2022高考數(shù)學二輪復習 專題三 數(shù)列 第二講 數(shù)列的綜合應用教案 理

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1、2022高考數(shù)學二輪復習 專題三 數(shù)列 第二講 數(shù)列的綜合應用教案 理年份卷別考查角度及命題位置命題分析及學科素養(yǎng)2018卷等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式T17命題分析數(shù)列在解答題中的考查常從數(shù)列的相關項以及關系式，或數(shù)列的前n項和與第n項的關系入手，結合數(shù)列的遞推關系式與等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義展開，求解數(shù)列的通項、前n項和，有時與參數(shù)的求解、數(shù)列、不等式的證明等加以綜合試題難度中等學科素養(yǎng)通過遞推關系求通項，根據(jù)通項結構選擇恰當?shù)那蠛头椒ㄇ蠛?2016卷等差數(shù)列的基本運算T17卷等比數(shù)列的通項公式、an與Sn的關系T17悟通方法結論求數(shù)列通項常用的方法(1)定義法：形如an1anC(C為

2、常數(shù))，直接利用定義判斷其為等差數(shù)列形如an1kan(k為非零常數(shù))且首項不為零，直接利用定義判斷其為等比數(shù)列(2)疊加法：形如an1anf(n)，利用ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)，求其通項公式(3)疊乘法：形如f(n)0，利用ana1，求其通項公式(4)待定系數(shù)法：形如an1panq(其中p，q均為常數(shù)，pq(p1)0)，先用待定系數(shù)法把原遞推公式轉化為an1tp(ant)，其中t，再轉化為等比數(shù)列求解(5)構造法：形如an1panqn(其中p，q均為常數(shù)，pq(p1)0)，先在原遞推公式兩邊同除以qn1，得，構造新數(shù)列bn，得bn1bn，接下來用待定系數(shù)法求解全練快速解答

3、1(2018洛陽四校聯(lián)考)已知數(shù)列an滿足條件a1a2a3an2n5，則數(shù)列an的通項公式為()Aan2n1BanCan2nDan2n2解析：由題意可知，數(shù)列an滿足條件a1a2a3an2n5，則n2時，有a1a2a3an12(n1)5，n2，兩式相減可得，2n52(n1)52，an2n1，n2，nN*.當n1時，7，a114，綜上可知，數(shù)列an的通項公式為an答案：B2(2018潮州月考)數(shù)列an的前n項和記為Sn，a11，an12Sn1(n1，nN*)，則數(shù)列an的通項公式是_解析：法一：由an12Sn1可得an2Sn11(n2)，兩式相減得an1an2an，即an13an(n2)又a22

4、S113，a23a1，故an是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，an3n1.法二：由于an1Sn1Sn，an12Sn1，所以Sn1Sn2Sn1，Sn13Sn1，所以Sn13，所以數(shù)列為首項是S1，公比為3的等比數(shù)列，故Sn3n13n，即Sn3n.所以，當n2時，anSnSn13n1，由n1時a11也適合這個公式，知所求的數(shù)列an的通項公式是an3n1.答案：an3n13(2018福州模擬)已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且Sn2an1.(1)證明數(shù)列an是等比數(shù)列；(2)設bn(2n1)an，求數(shù)列bn的前n項和Tn.解析：(1)證明：當n1時，a1S12a11，所以a11，當n2時，anSnSn1

5、(2an1)(2an11)，所以an2an1，所以數(shù)列an是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列(2)由(1)知，an2n1，所以bn(2n1)2n1，所以Tn132522(2n3)2n2(2n1)2n12Tn12322(2n3)2n1(2n1)2n由得Tn12(21222n1)(2n1)2n12(2n1)2n(32n)2n3，所以Tn(2n3)2n3.由an與Sn關系求通項公式的注意事項(1)應重視分類討論思想的應用，分n1和n2兩種情況討論，特別注意anSnSn1中需n2.(2)由SnSn1an推得an，當n1時，a1也適合，則需統(tǒng)一“合寫”(3)由SnSn1an推得an，當n1時，a1不適合，

