（江蘇專(zhuān)版）2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七章 不等式 第39講 不等關(guān)系與不等式學(xué)案 理

5、) 3.不等式的一些常用性質(zhì) (1)倒數(shù)的性質(zhì) ①a>b，ab>0?<. ②a<0b>0，0. ④0b>0，m>0，則 ①<；>(b－m>0). ②>；<(b－m>0). 考點(diǎn)一　比較兩個(gè)數(shù)(式)的大小 【例1】 (1)(一題多解)若a＝，b＝，c＝，則a，b，c的大小關(guān)系為_(kāi)_______. (2)(2018·無(wú)錫期中)若<<0，給出下列四個(gè)不等式： ①a＋b|b|；③a2中，其中正確的不等式是________(填序號(hào)). 解析　(1

6、)法一　易知a，b，c都是正數(shù)，＝ ＝log8164<1， 所以a>b； ＝＝log6251 024>1， 所以b>c.即ce時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減. 因?yàn)閑<3<4<5，所以f(3)>f(4)>f(5)， 即c0.經(jīng)逐一分析，得①④正確. 答案　(1)c

7、者完全平方式.當(dāng)兩個(gè)式子都為正數(shù)時(shí)，有時(shí)也可以先平方再作差. (2)作商法： 一般步驟：①作商；②變形；③判斷商與1的大小；④結(jié)論. (3)函數(shù)的單調(diào)性法：將要比較的兩個(gè)數(shù)作為一個(gè)函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得出大小關(guān)系. 注意：在綜合題中遇到比較大小時(shí)要采用此法. 【訓(xùn)練1】 (1)設(shè)a，b∈[0，＋∞)，A＝＋，B＝，則A，B的大小關(guān)系是________. (2)若a＝1816，b＝1618，則a與b的大小關(guān)系為_(kāi)_______. 解析　(1)∵A≥0，B≥0， A2－B2＝a＋2＋b－(a＋b) ＝2≥0， ∴A≥B. (2)＝＝ ＝＝， ∵∈(0，1)，∴

8、<1， ∵1816>0，1618>0， ∴1816<1618，即aac; ②c(b－a)<0； ③cb20. (2)設(shè)a，b為正實(shí)數(shù).現(xiàn)有下列命題： ①若a2－b2＝1，則a－b<1；②若－＝1，則a－b<1；③若|－|＝1，則 |a－b|<1；④若|a3－b3|＝1，則|a－b|<1. 其中的真命題有________(寫(xiě)出所有真命題的編號(hào)). 解析　(1

9、)由c0. 由b>c得ab>ac一定成立. (2)①中，a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝1，a，b為正實(shí)數(shù)，若a－b≥1，則必有a＋b>1，又a－b＝，不合題意，故①正確. ②中，－＝＝1，只需a－b＝ab即可.如取a＝2，b＝滿(mǎn)足上式，但a－b＝>1，故②錯(cuò). ③中，a，b為正實(shí)數(shù)，所以＋>|－|＝1，且|a－b|＝|(＋)(－)|＝|＋|>1，故③錯(cuò). ④中，|a3－b3|＝|(a－b)(a2＋ab＋b2)|＝|a－b|(a2＋ab＋b2)＝1. 若|a－b|≥1，不妨設(shè)a>b>1，則必有a2＋ab＋b2>1，不合題意，故④正確. 答案　(1

10、)①　(2)①④ 規(guī)律方法　解決此類(lèi)問(wèn)題常用兩種方法：一是直接使用不等式的性質(zhì)逐個(gè)驗(yàn)證；二是利用特殊值法排除錯(cuò)誤答案.利用不等式的性質(zhì)判斷不等式是否成立時(shí)要特別注意前提條件. 【訓(xùn)練2】 (一題多解)若a>0>b>－a，cbc；②＋<0；③a－c>b－d；④a(d－c)>b(d－c)中成立的個(gè)數(shù)是________. 解析　法一　∵a>0>b，c0， ∴ad0>b>－a，∴a>－b>0， ∵c－d>0， ∴a(－c)>(－b)(－d)， ∴ac＋bd<0，∴＋＝<0，故②正確

11、. ∵c－d， ∵a>b，∴a＋(－c)>b＋(－d)， ∴a－c>b－d，故③正確. ∵a>b，d－c>0，∴a(d－c)>b(d－c)， 故④正確. 法二　取特殊值. 答案　3 考點(diǎn)三　不等式性質(zhì)的應(yīng)用 【例3－1】 (一題多解)已知a>b>0，給出下列四個(gè)不等式： ①a2>b2；②2a>2b－1；③>－；④a3＋b3>2a2b. 其中一定成立的不等式為_(kāi)_______(填序號(hào)). 解析　法一　由a>b>0可得a2>b2，①成立； 由a>b>0可得a>b－1，而函數(shù)f(x)＝2x在R上是增函數(shù)， ∴f(a)>f(b－1)，即2a>2b－1，②成立；

12、 ∵a>b>0，∴>， ∴()2－(－)2 ＝2－2b＝2(－)>0， ∴>－，③成立； 若a＝3，b＝2，則a3＋b3＝35，2a2b＝36， a3＋b3<2a2b，④不成立. 法二　令a＝3，b＝2， 可以得到①a2>b2，②2a>2b－1，③>－均成立，而④a3＋b3>2a2b不成立. 答案　①②③ 【例3－2】 已知－1

