三年高考（2016-2022）高考數學試題分項版解析 專題10 三角函數圖象與性質 理（含解析）

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1、三年高考（2016-2022）高考數學試題分項版解析 專題10 三角函數圖象與性質 理（含解析） 考點 內容解讀 要求 高考示例 常考題型 預測熱度 1.三角函數的圖 象及其變換 ①能畫出y=sin x,y=cos x,y=tan x的圖象,了解三角函數的周期性; ②了解函數y=Asin(ωx+φ)的物理意義;能畫出y=Asin(ωx+φ)的圖象,了解參數A,ω,φ對函數圖象變化的影響 掌握 2017課標全國Ⅰ,9; 2016北京,7; 2016課標全國Ⅲ,14; 2015湖南,9 選擇題 填空題 解答題 ★★★ 2.三角函數的性 質及其應用 理解正

2、弦函數、余弦函數的性質(如單調性、最大值和最小值以及與x軸交點等).理解正切函數的單調性 理解 2017課標全國Ⅲ,6; 2016課標全國Ⅱ,7; 2015課標Ⅰ,8 選擇題 填空題 解答題 ★★★ 【解析】分析：由題意首先求得平移之后的函數解析式，然后確定函數的單調區(qū)間即可. 詳解：由函數圖象平移變換的性質可知：將的圖象向右平移個單位長度之后的解析式為：.則函數的單調遞增區(qū)間滿足：，即，令可得一個單調遞增區(qū)間為：.函數的單調遞減區(qū)間滿足：，即，令可得一個單調遞減區(qū)間為：.本題選擇A選項. 點睛：本題主要考查三角函數的平移變換，三角函數的單調區(qū)間的判斷等知識，意在考查學生

3、的轉化能力和計算求解能力. 2．【2018年理北京卷】設函數f（x）=，若對任意的實數x都成立，則ω的最小值為__________． 【答案】 點睛：函數的性質 (1).(2)周期(3)由 求對稱軸，最大值對應自變量滿足，最小值對應自變量滿足， (4)由求增區(qū)間; 由求減區(qū)間. 3．【2018年江蘇卷】已知函數的圖象關于直線對稱，則的值是________． 【答案】 【解析】分析：由對稱軸得，再根據限制范圍求結果. 詳解：由題意可得，所以，因為，所以 點睛：函數（A>0,ω>0）的性質：(1)； (2)最小正周期；(3)由求對稱軸；(4)由求增區(qū)間; 由求減區(qū)間.

4、4．【2018年全國卷Ⅲ理】函數在的零點個數為________． 【答案】 點睛：本題主要考查三角函數的性質和函數的零點，屬于基礎題。 2017年高考全景展示 1.【2017課標1，理9】已知曲線C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，則下面結論正確的是 A．把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2 B．把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2 C．把C1上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2 D．把C

5、1上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2 【答案】D 【解析】 試題分析：因為函數名不同，所以先將利用誘導公式轉化成與相同的函數名，則，則由上各點的橫坐標縮短到原來的倍變?yōu)?，再將曲線向左平移個單位得到，故選D. 【考點】三角函數圖像變換. 【名師點睛】對于三角函數圖像變換問題，首先要將不同名函數轉換成同名函數，利用誘導公式，需要重點記住；另外，在進行圖像變換時，提倡先平移后伸縮，而先伸縮后平移在考試中經常出現(xiàn)，無論哪種變換，記住每一個變換總是對變量而言. 2.【2017課標3，理6】設函數f(x)=cos(x+)，則下列結論錯誤的是

6、 A．f(x)的一個周期為?2π B．y=f(x)的圖像關于直線x=對稱 C．f(x+π)的一個零點為x= D．f(x)在(,π)單調遞減 【答案】D 【解析】 試題分析：函數的最小正周期為 ，則函數的周期為 ，取 ，可得函數 的一個周期為 ，選項A正確； 函數的對稱軸為 ，即： ，取 可得y=f(x)的圖像關于直線x=對稱，選項B正確； ，函數的零點滿足 ，即 ，取 可得f(x+π)的一個零點為x=，選項C正確； 當 時， ，函數在該區(qū)間內不單調，選項D錯誤； 故選D. 【考點】 函數 的性質 【名師點睛】(1)求最小正周期時可先把所給三角函數式化為y＝Asin

7、(ωx＋φ)或y＝Acos(ω x＋φ)的形式，則最小正周期為；奇偶性的判斷關鍵是解析式是否為y＝Asin ωx或y＝Acos ωx＋b的形式. (2)求f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)的對稱軸，只需令，求x；求f(x)的對稱中心的橫坐標，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)即可. 3.【2017天津，理7】設函數，，其中，.若，，且的最小正周期大于，則 （A）， （B）， （C）， （D）， 【答案】 【考點】求三角函數的解析式 【名師點睛】有關問題，一種為提供函數圖象求解析式或某參數的范圍，一般先根據圖象的最高點或最低點確定，再根據周期或周期或周期求出，最后再利用最高

