)時,h(x)0,所以當x(1,+)時,h(x)單調(diào)遞增.所以k=1時,方程f(x)=g(x)在(k,k+1)內(nèi)存在唯一的根.(3)由(2)知方程f(x)=g(x)在(1,2)內(nèi)存在唯一的根x0,且x(0,x0)時, f(x

7、)g(x),所以m(x)=當x(0,x0)時,若x(0,1,m(x)0;若x(1,x0),由m(x)=ln x+10,可知00,m(x)單調(diào)遞增;x(2,+)時,m(x)0,m(x)單調(diào)遞減,可知m(x)m(2)=,且m(x0)0,函數(shù)f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增,當a0時,令g(x)=ax2+(2a+2)x+a,=(2a+2)2-4a2=4(2a+1).當a=-時,=0,f (x)=0,函數(shù)f(x)在(0,+)上單調(diào)遞減.當a-時,0,g(x)0,f (x)0,函數(shù)f(x)在(0,+)上單調(diào)遞減.當-a0,設x1,x2(x10,所以x(0,x1)時,g(x)0,f (x)0,f (x)0,

8、函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,x(x2,+)時,g(x)0,f (x)0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.綜上可得:當a0時,函數(shù)f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增;當a-時,函數(shù)f(x)在(0,+)上單調(diào)遞減;當-a0且g(1)0,即-3t-1時,因為g(-1)=t-70,所以g(x)分別在區(qū)間-1,0),0,1)和1,2)上恰有1個零點.由于g(x)在區(qū)間(-,0)和(1,+)上單調(diào),所以g(x)分別在區(qū)間(-,0)和1,+)上恰有1個零點.綜上可知,當過點P(1,t)存在3條直線與曲線y=f(x)相切時,t的取值范圍是(-3,-1).(3)過點A(-1,2)存在3條直線與曲線y=f(x)相切;過點B(2,10

9、)存在2條直線與曲線y=f(x)相切;過點C(0,2)存在1條直線與曲線y=f(x)相切.15.(2013北京,18,13分)已知函數(shù)f(x)=x2+xsin x+cos x.(1)若曲線y=f(x)在點(a, f(a)處與直線y=b相切,求a與b的值;(2)若曲線y=f(x)與直線y=b有兩個不同交點,求b的取值范圍.解析由f(x)=x2+xsin x+cos x,得f (x)=x(2+cos x).(1)因為曲線y=f(x)在點(a,f(a)處與直線y=b相切,所以f (a)=a(2+cos a)=0,b=f(a).解得a=0,b=f(0)=1.(2)令f (x)=0,得x=0.f(x)與

10、f (x)的情況如下:x(-,0)0(0,+)f (x)-0+f(x)1所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(-,0)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(0,+)上單調(diào)遞增,所以f(0)=1是f(x)的最小值.當b1時,曲線y=f(x)與直線y=b最多只有一個交點;當b1時,f(-2b)=f(2b)4b2-2b-14b-2b-1b,f(0)=11時曲線y=f(x)與直線y=b有且僅有兩個不同交點.綜上可知,如果曲線y=f(x)與直線y=b有兩個不同交點,那么b的取值范圍是(1,+).考點二導數(shù)的運算1.(2016天津,10,5分)已知函數(shù)f(x)=(2x+1)ex, f (x)為f(x)的導函數(shù),則f (0)的值為.答案3

11、2.(2015天津,11,5分)已知函數(shù)f(x)=axln x,x(0,+),其中a為實數(shù), f (x)為f(x)的導函數(shù).若f (1)=3,則a的值為.答案3三年模擬A組20162018年模擬基礎題組考點一導數(shù)的概念與幾何意義1.(2018廣東佛山一中期中考試,11)已知f(x)=(x+a)ex的圖象在x=-1與x=1處的切線互相垂直,則a=()A.-1B.0C.1D.2答案A2.(2017四川名校一模,6)已知函數(shù)f(x)的圖象如圖, f (x)是f(x)的導函數(shù),則下列數(shù)值排序正確的是()A.0f (2)f (3)f(3)-f(2)B.0f (3)f (2)f(3)-f(2)C.0f (

