2022高考數(shù)學二輪復習 專題八 選考4系列選講 第一講 選考4-4 坐標系與參數(shù)方程學案 理

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1、2022高考數(shù)學二輪復習 專題八 選考4系列選講 第一講 選考4-4 坐標系與參數(shù)方程學案 理考點一極坐標方程及應用1直角坐標與極坐標的互化公式把直角坐標系的原點作為極點，x軸正半軸作為極軸，并在兩坐標系中取相同的長度單位設M是平面內任意一點，它的直角坐標是(x，y)，極坐標是(，)，則2幾個特殊位置的圓的極坐標方程(1)當圓心位于極點，半徑為r：r.(2)當圓心位于M(a,0)，半徑為a：2acos.(3)當圓心位于M，半徑為a：2asin.3幾個特殊位置的直線的極坐標方程(1)直線過極點：0和0.(2)直線過點M(a,0)且垂直于極軸：cosa.(3)直線過M且平行于極軸：sinb.解(1

2、)設P的極坐標為(，)(0)，M的極坐標為(1，)(10)由題設知|OP|，|OM|1.由|OM|OP|16得C2的極坐標方程4cos(0)因此C2的直角坐標方程為(x2)2y24(x0)(2)設點B的極坐標為(B，)(B0)由題設知|OA|2，B4cos，于是OAB面積S|OA|BsinAOB4cos22.當時，S取得最大值2.所以OAB面積的最大值為2.解決極坐標問題應關注的兩點(1)用極坐標系解決問題時要注意已知的幾何關系，如果幾何關系不容易通過極坐標表示時，可以先化為直角坐標，將不熟悉的問題轉化為熟悉的問題來解決(2)在極坐標與直角坐標互化的過程中，需要注意當條件涉及“角度”和“距離”

3、時，利用極坐標將會給問題的解決帶來很大的便利對點訓練(2018福建福州四校聯(lián)考)在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線C2的方程為yx.以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系(1)求曲線C1和直線C2的極坐標方程；(2)若直線C2與曲線C1交于A，B兩點，求.解(1)由曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))，得曲線C1的普通方程為(x2)2(y2)21，則C1的極坐標方程為24cos4sin70，由于直線C2過原點，且傾斜角為，故其極坐標方程為(R)(2)由得2(22)70，設A，B對應的極徑分別為1，2，則1222，127，.考點二參數(shù)方程及應用1圓的參數(shù)方程以O

4、(a，b)為圓心，r為半徑的圓的參數(shù)方程是其中是參數(shù)2橢圓的參數(shù)方程橢圓1(ab0)的參數(shù)方程是其中是參數(shù)3直線的參數(shù)方程(1)經(jīng)過點P0(x0，y0)，傾斜角為的直線的參數(shù)方程是其中t是參數(shù)(2)若A，B為直線l上兩點，其對應的參數(shù)分別為t1，t2，線段AB的中點為M，點M所對應的參數(shù)為t0，則以下結論在解題中經(jīng)常用到：t0；|PM|t0|；|AB|t2t1|；|PA|PB|t1t2|.角度1：參數(shù)方程與普通方程的互化解(1)曲線C的普通方程為y21.當a1時，直線l的普通方程為x4y30.由解得或從而C與l的交點坐標為(3,0)，.(2)直線l的普通方程為x4ya40，故C上的點(3cos

5、，sin)到l的距離d.當a4時，d的最大值為.由題設得，所以a8；當a4時，d的最大值為.由題設得，所以a16.綜上，a8或a16.角度2：直線參數(shù)方程中參數(shù)幾何意義的應用解(1)曲線C的普通方程為1.當cos0時，l的普通方程為ytanx2tan，當cos0時，l的普通方程為x1.(2)將l的參數(shù)方程代入C的普通方程，整理得關于t的方程(13cos2)t24(2cossin)t80.因為曲線C截直線l所得線段的中點坐標為(1,2)，所以有兩個解，設為t1，t2，則t1t20.又由得t1t2，故2cossin0，于是直線l的斜率ktan2.解決參數(shù)方程問題的3個要點(1)把參數(shù)方程化為普通方

6、程，需要根據(jù)其結構特征，選取適當?shù)南麉⒎椒?2)把普通方程化為參數(shù)方程的關鍵是選準參數(shù)，注意參數(shù)的幾何意義及變化范圍(3)直線參數(shù)方程為(為傾斜角，t為參數(shù))，其中|t|PM|，P(x，y)為動點，M(x0，y0)為定點，在解決與點P有關的弦長和距離的乘積問題時廣泛應用對點訓練1角度1設直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，為傾斜角)，圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù))(1)若直線l經(jīng)過圓C的圓心，求直線l的斜率；(2)若直線l與圓C交于兩個不同的點，求直線l的斜率的取值范圍解(1)由已知得直線l經(jīng)過的定點是P(3,4)，而圓C的圓心是C(1，1)，所以，當直線l經(jīng)過圓C的圓心時，直線l的斜率為k.(2)解法

