2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 不等式的基本性質(zhì)和證明的基本方法 1.1.1 不等式的基本性質(zhì)導(dǎo)學(xué)案 新人教B版選修4-5

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1、1.1.1　不等式的基本性質(zhì) 1.了解不等關(guān)系與不等式. 2.掌握不等式的性質(zhì). 3.會(huì)用不等式的性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單問題. 自學(xué)導(dǎo)引 1.對(duì)于任何兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b， a>b?a－b>0； ab?bb，b>c?a>c； (3)加(減)：a>b?a＋c>b＋c； (4)乘(除)：a>b，c>0?ac>bc； a>b，c<0?acb>0?an>bn，n∈N*且n≥2； (6)開方：a>b>0?>，n∈N*且n≥2； (7)a>

2、b，c>d?a＋c>b＋d； (8)a>b>0，c>d>0?ac>bd. 基礎(chǔ)自測(cè) 1.如果a∈R，且a2＋a<0，那么a，a2，－a，－a2的大小關(guān)系是(　　) A.a2>a>－a2>－a B.－a>a2>－a2>a C.－a>a2>a>－a2 D.a2>－a>a>－a2 解析　由a2＋a<0知a≠0，故有a<－a2<0，0b>0，c B.< C.> D.< 解析　思路一：根據(jù)給出的字母的取值要求，取特殊值驗(yàn)證. 思路二：根據(jù)不等式的性質(zhì)直接推導(dǎo). 方法一：令a＝3，b＝2

3、，c＝－3，d＝－2， 則＝－1，＝－1，排除選項(xiàng)C，D； 又＝－，＝－，所以<，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確.故選B. 方法二：因?yàn)閏－d>0， 所以>>0. 又a>b>0，所以>，所以<，故選B. 答案　B 3.設(shè)x∈R，則與的大小關(guān)系是________. 解析　當(dāng)x＝0時(shí)，＝0<， 當(dāng)x≠0時(shí)，＝， ∴＋x2≥2，∴≤(當(dāng)x＝±1時(shí)取等號(hào))， 綜上所述≤. 答案　≤ 知識(shí)點(diǎn)1　不等式的性質(zhì)及應(yīng)用 【例1】 判斷下列各題的對(duì)錯(cuò) (1)<且c>0?a>b(　　) (2)a>b且c>d?ac>bd(　　) (3)a>b>0且c>d>0? >

4、(　　) (4)>?a>b(　　) 解析　(1)?<， 當(dāng)a<0，b>0時(shí)，此式成立， 推不出a>b，∴(1)錯(cuò). (2)當(dāng)a＝3，b＝1，c＝－2，d＝－3時(shí)，命題顯然不成立.∴(2)錯(cuò). (3)?>>0? > 成立.∴(3)對(duì). (4)顯然c2>0，∴兩邊同乘以c2得a>b.∴(4)對(duì). 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ ●反思感悟：解決這類問題，主要是根據(jù)不等式的性質(zhì)判定，其實(shí)質(zhì)是看是否滿足性質(zhì)所需的條件，若要判斷一個(gè)命題是假命題，可以從條件入手，推出與結(jié)論相反的結(jié)論或舉出一個(gè)反例予以否定. 1.有以下四個(gè)條件： ①b>0>a；②0>a>b；③a>0

5、>b；④a>b>0. 其中能使<成立的有________個(gè)條件. 解析?、賐>0>a，∴<0<，結(jié)論成立； ②0>a>b，∴<，結(jié)論成立； ③a>0>b，∴>，結(jié)論不成立； ④a>b>0，∴<，結(jié)論成立. 答案　3 知識(shí)點(diǎn)2　實(shí)數(shù)大小的比較 【例2】 實(shí)數(shù)x，y，z滿足x2－2x＋y＝z－1且x＋y2＋1＝0，試比較x，y，z的大小. 解　x2－2x＋y＝z－1?z－y＝(x－1)2≥0?z≥y； x＋y2＋1＝0?y－x＝y(tǒng)2＋y＋1 ＝＋>0?y>x，故z≥y>x. ●反思感悟：兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小，通常用作差法來進(jìn)行.其一般步驟是： (1)作差. (2)變形，常采

6、用配方、因式分解、分母有理化等方法. (3)定號(hào)，即確定差的符號(hào). (4)下結(jié)論. 2.已知－1－a2，即A>B， >，即C>D， 又∵A－C＝1＋a2－＝<0，∴A0， ∴C>A>B>D. 知識(shí)點(diǎn)3　不等式的證明 【例3】 如果a>b>0，c. 證明　∵c－d>0， 又∵a>b>0，∴a－c>b－d>0. 不等式的兩邊同乘>0，得：>>0， 又∵f<0，∴<，即>. ●反思感

7、悟：利用不等式性質(zhì)證明不等式的實(shí)質(zhì)就是依據(jù)性質(zhì)把不等式進(jìn)行變形.在此過程中，一要嚴(yán)格符合性質(zhì)條件；二要注意向特征不等式的形式化歸. 3.已知a0 ?ax＋by＋cz>ax＋cy＋bz 同理ax＋by＋cz>bx＋ay＋cz ax＋by＋cz>cx＋by＋az故結(jié)論成立. 課堂小結(jié) 1.不等關(guān)系強(qiáng)調(diào)的是量與量之間的關(guān)系，可以用符號(hào)“>”、“<”、“≠”、“≥”

