2022年高中數(shù)學(xué)人教A版選修4-5教學(xué)案：第四講 二 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

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1、2022年高中數(shù)學(xué)人教A版選修4-5教學(xué)案：第四講 二 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 　　　　　　　　　　　　　對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P42 1．利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 在不等關(guān)系的證明中，方法多種多樣，其中數(shù)學(xué)歸納法是常用的方法之一．在運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)，由n＝k成立，推導(dǎo)n＝k＋1成立時(shí)，常常要與其他方法，如比較法、分析法、綜合法、放縮法等結(jié)合進(jìn)行． 2．歸納—猜想—證明的思想方法 數(shù)學(xué)歸納法作為一種重要的證明方法，常常體現(xiàn)在“歸納—猜想—證明”這一基本思想方法中．一方面可用數(shù)學(xué)歸納法證明已有的與自然數(shù)有關(guān)的結(jié)論；更重要的是，要用不完全歸納法去發(fā)現(xiàn)某些結(jié)論、規(guī)律并用數(shù)學(xué)

2、歸納法證明其正確性，形成“觀察—?dú)w納—猜想—證明”的思想方法． 　　　　　　　　　　　　 　對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P42 利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 [例1]　證明：2n＋2>n2，n∈N＋. [思路點(diǎn)撥]　 ―→―→ [證明]　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝21＋2＝4；右邊＝1， 左邊>右邊； 當(dāng)n＝2時(shí)，左＝22＋2＝6，右＝22＝4，所以左邊>右邊； 當(dāng)n＝3時(shí)，左＝23＋2＝10，右＝32＝9，所以左邊>右邊． 因此當(dāng)n＝1,2,3時(shí)，不等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥3且k∈N＋)時(shí)，不等式成立． 當(dāng)n＝k＋1時(shí)， 2k

3、＋1＋2 ＝2·2k＋2 ＝2(2k＋2)－2>2k2－2 ＝k2＋2k＋1＋k2－2k－3 ＝(k2＋2k＋1)＋(k＋1)(k－3)(因k≥3，則k－3≥0， k＋1>0)≥k2＋2k＋1＝(k＋1)2. 所以2k＋1＋2>(k＋1)2.故當(dāng)n＝k＋1時(shí)，原不等式也成立． 根據(jù)(1)(2)，原不等式對(duì)于任何n∈N都成立． 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的技巧 (1)證明不等式時(shí)，由n＝k到n＝k＋1時(shí)的推證過程與證明等式有所不同，由于不等式中的不等關(guān)系，需要我們?cè)谧C明時(shí)，對(duì)原式進(jìn)行“放大”或者“縮小”才能使用到n＝k時(shí)的假設(shè)，所以需要認(rèn)真分析，適當(dāng)放縮，才能使問題簡單化，這

4、是利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)常用的方法之一． (2)數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用通常需要與數(shù)學(xué)的其他方法聯(lián)系在一起，如比較法、放縮法、配湊法、分析法和綜合法等，才能完成證明過程． 1．用數(shù)學(xué)歸納法證明：＋＋…＋>(n≥2，n∈N＋)． 證明：(1)當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝＋＋＋>，不等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，k∈N＋)時(shí)，不等式成立．即 ＋＋…＋>.當(dāng)n＝k＋1時(shí)， ＋＋…＋＋＋＋>＋>＋＝. ∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式也成立． 由(1)(2)知，原不等式對(duì)一切n≥2，n∈N＋均成立． 2．用數(shù)學(xué)歸納法證明： 1＋＋＋…＋<2－(n≥2，n∈N＋)． 證明：(1)當(dāng)n＝

5、2時(shí)，1＋＝<2－＝，不等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，k∈N＋)時(shí)不等式成立，即1＋＋＋…＋<2－， 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，1＋＋＋…＋＋<2－＋<2－＋＝2－＋－＝2－，不等式成立． 由(1)(2)知原不等式在n≥2，n∈N＋時(shí)均成立． 3．設(shè)Pn＝(1＋x)n，Qn＝1＋nx＋x2，n∈N＋，x∈(－1，＋∞)，試比較Pn與Qn的大小，并加以證明． 解：(1)當(dāng)n＝1,2時(shí)，Pn＝Qn. (2)當(dāng)n≥3時(shí)，(以下再對(duì)x進(jìn)行分類)． ①若x∈(0，＋∞)，顯然有Pn>Qn. ②若x＝0，則Pn＝Qn. ③若x∈(－1,0)， 則P3－Q3＝x3<0，所以P3