7、一：由圓C的參數(shù)方程得圓C的圓心是C(1，1)，半徑為2.由直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù)，為傾斜角)，得直線l的普通方程為y4k(x3)(斜率存在)，即kxy43k0.當直線l與圓C交于兩個不同的點時，圓心到直線的距離小于圓的半徑，即.即直線l的斜率的取值范圍為.解法二：將圓C的參數(shù)方程化成普通方程為(x1)2(y1)24，將直線l的參數(shù)方程代入式，得t22(2cos5sin)t250.當直線l與圓C交于兩個不同的點時，方程有兩個不相等的實根，即4(2cos5sin)21000，即20sincos21cos2，兩邊同除以20cos2，得tan，即直線l的斜率的取值范圍為.2角度2(2018鄭州一

8、模)已知直線l：(t為參數(shù))以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為2cos.(1)將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程(2)設點M的直角坐標為(5，)，直線l與曲線C的交點為A，B，求|MA|MB|的值解(1)2cos，22cos，曲線C的直線坐標方程為x2y22x，即(x1)2y21.(2)將直線l：(t為參數(shù))代入曲線C的直角坐標方程中，化簡得t25t180，且0.t1t218.點M(5，)在直線l上，根據(jù)直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義，得|MA|MB|t1t2|18.考點三極坐標方程與參數(shù)方程的綜合應用1對于參數(shù)方程或極坐標方程應用不夠熟練的情況下，我們

9、可以先化成直角坐標的普通方程，這樣思路可能更加清晰2對于一些運算比較復雜的問題，用參數(shù)方程或極坐標方程計算會比較簡捷解(1)由消去參數(shù)t，得(x5)2(y3)22，所以圓C的普通方程為(x5)2(y3)22.由cos，得cossin2.可得直線l的直角坐標方程為xy20.(2)直線l與x軸，y軸的交點分別為A(2,0)，B(0,2)，化為極坐標為A(2，)，B，設點P的坐標為(5cost,3sint)，則點P到直線l的距離為d，所以dmin2，又|AB|2，所以PAB面積的最小值224.解決極坐標與參數(shù)方程問題的關鍵(1)會轉化：把直線與圓的參數(shù)方程轉化為普通方程時，要關注參數(shù)的取值范圍的限定

10、，還需掌握極坐標與直角坐標的互化公式(2)懂技巧：合理選擇直角坐標形式運算、極坐標形式運算、參數(shù)坐標形式運算，利用參數(shù)及其幾何意義，結合關系式尋找關于參數(shù)的方程或函數(shù)對點訓練在平面直角坐標系xOy中，曲線C1：(為參數(shù)，0r4)，曲線C2：(為參數(shù))，以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，射線與曲線C1交于點N，與曲線C2交于O，P兩點，且|PN|的最大值為2.(1)將曲線C1與曲線C2化成極坐標方程，并求r的值(2)射線與曲線C1交于點Q，與曲線C2交于O，M兩點，求四邊形MPNQ面積的最大值解(1)將曲線C1的參數(shù)方程化為普通方程為x2y2r2.所以曲線C1的極坐標方程為r.

11、將曲線C2的參數(shù)方程化為普通方程為(x2)2(y2)28，即x2y24x4y0.所以曲線C2的極坐標方程為4cos4sin0，即4sin.因為|PN|max|PN|maxmax2，所以r2，所以C1：2.(2)S四邊形MPNQSOPMSONQOPOMsinONOQsin4sin4sin224sin42.所以當時，四邊形MPNQ面積的最大值為42.1(2018全國卷)在直角坐標系xOy中，曲線C1的方程為yk|x|2.以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為22cos30.(1)求C2的直角坐標方程；(2)若C1與C2有且僅有三個公共點，求C1的方程解(1)由xco

12、s，ysin得C2的直角坐標方程為(x1)2y24.(2)由(1)知C2是圓心為A(1,0)，半徑為2的圓由題設知，C1是過點B(0,2)且關于y軸對稱的兩條射線記y軸右邊的射線為l1，y軸左邊的射線為l2.由于B在圓C2的外面，故C1與C2有且僅有三個公共點等價于l1與C2只有一個公共點且l2與C2有兩個公共點，或l2與C2只有一個公共點且l1與C2有兩個公共點當l1與C2只有一個公共點時，A到l1所在直線的距離為2，所以2，故k或k0，經(jīng)檢驗，當k0時，l1與C2沒有公共點；當k時，l1與C2只有一個公共點，l2與C2有兩個公共點當l2與C2只有一個公共點時，A到l2所在直線的距離為2，所