8、或“≤”表示；而不等式則是用來表示不等關(guān)系的，可用“a>b”、“ab，b≥c或a≥b，b>c均可推得a>c；而a≥b，b≥c不一定可以推得a>c，可能是a>c，也可能是a＝c. 隨堂演練 1.已知下列四個(gè)條件：①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0，能推出<成立的有(　　) A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè) 解析　運(yùn)用倒數(shù)性質(zhì)，由a>b，ab>

9、0可得<，②、④正確.又正數(shù)大于負(fù)數(shù)，①正確，③錯(cuò)誤，故選C. 答案　C 2.已知a，b，c，d為實(shí)數(shù)，且c>d，則“a>b”是“a－c>b－d”的(　　) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 解析　由?a>b；而當(dāng)a＝c＝2，b＝d＝1時(shí)，滿足，但a－c>b－d不成立，所以“a>b”是“a－c>b－d”的必要而不充分條件，選B. 答案　B 3.已知不等式：①x2＋3>2x；②a5＋b5>a3b2＋a2b3；③a2＋b2≥2(a－b－1)，其中正確的不等式有__________.(填上正確的序號(hào)) 答案?、佗? 4.實(shí)數(shù)a，b

10、，c，d滿足下列三個(gè)條件：①d>c；②a＋b＝c＋d；③a＋dc，a＋d|b|；③abc. A.1個(gè)　　　B.2個(gè)　　　C.3個(gè)　　　D.4個(gè) 答案　A 2.若a，b，c∈R，a>b，則下列不等式成立的是(　　) A.< B.a

11、2>b2 C.> D.a|c|>b|c| 解析　本題只提供了“a，b，c∈R，a>b”這個(gè)條件，而不等式的基本性質(zhì)中，幾乎都有類似的前提條件，但結(jié)論會(huì)根據(jù)不同的要求有所不同，因而這需要根據(jù)本題的四個(gè)選擇項(xiàng)來進(jìn)行判斷.選項(xiàng)A，還需有ab>0這個(gè)前提條件；選項(xiàng)B，當(dāng)a，b都為負(fù)數(shù)或一正一負(fù)時(shí)都有可能不成立，如2>－3，但22>(－3)2不正確；選項(xiàng)C，>0，因而正確；選項(xiàng)D，當(dāng)c＝0時(shí)不正確. 答案　C 3.設(shè)a，b∈R，若a－|b|>0，則下列不等式中正確的是(　　) A.b－a>0 B.a3＋b3>0 C.a2－b2<0 D.b＋a>0 解析　∵a－|b|>0，∴a>|b|

12、>0. ∴不論b正或b負(fù)均有a＋b>0. 答案　D 4.已知60y，則實(shí)數(shù)a、b滿足的條件是________________. 答案　ab≠1或a≠－2 6.已知a、b∈{正實(shí)數(shù)}且a≠b，比

13、較＋與a＋b的大小. 解　∵－(a＋b)＝－b＋－a ＝＋＝(a2－b2) ＝， ∴當(dāng)a>b>0時(shí)，a2>b2，∴>0. 當(dāng)00. ∴只要a≠b，總有＋>a＋b. 綜合提高 7.已知實(shí)數(shù)x，y滿足ax B.ln(x2＋1)>ln(y2＋1) C.sin x>sin y D.x3>y3 解析　先依據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)確定出x，y的大小，再逐一對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷.因?yàn)?y.采用賦值法判斷，A中，當(dāng)x＝1，y＝0時(shí)，<1，A不成立.B中，當(dāng)x＝0，y＝－1時(shí)，ln

14、1

15、＞a；②0＞a＞b；③a＞0＞b；④a＞b＞0. 其中能使＜成立的有________個(gè)條件. 解析?、佟遙＞0，∴＞0.∵a＜0，∴＜0.∴＜. ②∵b＜a＜0，∴＞. ③∵a＞0＞b，∴＞0，＜0.∴＞. ④∵a＞b＞0，∴＜. 綜上知，①②④均能使＜成立. 答案　3 11.若a>0，b>0，求證：＋≥a＋b. 證明　∵＋－a－b＝(a－b) ＝， (a－b)2≥0恒成立，且已知a>0，b>0， ∴a＋b>0，ab>0. ∴≥0. ∴＋≥a＋b. 12.已知α、β滿足 試求α＋3β的取值范圍. 解　設(shè)α＋3β＝λ(α＋β)＋v(α＋2β) ＝(λ＋v)α＋(λ＋2v)β. 比較α、β的系數(shù)，得 從而解出λ＝－1，v＝2. 分別由①、②得－1≤－α－β≤1，2≤2α＋4β≤6， 兩式相加，得1≤α＋3β≤7. 另解　由①，∴－1≤－(α＋β)≤1 ③ 由③②可得，0≤β≤4④ 由④②可得，1≤α＋2β＋β≤4＋3， 即：1≤α＋3β≤7. 9