6、 P4－Q4＝4x3＋x4＝x3(4＋x)<0，所以P40(n∈N＋)，對(duì)任意自然數(shù)n1和n2總有f(n1＋n2)＝f(n1)f(n2)，又f(2)＝4. (1)求f(1)，f(3)的值． (2)猜想f(n)的表達(dá)式，并證明你的猜想． [思路點(diǎn)撥]　利用f

7、(n1＋n2)＝f(n1)f(n2)可求出f(1)，f(3)再猜想f(n)，利用數(shù)學(xué)歸納法給出證明． [解]　(1)由于對(duì)任意自然數(shù)n1和n2， 總有f(n1＋n2)＝f(n1)·f(n2)． 取n1＝n2＝1，得f(2)＝f(1)·f(1)，即f2(1)＝4. ∵f(n)>0(n∈N＋)， ∴f(1)＝2. 取n1＝1，n2＝2，得f(3)＝23. (2)由f(1)＝21，f(2)＝4＝22，f(3)＝23， 猜想f(n)＝2n. 證明：①當(dāng)n＝1時(shí)f(1)＝2成立； ②假設(shè)n＝k時(shí)，f(k)＝2k成立． f(k＋1)＝f(k)·f(1)＝2k·2＝2k＋1， 這就是

8、說當(dāng)n＝k＋1時(shí)，猜想也成立． 由①②知猜想正確，即f(n)＝2n. 利用數(shù)學(xué)歸納法解決探索型不等式的思路是：觀察——?dú)w納——猜想——證明．即先通過觀察部分項(xiàng)的特點(diǎn)．進(jìn)行歸納，判斷并猜想出一般結(jié)論，然后用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明． 4．在數(shù)列{an}、{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差數(shù)列，bn，an＋1，bn＋1成等比數(shù)列(n∈N＋)． (1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4的值，由此猜測(cè){an}，{bn}的通項(xiàng)公式； (2)證明你的結(jié)論． 解：(1)由條件得2bn＝an＋an＋1，a＝bnbn＋1. 由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，

9、b3＝16，a4＝20，b4＝25. 猜測(cè)an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2. (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，由上知結(jié)論成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，結(jié)論成立． 即ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2， 那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，ak＋1＝2bk－ak＝ 2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)． bk＋1＝＝(k＋2)2. 所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)， 結(jié)論也成立． 由①②，可知an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2對(duì)一切正整數(shù)都成立． 5．是否存在常數(shù)a，b，c使等式12＋22＋32＋…＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝an(bn2＋c)對(duì)于一切n∈N＋都成立

10、，若存在，求出a，b，c并證明；若不存在，試說明理由． 解：假設(shè)存在a，b，c使12＋22＋32＋…＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝an(bn2＋c)，對(duì)于一切n∈N＋都成立． 當(dāng)n＝1時(shí)，a(b＋c)＝1； 當(dāng)n＝2時(shí)，2a(4b＋c)＝6； 當(dāng)n＝3時(shí)，3a(9b＋c)＝19. 解方程組解得 證明如下： ①當(dāng)n＝1時(shí)，由以上知存在常數(shù)a，b，c使等式成立． ②假設(shè)n＝k(k∈N＋)時(shí)等式成立， 即12＋22＋32＋…＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12 ＝k(2k2＋1)； 當(dāng)n＝k＋1時(shí)， 12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋2

11、2＋12 ＝k(2k2＋1)＋(k＋1)2＋k2 ＝k(2k2＋3k＋1)＋(k＋1)2 ＝k(2k＋1)(k＋1)＋(k＋1)2 ＝(k＋1)(2k2＋4k＋3) ＝(k＋1)[2(k＋1)2＋1]． 即n＝k＋1時(shí)，等式成立． 因此存在a＝，b＝2，c＝1使等式對(duì)一切n∈N＋都成立． 　　　　　　　　　　　　 　對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P44 1．用數(shù)學(xué)歸納法證明“對(duì)于任意x>0和正整數(shù)n，都有xn＋xn－2＋xn－4＋…＋＋＋≥n＋1”時(shí)，需驗(yàn)證的使命題成立的最小正整數(shù)值n0應(yīng)為(　　) A．n0＝1　　　　　　　 　B．n0＝2

12、C．n0＝1,2 D．以上答案均不正確 解析：需驗(yàn)證：n0＝1時(shí)，x＋≥1＋1成立． 答案：A 2．用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n>n2＋1對(duì)于n≥n0的正整數(shù)n都成立”時(shí)，第一步證明中的起始值n0應(yīng)取(　　) A．2 B．3 C．5 D．6 解析：n取1,2,3,4時(shí)不等式不成立，起始值為5. 答案：C 3．用數(shù)學(xué)歸納法證明“1＋＋＋…＋1)”時(shí)，由n＝k(k>1)不等式成立，推證n＝k＋1時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是(　　) A．2k－1 B．2k－1 C．2k D．2k＋1 解析：由n＝k到n＝k＋1，應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)為(2k＋1－1)－(2k

