2022高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何 第四節(jié) 橢圓檢測 理 新人教A版

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1、2022高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何 第四節(jié) 橢圓檢測 理 新人教A版1(2018太原一模)已知橢圓1(ab0)的一個焦點是圓x2y26x80的圓心，且短軸長為8，則橢圓的左頂點為()A(3，0)B(4，0)C(10，0) D(5，0)解析：選D.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x3)2y21，圓心坐標(biāo)為(3，0)，c3.又b4，a5.橢圓的焦點在x軸上，橢圓的左頂點為(5，0)2(2018湖北武漢模擬)已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，長軸長是8，離心率是，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.1 B1或1C.1 D1或1解析：選B.因為a4，e，所以c3，所以b2a2c21697.因為焦點的位置不確定，所以橢圓的標(biāo)

2、準(zhǔn)方程是1或1.3(2018湖北八校聯(lián)考)設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓1的兩個焦點，點P在橢圓上，若線段PF1的中點在y軸上，則的值為()A. BC. D解析：選B.由題意知a3，b，c2.設(shè)線段PF1的中點為M，則有OMPF2，因為OMF1F2，所以PF2F1F2，所以|PF2|.又因為|PF1|PF2|2a6，所以|PF1|2a|PF2|，所以，故選B.4(2018湖南百校聯(lián)盟聯(lián)考)已知橢圓1(ab0)的右頂點和上頂點分別為A、B，左焦點為F.以原點O為圓心的圓與直線BF相切，且該圓與y軸的正半軸交于點C，過點C的直線交橢圓于M、N兩點若四邊形FAMN是平行四邊形，則該橢圓的離心率為()A. B

3、C. D解析：選A.因為圓O與直線BF相切，所以圓O的半徑為，即OC，因為四邊形FAMN是平行四邊形，所以點M的坐標(biāo)為，代入橢圓方程得1，所以5e22e30，又0e1，所以e.故選A.5(2018四川涼山州模擬)以橢圓短軸為直徑的圓經(jīng)過此橢圓的長軸的兩個三等分點，則該橢圓的離心率是()A. BC. D解析：選D.不妨令橢圓方程為1(ab0)因為以橢圓短軸為直徑的圓經(jīng)過此橢圓的長軸的兩個三等分點，所以2b，即a3b，則c2b，則該橢圓的離心率e.故選D.6(2018貴陽模擬)若橢圓1(ab0)的離心率為，短軸長為4，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_解析：由題意可知e，2b4，得b2，所以解得所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方

4、程為1.答案：17設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓1的兩個焦點，P是橢圓上的點，且|PF1|PF2|43，則PF1F2的面積為_解析：因為|PF1|PF2|14，又|PF1|PF2|43，所以|PF1|8，|PF2|6.因為|F1F2|10，所以PF1PF2.所以SPF1F2|PF1|PF2|8624.答案：248(2018海南?？谀M)已知橢圓1(ab0)的左焦點為F1(c，0)，右頂點為A，上頂點為B，現(xiàn)過A點作直線F1B的垂線，垂足為T，若直線OT(O為坐標(biāo)原點)的斜率為，則該橢圓的離心率為_解析：因為橢圓1(ab0)，A，B和F1點坐標(biāo)分別為(a，0)，(0，b)，(c，0)，所以直線BF1的方程是

5、yxb，OT的方程是yx.聯(lián)立解得T點坐標(biāo)為，直線AT的斜率為.由ATBF1得，1，3b24acc2，3(a2c2)4acc2，4e24e30，又0e1，所以e.答案：9分別求出滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)與橢圓1有相同的離心率且經(jīng)過點(2，)；(2)已知點P在以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓上，且P到兩焦點的距離分別為5，3，過P且與長軸垂直的直線恰過橢圓的一個焦點解：(1)由題意，設(shè)所求橢圓的方程為t1或t2(t1，t20)，因為橢圓過點(2，)，所以t12，或t2.故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1.(2)由于焦點的位置不確定，所以設(shè)所求的橢圓方程為1(ab0)或1(ab0)，由已知條件得解得a4

6、，c2，所以b212.故橢圓方程為1或1.10(2018蘭州市診斷考試)已知橢圓C：1(ab0)經(jīng)過點(，1)，且離心率為.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)M，N是橢圓上的點，直線OM與ON(O為坐標(biāo)原點)的斜率之積為.若動點P滿足2，求點P的軌跡方程解：(1)因為e，所以，又橢圓C經(jīng)過點(，1)，所以1，解得a24，b22，所以橢圓C的方程為1.(2)設(shè)P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，則由2得xx12x2，yy12y2，因為點M，N在橢圓1上，所以x2y4，x2y4，故x22y2(x4x1x24x)2(y4y1y24y)(x2y)4(x2y)4(x1x22y1y2)204(x

