2022年高中數(shù)學(xué)人教A版選修4-5教學(xué)案：第四講 二 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

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1、2022年高中數(shù)學(xué)人教A版選修4-5教學(xué)案：第四講 二 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P421利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式在不等關(guān)系的證明中，方法多種多樣，其中數(shù)學(xué)歸納法是常用的方法之一在運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)，由nk成立，推導(dǎo)nk1成立時(shí)，常常要與其他方法，如比較法、分析法、綜合法、放縮法等結(jié)合進(jìn)行2歸納猜想證明的思想方法數(shù)學(xué)歸納法作為一種重要的證明方法，常常體現(xiàn)在“歸納猜想證明”這一基本思想方法中一方面可用數(shù)學(xué)歸納法證明已有的與自然數(shù)有關(guān)的結(jié)論；更重要的是，要用不完全歸納法去發(fā)現(xiàn)某些結(jié)論、規(guī)律并用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性，形成“觀察歸納猜想證明”的思想方法 對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P42利用數(shù)學(xué)歸納

2、法證明不等式例1證明：2n2n2，nN.思路點(diǎn)撥證明(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊2124；右邊1，左邊右邊；當(dāng)n2時(shí)，左2226，右224，所以左邊右邊；當(dāng)n3時(shí)，左23210，右329，所以左邊右邊因此當(dāng)n1,2,3時(shí)，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k3且kN)時(shí)，不等式成立當(dāng)nk1時(shí)，2k1222k22(2k2)22k22k22k1k22k3(k22k1)(k1)(k3)(因k3，則k30，k10)k22k1(k1)2.所以2k12(k1)2.故當(dāng)nk1時(shí)，原不等式也成立根據(jù)(1)(2)，原不等式對(duì)于任何nN都成立數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的技巧(1)證明不等式時(shí)，由nk到nk1時(shí)的推證過程與證明等式有所

3、不同，由于不等式中的不等關(guān)系，需要我們?cè)谧C明時(shí)，對(duì)原式進(jìn)行“放大”或者“縮小”才能使用到nk時(shí)的假設(shè)，所以需要認(rèn)真分析，適當(dāng)放縮，才能使問題簡(jiǎn)單化，這是利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)常用的方法之一(2)數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用通常需要與數(shù)學(xué)的其他方法聯(lián)系在一起，如比較法、放縮法、配湊法、分析法和綜合法等，才能完成證明過程1用數(shù)學(xué)歸納法證明：(n2，nN)證明：(1)當(dāng)n2時(shí)，左邊，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k2，kN)時(shí)，不等式成立即.當(dāng)nk1時(shí)，.當(dāng)nk1時(shí)，不等式也成立由(1)(2)知，原不等式對(duì)一切n2，nN均成立2用數(shù)學(xué)歸納法證明：12(n2，nN)證明：(1)當(dāng)n2時(shí)，12，不等式成立(2)假

4、設(shè)當(dāng)nk(k2，kN)時(shí)不等式成立，即12，當(dāng)nk1時(shí)，12Qn.若x0，則PnQn.若x(1,0)，則P3Q3x30，所以P3Q3.P4Q44x3x4x3(4x)0，所以P4Q4.假設(shè)PkQk(k3)，則Pk1(1x)Pk(1x)QkQkxQk1kxxkx21(k1)xx2x3Qk1x3Qk1，即當(dāng)nk1時(shí)，不等式成立所以當(dāng)n3，且x(1,0)時(shí)，Pn0(nN)，對(duì)任意自然數(shù)n1和n2總有f(n1n2)f(n1)f(n2)，又f(2)4.(1)求f(1)，f(3)的值(2)猜想f(n)的表達(dá)式，并證明你的猜想思路點(diǎn)撥利用f(n1n2)f(n1)f(n2)可求出f(1)，f(3)再猜想f(n)

5、，利用數(shù)學(xué)歸納法給出證明解(1)由于對(duì)任意自然數(shù)n1和n2，總有f(n1n2)f(n1)f(n2)取n1n21，得f(2)f(1)f(1)，即f2(1)4.f(n)0(nN)，f(1)2.取n11，n22，得f(3)23.(2)由f(1)21，f(2)422，f(3)23，猜想f(n)2n.證明：當(dāng)n1時(shí)f(1)2成立；假設(shè)nk時(shí)，f(k)2k成立f(k1)f(k)f(1)2k22k1，這就是說當(dāng)nk1時(shí)，猜想也成立由知猜想正確，即f(n)2n.利用數(shù)學(xué)歸納法解決探索型不等式的思路是：觀察歸納猜想證明即先通過觀察部分項(xiàng)的特點(diǎn)進(jìn)行歸納，判斷并猜想出一般結(jié)論，然后用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明4在數(shù)列an、

6、bn中，a12，b14，且an，bn，an1成等差數(shù)列，bn，an1，bn1成等比數(shù)列(nN)(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4的值，由此猜測(cè)an，bn的通項(xiàng)公式；(2)證明你的結(jié)論解：(1)由條件得2bnanan1，abnbn1.由此可得a26，b29，a312，b316，a420，b425.猜測(cè)ann(n1)，bn(n1)2.(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n1時(shí)，由上知結(jié)論成立假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，結(jié)論成立即akk(k1)，bk(k1)2，那么當(dāng)nk1時(shí)，ak12bkak2(k1)2k(k1)(k1)(k2)bk1(k2)2.所以當(dāng)nk1時(shí)， 結(jié)論也成立由，可知ann(n1)，bn(n1)2對(duì)