8、點或最低點坐標滿足解析式，求出滿足條件的值，另一種時根據題目用文字形容的函數圖象特點，如對稱軸或曲線經過的點的坐標，根據題意自己畫出圖象，再尋求待定的參變量，題型很活，求或的值或最值或范圍等. 4.【2017山東，理16】設函數，其中.已知. （Ⅰ）求； （Ⅱ）將函數的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），再將得到的圖象向左平移個單位，得到函數的圖象，求在上的最小值. 【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）得最小值. 【解析】試題分析：（Ⅰ）利用兩角和與差的三角函數化簡得到 由題設知及可得. （Ⅱ）由（Ⅰ）得 從而. 根據得到，進一步求最小值. 試題解析：（Ⅰ）因為， 所以

9、 由題設知， 所以，.故，，又，所以. （Ⅱ）由（Ⅰ）得 所以.因為， 所以，當， 即時，取得最小值. 【考點】1.兩角和與差的三角函數.2.三角函數圖象的變換與性質. 【名師點睛】此類題目是三角函數問題中的典型題目，可謂相當經典.解答本題，關鍵在于能利用三角公式化簡函數、進一步討論函數的性質，本題易錯點在于一是圖象的變換與解析式的對應，二是忽視設定角的范圍.難度不大，能較好的考查考生的基本運算求解能力及復雜式子的變形能力等. 2016年高考全景展示 1.【2016高考新課標2理數】若將函數的圖像向左平移個單位長度，則平移后圖象的對稱軸為（ ） （A）

10、 （B） （C） （D） 【答案】B 【解析】 試題分析：由題意，將函數的圖像向左平移個單位得，則平移后函數的對稱軸為，即，故選B. 考點： 三角函數的圖象變換與對稱性. 【名師點睛】平移變換和伸縮變換都是針對x而言，即x本身加減多少值，而不是依賴于ωx加減多少值． 2.【2016高考新課標1卷】已知函數 為的零點,為圖像的對稱軸,且在單調,則的最大值為( ) （A）11????????（B）9?????（C）7????????（D）5 【答案】B 考點：三角函數的性質 【名師點睛】本題將三角函數單調性與

11、對稱性結合在一起進行考查,敘述方式新穎,是一道考查能力的好題.注意本題解法中用到的兩個結論:①的單調區(qū)間長度是半個周期;②若的圖像關于直線 對稱,則 或. 3.【2016年高考四川理數】為了得到函數的圖象，只需把函數的圖象上所有的點( ) （A）向左平行移動個單位長度 （B）向右平行移動個單位長度 （C）向左平行移動個單位長度 ?。―）向右平行移動個單位長度 【答案】D 【解析】 試題分析：由題意，為了得到函數，只需把函數的圖像上所有點向右移個單位，故選D. 考點：三角函數圖像的平移. 【名師點睛】本題考查三角函數的圖象平移，在函數的圖象平移變換中要

12、注意人“”的影響，變換有兩種順序：一種的圖象向左平移個單位得，再把橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標不變，得的圖象，另一種是把的圖象橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標不變，得的圖象，向左平移個單位得的圖象． 4.【2016高考浙江理數】設函數，則的最小正周期（ ） A．與b有關，且與c有關 B．與b有關，但與c無關 C．與b無關，且與c無關 D．與b無關，但與c有關 【答案】B 【解析】 試題分析：，其中當時，，此時周期是；當時，周期為，而不影響周期．故選B． 考點：1、降冪公式；2、三角函數的最小

13、正周期． 【思路點睛】先利用三角恒等變換（降冪公式）化簡函數，再判斷和的取值是否影響函數的最小正周期． 5.【2016年高考北京理數】將函數圖象上的點向左平移（） 個單位長度得到點，若位于函數的圖象上，則（ ） A.，的最小值為B. ，的最小值為 C.，的最小值為D.，的最小值為 【答案】A 【解析】 試題分析：由題意得，，故此時所對應的點為，此時向左平移個單位，故選A. 考點：三角函數圖象平移 【名師點睛】三角函數的圖象變換，有兩種選擇：一是先伸縮再平移，二是先平移再伸縮．特別注意平移變換時，當自變量x的系數不為1時，要將系數先提出．翻折變換要注意翻折的方向；三角函數名

14、不同的圖象變換問題，應先將三角函數名統(tǒng)一，再進行變換 6.【2016高考山東理數】函數f（x）=（sin x+cos x）（cos x –sin x）的最小正周期是（ ） （A） （B）π （C） （D）2π 【答案】B 【解析】 試題分析：,故最小正周期,故選B. 考點：1.和差倍半的三角函數；2.三角函數的圖象和性質. 【名師點睛】本題主要考查和差倍半的三角函數、三角函數的圖象和性質.此類題目是三角函數問題中的典型題目，可謂相當經典.解答本題，關鍵在于能利用三角公式化簡函數、進一步討論函數的性質，本題較易，能較好的考查考生的基本運算求解能力及復雜式子的變形能力等. 7.【2016高考新課標3理數】函數的圖像可由函數的圖像至少向 右平移_____________個單位長度得到． 【答案】 考點：1、三角函數圖象的平移變換；2、兩角和與差的正弦函數． 【誤區(qū)警示】在進行三角函數圖象變換時，提倡“先平移，后伸縮”，但“先伸縮，后平移”也經常出現(xiàn)在題目中，所以也必須熟練掌握，無論是哪種變形，切記每一個變換總是對字母而言，即圖象變換要看“變量”起多大變化，而不是“角”變化多少．