12、3)f(3)-f(2)f (2)D.0f(3)-f(2)f (2)0時,f(x)的導函數(shù)f(x)的極小值為.答案25.(2017天津紅橋期中聯(lián)考,16)若曲線f(x)=ax5+ln x存在垂直于y軸的切線,則實數(shù)a的取值范圍是.答案(-,0)三、解答題(每小題10分,共30分)6.(2018廣東惠州一調(diào),21)設函數(shù)f(x)=.(1)求曲線y=f(x)在點(e,f(e)處的切線方程;(2)當x1時,不等式f(x)-恒成立,求a的取值范圍.解析(1)根據(jù)題意可得,f(e)=,f (x)=,所以f (e)=-,所以曲線在點(e,f(e)處的切線方程為y-=-(x-e),即x+e2y-3e=0.(2

13、)根據(jù)題意可得,f(x)-=0在x1時恒成立,令g(x)=ln x-a(x2-1)(x1),所以g(x)=-2ax,當a0時,g(x)0,所以函數(shù)y=g(x)在1,+)上單調(diào)遞增,所以g(x)g(1)=0,所以不等式f(x)-成立,故a0符合題意;當a0時,令-2ax=0,解得x=(舍負),令=1,解得a=,當0a1,所以在上,g(x)0,在上,g(x)0恒成立,又0a,所以h(a)h=-ln-2+=ln 2-0,所以存在g0,所以0a不符合題意;當a時,1,g(x)0時,f(x)0恒成立,求a的取值范圍.解析(1)當a=1時,f(x)=ex-x2-2x-1,f(-1)=,所以切點坐標為,f

14、(x)=ex-2x-2,所以f (-1)=,故曲線y=f(x)在點(-1,f(-1)處的切線方程為y-=x-(-1),即y=x+.(2)對f(x)=ex-ax2-2ax-1求導得f (x)=ex-2ax-2a,令g(x)=f (x)=ex-2ax-2a(x0),則g(x)=ex-2a(x0).當2a1,即a時,g(x)=ex-2a1-2a0,所以g(x)=f (x)=ex-2ax-2a在(0,+)上為增函數(shù),所以g(x)g(0)=1-2a0,則f(x)在(0,+)上為增函數(shù),所以f(x)f(0)=1-0-0-1=0,故a時符合題意.當2a1,即a時,令g(x)=ex-2a=0,得x=ln 2a

15、0,當x變化時,g(x),g(x)的變化情況如下表,x(0,ln 2a)ln 2a(ln 2a,+)g(x)-0+g(x)減函數(shù)極小值增函數(shù)當x(0,ln 2a)時,g(x)g(0)=1-2a0,即f (x)0.所以f(x)在(0,ln 2a)上為減函數(shù),所以f(x)0,在(ln 2,+)上,g(x)0恒成立,則下列不等式成立的是()A.f(-3)f(4)f(-5)B.f(4)f(-3)f(-5)C.f(-5)f(-3)f(4)D.f(4)f(-5)f(-3)答案A2.(2017遼寧大連期中聯(lián)考,6)已知函數(shù)f(x)=x2 008,則f =()A.0B.1C.2006D.2007答案B方法2利

16、用導數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程3.(2018河南天一大聯(lián)考,10)已知f(x)是定義在R上的單調(diào)函數(shù),滿足ff(x)-ex=1,則曲線y=f(x)在(0,f(0)處的切線方程為()A.y=x+1B.y=x-1C.y=-x+1D.y=-x-1答案A4.(2016遼寧實驗中學分校期中,20)已知函數(shù)f(x)=x3-x2+bx+a(a,bR),其導函數(shù)f (x)的圖象過原點.(1)當a=1時,求函數(shù)f(x)的圖象在x=3處的切線方程;(2)若存在x0,使得f (x)=-9,求a的最大值;解析(1)f (x)=x2-(a+1)x+b,由題意得f (0)=0,故b=0.所以f (x)=x(x-a-1).當a=1時,f(x)=x3-x2+1,f (x)=x(x-2),故f(3)=1,f (3)=3.故函數(shù)f(x)的圖象在x=3處的切線方程為y-1=3(x-3),即3x-y-8=0.(2)由f (x)=-9,得x(x-a-1)=-9.當x0時,-a-1=-x-=(-x)+2=6,所以a-7.當且僅當x=-3時,a=-7,故a的最大值為-7.