6、則數(shù)列的通項公式應分段表示(“分寫”)，即an數(shù)列求和授課提示：對應學生用書第31頁悟通方法結論常用求和方法(1)錯位相減法：適用于各項由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應項的乘積組成的數(shù)列把Sna1a2an兩邊同乘以相應等比數(shù)列的公比q，得到qSna1qa2qanq，兩式錯位相減即可求出Sn.(2)裂項相消法：即將數(shù)列的通項分成兩個式子的代數(shù)和的形式，然后通過累加抵消中間若干項的方法裂項相消法適用于形如(其中an是各項均不為零的等差數(shù)列，c為常數(shù))的數(shù)列(3)拆項分組法：把數(shù)列的每一項拆成兩項(或多項)，再重新組合成兩個(或多個)簡單的數(shù)列，最后分別求和(2017高考全國卷)(12分)設數(shù)列an

7、滿足(1)求an的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和學審題條件信息想到方法注意什么由a13a2 (2n1)an2nan與Sn的關系求解分n1，n2討論由根據(jù)通項結構選裂項求和裂項時消去項與保留項的首尾對應規(guī)范解答(1)因為a13a2(2n 1)an2n，故當n2時，a13a2(2n3)an12(n1) (2分)兩式相減得(2n 1)an2，所以an(n2) (4分)又由題設可得a12，滿足上式，從而an的通項公式為an. (6分)(2)記的前n項和為Sn.由(1)知. (10分)則Sn. (12分)1分類討論思想在數(shù)列求和中的應用(1)當數(shù)列通項中含有(1)n時，在求和時要注意分n為奇數(shù)與偶數(shù)處

8、理(2)對已知數(shù)列滿足q，在求an的前n項和時分奇數(shù)項和偶數(shù)項分別求和2學科素養(yǎng)：通過數(shù)列求和著重考查學生邏輯推理與數(shù)學運算能力練通即學即用1已知函數(shù)f(n)且anf(n)f(n1)，則a1a2a3a100()A0B100C100D10 200解析：由題意，a1a2a3a1001222223232424252992100210021012(12)(32)(99100)(101100)(1299100)(23100101)1101100，故選B.答案：B2已知數(shù)列an的通項公式是an(1)n(3n2)，則a1a2a10等于()A15B12C12D15解析：an(1)n(3n2)，a1a2a101

9、47102528(14)(710)(2528)3515.答案：A3(2018張掖診斷)已知數(shù)列an的前n項和為Sn，若an3Sn4，bnlog2an1.(1)求數(shù)列an和bn的通項公式；(2)令cn，其中nN*，若數(shù)列cn的前n項和為Tn，求Tn.解析：(1)由a13a14，得a11，由an3Sn4，知an13Sn14，兩式相減并化簡得an1an，ann1，bnlog2an1log2n2n.(2)由題意知，cn.令Hn，則Hn，得，Hn1.Hn2.又Mn11，TnHnMn2.數(shù)列的綜合應用授課提示：對應學生用書第32頁悟通方法結論數(shù)列中的綜合問題，大多與函數(shù)、方程、不等式及解析幾何交匯，考查利

10、用函數(shù)與方程的思想及分類討論思想解決數(shù)列中的問題，用不等式的方法研究數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列與解析幾何交匯，主要涉及點列問題(1)(2018德州模擬)已知點O為坐標原點，點An(n，an)(nN*)為函數(shù)f(x)的圖象上的任意一點，向量i(0,1)，n是向量與i的夾角，則數(shù)列的前2 015項的和為()A2 B. C. D1解析：因為an，所以(n，)，所以cos n，因為0n，所以sin n，所以，所以11.答案：C(2)(2018日照模擬)已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足：2Snan1.求數(shù)列an的通項公式；設bn，數(shù)列bn的前n項和為Tn，求證：Tn.解析：因為2Snan1，所以2Sn1an11，兩

11、式相減可得2an1an1an0，即3an1an，即，又2S1a11，所以a1，所以數(shù)列an是首項、公比均為的等比數(shù)列故an()n1()n，數(shù)列an的通項公式為an()n.證明：因為bn，所以bn.故Tnb1b2bn()()().所以Tn.數(shù)列與不等式的交匯多為不等式恒成立與證明，在求解時要注意等價轉化即分離參數(shù)法與放縮法的技巧應用練通即學即用1(2018寶雞摸底)正項等比數(shù)列an中，a2 017a2 0162a2 015，若aman16a，則的最小值等于()A1B.C.D.解析：設等比數(shù)列an的公比為q，且q0，a2 015q2a2 015q2a2 015，q2q20，q2或q1(舍去)，又a