13、以2，故k0或k.經(jīng)檢驗，當k0時，l1與C2沒有公共點；當k時，l2與C2沒有公共點綜上，所求C1的方程為y|x|2.2(2018全國卷)在平面直角坐標系xOy中，O的參數(shù)方程為(為參數(shù))，過點(0，)且傾斜角為的直線l與O交于A，B兩點(1)求的取值范圍；(2)求AB中點P的軌跡的參數(shù)方程解(1)O的直角坐標方程為x2y21.當時，l與O交于兩點當時，記tank，則l的方程為ykx.l與O交于兩點當且僅當1，解得k1，即或.綜上，的取值范圍是.(2)l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，)設A，B，P對應的參數(shù)分別為tA，tB，tP，則tP，且tA，tB滿足t22tsin10.于是tAtB2sin，t

14、Psin.又點P的坐標(x，y)滿足所以點P的軌跡的參數(shù)方程是(為參數(shù)，)1.坐標系與參數(shù)方程是高考的選考內容之一，高考考查的重點主要有兩個方面：一是簡單曲線的極坐標方程；二是參數(shù)方程、極坐標方程與曲線的綜合應用2全國課標卷對此部分內容的考查以解答題形式出現(xiàn)，難度中等，備考此部分內容時應注意轉化思想的應用專題跟蹤訓練(三十二)1(2018湖南長沙聯(lián)考)在直角坐標系xOy中，直線C1：x2，圓C2：(x1)2(y2)21，以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系(1)求C1，C2的極坐標方程(2)若直線C3的極坐標方程為(R)，設C2與C3的交點分別為M，N，求C2MN的面積解(1)x

15、cos，ysin，C1：x2的極坐標方程為cos2，C2：(x1)2(y2)21的極坐標方程為(cos1)2(sin2)21，化簡，得2(2cos4sin)40.(2)把直線C3的極坐標方程(R)代入圓C2：2(2cos4sin)40，得2340，解得12，2.|MN|12|.圓C2的半徑為1，|C2M|2|C2N|2|MN|2，C2MC2N.C2MN的面積為|C2M|C2N|11.2(2018洛陽聯(lián)考)在極坐標系中，曲線C的方程為2，已知點R.(1)以極點為原點，極軸為x軸的非負半軸，建立平面直角坐標系，把曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程，R點的極坐標化為直角坐標(2)設P為曲線C上一動點

16、，以PR為對角線的矩形PQRS的一邊垂直于極軸，求矩形PQRS周長的最小值，及此時P點的直角坐標解(1)xcos，ysin，x2y22.曲線C的直角坐標方程為y21.點R的直角坐標為(2,2)(2)設點P(cos，sin)，根據(jù)題意得Q(2，sin)，即可得|PQ|2cos，|QR|2sin，|PQ|QR|42sin(60)當30時，|PQ|QR|取最小值2，矩形PQRS周長的最小值為4.此時點P的直角坐標為.3(2018安徽皖南八校聯(lián)考)在平面直角坐標系xOy中，C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，在以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸的極坐標系中，C2的極坐標方程為22cos30.(1)說明C

17、2是哪種曲線，并將C2的方程化為直角坐標方程(2)C1與C2有兩個公共點A，B，定點P的極坐標，求線段AB的長及定點P到A，B兩點的距離之積解(1)將代入C2的極坐標方程中得C2的直角坐標方程為(x1)2y24，所以C2是圓(2)將C1的參數(shù)方程(t為參數(shù))，代入(x1)2y24中得224，化簡，得t2t30.設兩根分別為t1，t2，由根與系數(shù)的關系得所以|AB|t1t2|，定點P到A，B兩點的距離之積|PA|PB|t1t2|3.4(2018河北衡水中學模擬)在極坐標系中，曲線C1的極坐標方程是，在以極點為原點O，極軸為x軸正半軸(兩坐標系取相同的單位長度)的直角坐標系xOy中，曲線C2的參數(shù)方程為(為參數(shù))(1)求曲線C1的直角坐標方程與曲線C2的普通方程；(2)將曲線C2經(jīng)過伸縮變換后得到曲線C3，若M、N分別是曲線C1和曲線C3上的動點，求|MN|的最小值解(1)C1的極坐標方程是，4cos3sin24，4x3y240，故C1的直角坐標方程為4x3y240.曲線C2的參數(shù)方程為x2y21，故C2的普通方程為x2y21.(2)將曲線C2經(jīng)過伸縮變換后得到曲線C3，則曲線C3的參數(shù)方程為(為參數(shù))設N(2cos，2sin)，則點N到曲線C1的距離d(其中滿足tan)當sin()1時，d有最小值，所以|MN|的最小值為.