13、 ∴1<3x＋2y<18. 答案　(－4，2)　(1，18) 規(guī)律方法　(1)判斷不等式是否成立的方法 ①判斷不等式是否成立，需要逐一給出推理判斷或反例說(shuō)明.常用的推理判斷需要利用不等式的性質(zhì). ②在判斷一個(gè)關(guān)于不等式的命題真假時(shí)，先把要判斷的命題和不等式性質(zhì)聯(lián)系起來(lái)考慮，找到與命題相近的性質(zhì)，并應(yīng)用性質(zhì)判斷命題真假，當(dāng)然判斷的同時(shí)還要用到其他知識(shí)，比如對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等. (2)求代數(shù)式的取值范圍 利用不等式性質(zhì)求某些代數(shù)式的取值范圍時(shí)，多次運(yùn)用不等式的性質(zhì)時(shí)有可能擴(kuò)大變量的取值范圍.解決此類(lèi)問(wèn)題，一般是利用整體思想，通過(guò)“一次性”不等關(guān)系的運(yùn)算求得整體范圍，是避免錯(cuò)誤的

14、有效途徑. 【訓(xùn)練3】 (1)若a；　　?、赼2bn. (2)設(shè)a>b>1，c<0，給出下列三個(gè)結(jié)論： ①>； ②acloga(b－c). 其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是________. 解析　(1)(特值法)取a＝－2，b＝－1，逐個(gè)檢驗(yàn)，可知①，②，④均不正確； ③中，

15、>b>1知<， 又c<0，∴>，①正確； 構(gòu)造函數(shù)y＝xc， ∵c<0，∴y＝xc在(0，＋∞)上是減函數(shù)， 又a>b>1，∴acb>1，c<0，∴a－c>b－c>1， ∴l(xiāng)ogb(a－c)>loga(a－c)>loga(b－c)，③正確. 答案　(1)③　(2)①②③ 一、必做題 1.當(dāng)x＞1時(shí)，x3與x2－x＋1的大小關(guān)系為_(kāi)_______. 解析　∵x3－(x2－x＋1) ＝x3－x2＋x－1＝x2(x－1)＋(x－1) ＝(x－1)(x2＋1). 又∵x＞1， 故(x－1)(x2＋1)＞0， ∴x3－(x2－x＋1)＞0， 即

16、x3＞x2－x＋1. 答案　x3＞x2－x＋1 2.(2018·鎮(zhèn)江模擬)若6y>z，x＋y＋z＝0，則下列不等式成立的是________(填序號(hào)). ①xy>yz; ②xz>yz； ③xy>xz; ④x|y|>z|y|. 解析　∵x>y>z且x＋y＋z＝0，∴x>0，z<0， 又y>z，∴xy>xz. 答案?、? 4.設(shè)a，b∈R，則“(a－b)·a2<0”是“a

17、. 解析　由(a－b)·a2<0?a≠0且ab，則ac2>bc2； ②若>，則a>b； ③若a3>b3且ab<0，則>； ④若a2>b2且ab>0，則<. 解析　當(dāng)c＝0時(shí)，可知①不正確； 當(dāng)c<0時(shí)，可知②不正確； 對(duì)于③，

18、由a3>b3且ab<0，知a>0且b<0， 所以>成立，③正確； 當(dāng)a<0且b<0時(shí)，可知④不正確. 答案?、? 7.若a>b>0，則下列不等式中一定成立的是________(填序號(hào)). ①a＋>b＋；②>； ③a－>b－；④>. 解析　取a＝2，b＝1，排除②與④；另外，函數(shù)f(x)＝x－是(0，＋∞)上的增函數(shù)，但函數(shù)g(x)＝x＋在(0，1]上遞減，在[1，＋∞)上遞增，所以，當(dāng)a>b>0時(shí)，f(a)>f(b)必定成立，即a－>b－?a＋>b＋，但g(a)>g(b)未必成立. 答案　① 8.若a>b>0，則下列不等式一定不成立的是________(填序號(hào)). ①<；②l

19、og2a>log2b； ③a2＋b2≤2a＋2b－2；④b<<0(由a>b>0，a，b不能同時(shí)為1)， ∴a2＋b2－2a－2b＋2>0，∴a2＋b2>2a＋2b－2， ∴③一定不成立. 答案?、? 9.若不等式(－2)na－3n－1－(－2)n<0對(duì)任意正整數(shù)n恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________. 解析　當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，2n(1－a)<3n－1，1－a<×恒成立，只需1－a<×，∴a>.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，2n(a－1)<3n－1，a－1<×恒成立，只需a－1<×，∴a<.綜上，

20、－1<1，則－1的取值范圍是________. 解析　－1<2x－1<1?01?>2 ?－1>1. 答案　(1，＋∞) 11.已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，則z＝2x－3y的取值范圍是________(用區(qū)間表示). 解析　∵z＝－(x＋y)＋(x－y)， ∴3≤－(x＋y)＋(x－y)≤8， ∴z的取值范圍是[3，8]. 答案　[3，8] 12.已知m∈R，a>b>1，f(x)＝，試比較f(a)與f(b)的大小. 解　f(x)＝m，f(a)＝m， f(b)＝m. 由a>b>1，知a－1>b－1>0. ∴<，∴1＋<1＋. ①當(dāng)m>0時(shí)，m(1＋)m(1＋)，f(a)>f(b). 綜上所述，當(dāng)m>0時(shí)，f(a)f(b). 11