12、1qm1a1qn116a，2mn216，mn24，mn6，當且僅當m4，n2時等號成立故的最小值為.答案：B2(2018煙臺模擬)設函數(shù)f(x)(x0)，數(shù)列an滿足a11，anf()，nN*，且n2.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)對nN*，設Sn，若Sn恒成立，求實數(shù)t的取值范圍解析：(1)由anf()得，anan1，nN*，n2，所以an是首項為1，公差為的等差數(shù)列所以an1(n1)，nN*.(2)因為an，所以an1，所以()則Sn().故Sn恒成立等價于，即t恒成立令g(x)(x0)，則g(x)0，所以g(x)(x0)為單調(diào)遞增函數(shù)所以當n1時，取得最小值，且()min.所以t，即

13、實數(shù)t的取值范圍是(，.授課提示：對應學生用書第131頁一、選擇題1(2018宜昌月考)已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若a1a2 018，且A，B，C三點共線(該直線不過點O)，則S2 018等于()A1 007B1 009C2 016D2 018解析：A，B，C三點共線，a1a2 0181，S2 0181 009.答案：B2已知數(shù)列an滿足a15，anan12n，則()A2B4C5D.解析：因為22，所以令n3，得224，故選B.答案：B3在數(shù)列an中，a11，a22，an2an1(1)n，那么S100的值為()A2 500B2 600C2 700D2 800解析：當n為奇數(shù)時，an2a

14、n0an1，當n為偶數(shù)時，an2an2ann，故an于是S100502 600.答案：B4(2018海淀二模)在數(shù)列an中，“an2an1，n2,3,4，”是“an是公比為2的等比數(shù)列”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析：當an0時，也有an2an1，n2,3,4，但an不是等比數(shù)列，因此充分性不成立；當an是公比為2的等比數(shù)列時，有2，n2,3,4，即an2an1，n2,3,4，所以必要性成立答案：B5已知數(shù)列2 015,2 016,1，2 015，2 016，這個數(shù)列的特點是從第二項起，每一項都等于它的前后兩項之和，則這個數(shù)列的前2 017項和S2

15、017等于()A2 018B2 015C1D0解析：由已知得anan1an1(n2)，an1anan1，故數(shù)列的前8項依次為2 015,2 016,1，2 015，2 016，1,2 015,2 016.由此可知數(shù)列為周期數(shù)列，且周期為6，S60.2 01763361，S2 0172 015.答案：B6若數(shù)列an滿足a115，且3an13an2，則使akak10的k值為()A22B21C24D23解析：因為3an13an2，所以an1an，所以數(shù)列an是首項為15，公差為的等差數(shù)列，所以an15(n1)n，令ann0，得n23.5，所以使akak10的k值為23.答案：D7已知數(shù)列an滿足a1

16、1，an1則其前6項之和為()A16B20C33D120解析：a22a12，a3a213，a42a36，a5a417，a62a514，所以前6項和S6123671433，故選C.答案：C8已知等差數(shù)列an的公差為d，關于x的不等式dx22a1x0的解集為0,9，則使數(shù)列an的前n項和Sn最大的正整數(shù)n的值是()A4B5C6D7解析：關于x的不等式dx22a1x0的解集為0,9，0,9是一元二次方程dx22a1x0的兩個實數(shù)根，且d0，9，a1.ana1(n1)d(n)d，可得a5d0，a6d0.使數(shù)列an的前n項和Sn最大的正整數(shù)n的值是5.答案：B9(2018湘中名校聯(lián)考)若an是等差數(shù)列，

17、首項a10，a2 016a2 0170，a2 016a2 0170，則使前n項和Sn0成立的最大正整數(shù)n是()A2 016B2 017C4 032D4 033解析：因為a10，a2 016a2 0170，a2 016a2 0170，所以d0，a2 0160，a2 0170，所以S4 0320，S4 0334 033a2 0170，所以使前n項和Sn0成立的最大正整數(shù)n是4 032.答案：C10已知數(shù)列an滿足an2an1an1an，nN*，且a5.若函數(shù)f(x)sin 2x2 cos2，記ynf(an)，則數(shù)列yn的前9項和為()A0B9C9D1解析：由已知得2an1anan2，即數(shù)列an為等

18、差數(shù)列又f(x)sin 2x1cos x，a1a9a2a82a5，故cos a1cos a9cos a2cos a8cos a50，又2a12a92a22a84a52，故sin 2a1sin 2a9sin 2a2sin 2a8sin 4a50，故數(shù)列yn的前9項和為9.答案：C11已知數(shù)列an，“|an1|an”是“數(shù)列an為遞增數(shù)列”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析：|an1|an，或又數(shù)列an為遞增數(shù)列，an1an，“|an1|an”是“數(shù)列an為遞增數(shù)列”的既不充分也不必要條件答案：D12已知數(shù)列an是首項為a，公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列bn滿足b