13、－1)＝2k項(xiàng)． 答案：C 4．若不等式＋＋…＋＞對(duì)大于1的一切自然數(shù)n都成立，則自然數(shù)m的最大值為(　　) A．12 B．13 C．14 D．不存在 解析：令f(n)＝＋＋…＋，取n＝2,3,4,5等值，發(fā)現(xiàn)f(n)是單調(diào)遞增的，所以[f(n)]min＞，所以由f(2)＞，求得m的最大值為13. 答案：B 5．證明<1＋＋＋…＋1)，當(dāng)n＝2時(shí)．要證明的式子為________． 解析：當(dāng)n＝2時(shí)，要證明的式子為 2<1＋＋＋<3. 答案：2<1＋＋＋<3 6．用數(shù)學(xué)歸納法證明“…>”時(shí)，n的最小取值n0為________． 解析：左邊為(n－1)

14、項(xiàng)的乘積，故n0＝2. 答案：2 7．設(shè)a，b均為正實(shí)數(shù)(n∈N＋)，已知M＝(a＋b)n，N＝an＋nan－1b，則M，N的大小關(guān)系為________ 解析：當(dāng)n＝1時(shí)，M＝a＋b＝N. 當(dāng)n＝2時(shí)，M＝(a＋b)2，N＝a2＋2ab22，不等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2)時(shí)不等式成立，即(1＋2＋…＋k)≥k2.

15、 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，有 左邊＝[(1＋2＋…＋k)＋(k＋1)] ＝(1＋2＋…＋k)＋(1＋2＋…＋k)＋(k＋1)×＋1≥k2＋＋1＋(k＋1). ∵當(dāng)k≥2時(shí)，1＋＋…＋≥1＋＝，(*) ∴左邊≥k2＋＋1＋(k＋1)×＝k2＋2k＋1＋≥(k＋1)2. 這就是說當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等成立，由(1)、(2)可知當(dāng)n≥1時(shí)，不等式成立． 9．設(shè)數(shù)列{an}滿足an＋1＝a－nan＋1，n＝1,2,3…. (1)當(dāng)a1＝2時(shí)，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一個(gè)通項(xiàng)公式； (2)當(dāng)a≥3時(shí)，證明對(duì)所有的n≥1，有an≥n＋2. 解：(1)由a1＝2，得a2＝a－a1＋

16、1＝3， 由a2＝3，得a3＝a－2a2＋1＝4， 由a3＝4，得a4＝a－3a3＋1＝5. 由此猜想an的一個(gè)通項(xiàng)公式： an＝n＋1(n≥1)． (2)證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明． ①當(dāng)n＝1，a1≥3＝1＋2，不等式成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)不等式成立， 即ak≥k＋2，那么，當(dāng)n＝k＋1時(shí)． ak＋1＝ak(ak－k)＋1≥(k＋2)(k＋2－k)＋1≥k＋3， 也就是說，當(dāng)n＝k＋1時(shí)， ak＋1≥(k＋1)＋2. 根據(jù)①和②，對(duì)于所有n≥1，有an≥n＋2. 10．設(shè)a∈R，f(x)＝是奇函數(shù)， (1)求a的值；(2)如果g(n)＝(n∈N＋)，試比較f(

17、n)與g(n)的大小(n∈N＋)． 解：(1)∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù)， ∴f(0)＝0.故a＝1. (2)f(n)－g(n)＝－＝. 只要比較2n與2n＋1的大小． 當(dāng)n＝1,2時(shí)，f(n)2n＋1，f(n)>g(n)． 下面證明，n≥3時(shí)，2n>2n＋1，即f(x)>g(x)． ①n＝3時(shí)，23>2×3＋1，顯然成立， ②假設(shè)n＝k(k≥3，k∈N＋)時(shí)，2k>2k＋1， 那么n＝k＋1時(shí)，2k＋1＝2×2k>2(2k＋1)． 2(2k＋1)－[2(k＋1)＋1]＝4k＋2－2k－3＝2k－1>0(∵k≥3)， 有2k＋1>2(k＋1)＋1. ∴n＝k＋1時(shí)，不等式也成立，由①②可以判定，n≥3，n∈N＋時(shí)，2n>2n＋1. 所以n＝1,2時(shí)，f(n)g(n)．