7、1x22y1y2)設(shè)kOM，kON分別為直線OM與ON的斜率，由題意知，kOMkON，因此x1x22y1y20，所以x22y220，故點P的軌跡方程為1.B級能力提升練11(2018湖北八校第一次聯(lián)考)如圖，已知橢圓C的中心為原點O，F(xiàn)(5，0)為C的左焦點，P為C上一點，滿足|OP|OF|且|PF|6，則橢圓C的方程為()A.1 B1C.1 D1解析：選C.由題意可得c5，設(shè)右焦點為F，連接PF，由|OP|OF|OF|知，PFFFPO，OFPOPF，PFFOFPFPOOPF，F(xiàn)POOPF90，即PFPF.在RtPFF中，由勾股定理，得|PF|8，由橢圓定義，得|PF|PF|2a6814，從而

8、a7，得a249，于是b2a2c2725224，所以橢圓C的方程為1，故選C.12(2018河南鄭州質(zhì)量預(yù)測)橢圓1的左焦點為F，直線xa與橢圓相交于點M，N，當(dāng)FMN的周長最大時，F(xiàn)MN的面積是()A. BC. D解析：選C.設(shè)橢圓的右焦點為E，由橢圓的定義知FMN的周長為L|MN|MF|NF|MN|(2|ME|)(2|NE|)因為|ME|NE|MN|，所以|MN|ME|NE|0，當(dāng)直線MN過點E時取等號，所以L4|MN|ME|NE|4，即直線xa過橢圓的右焦點E時，F(xiàn)MN的周長最大，此時SFMN|MN|EF|2，故選C.13(2018陜西部分學(xué)校一檢)已知P為橢圓1(ab0)上一點，F(xiàn)1，

9、F2是其左、右焦點，F(xiàn)1PF2取最大值時，cosF1PF2，則橢圓的離心率為_解析：易知F1PF2取最大值時，點P為橢圓1與y軸的交點，由余弦定理及橢圓的定義得2a24c2，即ac，所以橢圓的離心率e.答案：14(2018河南師大附中模擬)橢圓C：1(ab0)的左焦點為F，若F關(guān)于直線xy0的對稱點A是橢圓C上的點，則橢圓C的離心率為_解析：設(shè)F為橢圓的右焦點，則AFAF，AFF，|AF|AF|，|FF|2|AF|，因此橢圓C的離心率為1.答案：115已知A(x0，0)，B(0，y0)兩點分別在x軸和y軸上運(yùn)動，且|AB|1，若動點P(x，y)滿足2.(1)求動點P的軌跡C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直

10、線l：xty1與曲線C交于A，B兩點，E(1，0)，試問：當(dāng)t變化時，是否存在一條直線l，使ABE的面積為2？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由解：(1)因為2，即(x，y)2(x0，0)(0，y0)(2x0，y0)，所以x2x0，yy0，所以x0x，y0y，又|AB|1，所以xy1，即1，即1，所以動點P的軌跡C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)由方程組得(3t24)y26ty90，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y2，y1y20，所以|y1y2|.因為直線xty1過點F(1，0)，所以SABE|EF|y1y2|2，令2，則t2，不成立，故不存在滿足題意的直線l.16(2018湖北

11、部分重點中學(xué)起點考試)已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，左焦點為F(1，0)，過點D(0，2)且斜率為k的直線l交橢圓于A，B兩點(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)在y軸上，是否存在定點E，使恒為定值？若存在，求出E點的坐標(biāo)和這個定值；若不存在，說明理由解：(1)由已知可得可得a22，b21，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(2)設(shè)過點D(0，2)且斜率為k的直線l的方程為ykx2，由消去y整理得(12k2)x28kx60，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2.又y1y2(kx12)(kx22)k2x1x22k(x1x2)4，y1y2(kx12)(kx22)k(x1x2)4

12、.設(shè)存在點E(0，m)，則(x1，my1)，(x2，my2)，所以x1x2m2m(y1y2)y1y2m2m.要使t(t為常數(shù))，只需t，從而(2m222t)k2m24m10t0，即解得m，從而t，故存在定點E，使恒為定值.C級素養(yǎng)加強(qiáng)練17已知橢圓1(ab0)的一個頂點為B(0，4)，離心率e，直線l交橢圓于M，N兩點(1)若直線l的方程為yx4，求弦MN的長；(2)如果BMN的重心恰好為橢圓的右焦點F，求直線l方程的一般式解：(1)由已知得b4，且，即，解得a220，橢圓方程為1.則4x25y280與yx4聯(lián)立，消去y得9x240x0，x10，x2，所求弦長|MN|x2x1|.(2)設(shè)橢圓右焦點F的坐標(biāo)為(2，0)，線段MN的中點為Q(x0，y0)，由三角形重心的性質(zhì)知2，又B(0，4)，(2，4)2(x02，y0)，故得x03，y02，即得Q的坐標(biāo)為(3，2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1x26，y1y24，且1，1，以上兩式相減得0，kMN，故直線MN的方程為y2(x3)，即6x5y280.