7、一切正整數(shù)都成立5是否存在常數(shù)a，b，c使等式122232n2(n1)22212an(bn2c)對(duì)于一切nN都成立，若存在，求出a，b，c并證明；若不存在，試說明理由解：假設(shè)存在a，b，c使122232n2(n1)22212an(bn2c)，對(duì)于一切nN都成立當(dāng)n1時(shí)，a(bc)1；當(dāng)n2時(shí)，2a(4bc)6；當(dāng)n3時(shí)，3a(9bc)19.解方程組解得證明如下：當(dāng)n1時(shí)，由以上知存在常數(shù)a，b，c使等式成立假設(shè)nk(kN)時(shí)等式成立，即122232k2(k1)22212k(2k21)；當(dāng)nk1時(shí)，122232k2(k1)2k2(k1)22212k(2k21)(k1)2k2k(2k23k1)(k

8、1)2k(2k1)(k1)(k1)2(k1)(2k24k3)(k1)2(k1)21即nk1時(shí)，等式成立因此存在a，b2，c1使等式對(duì)一切nN都成立 對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P441用數(shù)學(xué)歸納法證明“對(duì)于任意x0和正整數(shù)n，都有xnxn2xn4n1”時(shí)，需驗(yàn)證的使命題成立的最小正整數(shù)值n0應(yīng)為()An01Bn02Cn01,2 D以上答案均不正確解析：需驗(yàn)證：n01時(shí)，x11成立答案：A2用數(shù)學(xué)歸納法證明“2nn21對(duì)于nn0的正整數(shù)n都成立”時(shí)，第一步證明中的起始值n0應(yīng)取()A2 B3C5 D6解析：n取1,2,3,4時(shí)不等式不成立，起始值為5.答案：C3用數(shù)學(xué)歸納法證明“11)”時(shí)，由nk(k1)不等式

9、成立，推證nk1時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是()A2k1 B2k1C2k D2k1解析：由nk到nk1，應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)為(2k11)(2k1)2k項(xiàng)答案：C4若不等式對(duì)大于1的一切自然數(shù)n都成立，則自然數(shù)m的最大值為()A12 B13C14 D不存在解析：令f(n)，取n2,3,4,5等值，發(fā)現(xiàn)f(n)是單調(diào)遞增的，所以f(n)min，所以由f(2)，求得m的最大值為13.答案：B5證明11)，當(dāng)n2時(shí)要證明的式子為_解析：當(dāng)n2時(shí)，要證明的式子為213.答案：21”時(shí)，n的最小取值n0為_解析：左邊為(n1)項(xiàng)的乘積，故n02.答案：27設(shè)a，b均為正實(shí)數(shù)(nN)，已知M(ab)n，Nannan1b

10、，則M，N的大小關(guān)系為_解析：當(dāng)n1時(shí)，MabN.當(dāng)n2時(shí)，M(ab)2，Na22abM.當(dāng)n3時(shí)，M(ab)3，Na33a2b22，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k2)時(shí)不等式成立，即(12k)k2.則當(dāng)nk1時(shí)，有左邊(12k)(k1)(12k)(12k)(k1)1k21(k1).當(dāng)k2時(shí)，11，(*)左邊k21(k1)k22k1(k1)2.這就是說當(dāng)nk1時(shí)，不等成立，由(1)、(2)可知當(dāng)n1時(shí)，不等式成立9設(shè)數(shù)列an滿足an1anan1，n1,2,3.(1)當(dāng)a12時(shí)，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一個(gè)通項(xiàng)公式；(2)當(dāng)a3時(shí)，證明對(duì)所有的n1，有ann2.解：(1)由a12，

11、得a2aa113，由a23，得a3a2a214，由a34，得a4a3a315.由此猜想an的一個(gè)通項(xiàng)公式：ann1(n1)(2)證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n1，a1312，不等式成立假設(shè)當(dāng)nk時(shí)不等式成立，即akk2，那么，當(dāng)nk1時(shí)ak1ak(akk)1(k2)(k2k)1k3，也就是說，當(dāng)nk1時(shí)，ak1(k1)2.根據(jù)和，對(duì)于所有n1，有ann2.10設(shè)aR，f(x)是奇函數(shù)，(1)求a的值；(2)如果g(n)(nN)，試比較f(n)與g(n)的大小(nN)解：(1)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(0)0.故a1.(2)f(n)g(n).只要比較2n與2n1的大小當(dāng)n1,2時(shí)，f(n)2n1，f(n)g(n)下面證明，n3時(shí)，2n2n1，即f(x)g(x)n3時(shí)，23231，顯然成立，假設(shè)nk(k3，kN)時(shí)，2k2k1，那么nk1時(shí)，2k122k2(2k1)2(2k1)2(k1)14k22k32k10(k3)，有2k12(k1)1.nk1時(shí)，不等式也成立，由可以判定，n3，nN時(shí)，2n2n1.所以n1,2時(shí)，f(n)g(n)