19、n.若對任意的nN*，都有bnb8成立，則實數(shù)a的取值范圍是()A(8，7)B8，7)C(8，7D8，7解析：因為an是首項為a，公差為1的等差數(shù)列，所以anna1，因為bn，又對任意的nN*都有bnb8成立，所以11，即對任意的nN*恒成立，因為數(shù)列an是公差為1的等差數(shù)列，所以an是單調(diào)遞增的數(shù)列，所以即解得8a7.答案：A二、填空題13(2018沈陽模擬)在數(shù)列an中，a11，a22，an13an2an1(n2)，則an_.解析：法一：因為an13an2an1(n2)，所以2(n2)，所以an1an(a2a1)2n12n1(n2)，又a2a11，所以anan12n2，an1an22n3，

20、a2a11，累加，得an2n1(nN*)法二：因為an13an2an1(n2)，所以an12anan2an1，得an12anan2an1an12an2a22a10，即an2an1(n2)，所以數(shù)列an是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以an2n1(nN*)答案：2n1(nN*)14(2018遼寧五校聯(lián)考)設數(shù)列an的前n項和為Sn，若a13且當n2時，2anSnSn1，則an的通項公式an_.解析：當n2時，由2anSnSn1可得2(SnSn1)SnSn1，即，數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，()(n1)，Sn.當n2時，anSnSn1，又a13，an答案：15(2018廣州調(diào)研)已知數(shù)列a

21、n滿足a11，an1aan，用x表示不超過x的最大整數(shù)，則_.解析：因為an1aan，所以，即，于是.因為a11，a221，a361，可知(0,1)，則(0,1)，所以0.答案：016已知數(shù)列an滿足a140，且nan1(n1)an2n22n，則an取最小值時n的值為_解析：由nan1(n1)an2n22n2n(n1)，兩邊同時除以n(n1)，得2，所以數(shù)列是首項為40、公差為2的等差數(shù)列，所以40(n1)22n42，所以an2n242n，對于二次函數(shù)f(x)2x242x， 在x10.5時，f(x)取得最小值，因為n取正整數(shù)，且10和11到10.5的距離相等，所以n取10或11時，an取得最小

22、值答案：10或11三、解答題17(2018棗莊模擬)已知方程anx2an1x10(an0)有兩個根n、n，a11，且滿足(1)(1)12n，其中nN*.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若bnlog2(an1)，cnanbn，求數(shù)列cn的前n項和Tn.解析：(1)由已知可得，又(1)(1)12n，112n，整理得，an1an2n，其中nN*.an(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)a12n12n222212n1.(2)由(1)知，bnlog2(2n11)n，cnn(2n1)n2nn.Tnc1c2cn12222323n2n(12n)，設Pn12222323n2n，則2Pn122

23、223324(n1)2nn2n1，得Pn222232nn2n1n2n1(1n)2n12，Pn(n1)2n12.又Qn12n，TnPnQn(n1)2n12.18(2018九江一中模擬)設等差數(shù)列an的前n項和為Sn，a223a72，且，S3成等比數(shù)列，nN*.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)令bn，數(shù)列bn的前n項和為Tn，若對于任意的nN*，都有64Tn|31|成立，求實數(shù)的取值范圍解析：(1)設等差數(shù)列an的公差為d，由得，即，解得或.當a1，d時，沒有意義，a12，d2，此時an22(n1)2n.(2)bnTnb1b2b3bn()()()1，64Tn545，為滿足題意，只需|31|5，2

24、或.19(2018臨汾中學模擬)已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且Sn(aan)，an0.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若bn，數(shù)列bn的前n項和為Tn，則是否存在正整數(shù)m，使得mTnm3對任意的正整數(shù)n恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由解析：(1)Sn(aan)，即aan2Sn0，當n2時， Sn1(aan1)，即aan12Sn10，得(anan1)(anan1)anan12an0，(anan1)(anan11)0，an0，anan11，當n1時，aa12a10，an0，a11，an1(n1)n.(2)由(1)知bn，所以Tn1()02()1n()n1，Tn1()12()2n()n，得Tn1()n1n()n21()nn()n，故Tn41()n2n()n44()n2n()n4(2n4)()n.易知Tn4，Tn1Tn4(2n6)()n14(2n4) ()n(n1)()n0，TnT11，故存在正整數(shù)m1滿足題意