山東省齊河縣高考數(shù)學(xué)三輪沖刺 專題 圓錐曲線中的綜合問題練習(xí)（含解析）

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1、山東省齊河縣高考數(shù)學(xué)三輪沖刺 專題 圓錐曲線中的綜合問題練習(xí)（含解析）一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1. 已知F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè)，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則與面積之和的最小值是 A. 2 B. 3 C. D. （正確答案）B解：設(shè)直線AB的方程為：，點(diǎn)，直線AB與x軸的交點(diǎn)為，由，根據(jù)韋達(dá)定理有，結(jié)合及，得，點(diǎn)A，B位于x軸的兩側(cè)，故不妨令點(diǎn)A在x軸上方，則，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取“”號(hào)，與面積之和的最小值是3，故選B可先設(shè)直線方程和點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立直線與拋物線的方程得到一個(gè)一元二次方程，再利用韋達(dá)定理及消元，最后將面積之和表示出來，探求最值問題求解本題時(shí)

2、，應(yīng)考慮以下幾個(gè)要點(diǎn)：1、聯(lián)立直線與拋物線的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韋達(dá)定理與已知條件消元，這是處理此類問題的常見模式2、求三角形面積時(shí)，為使面積的表達(dá)式簡(jiǎn)單，常根據(jù)圖形的特征選擇適當(dāng)?shù)牡着c高3、利用基本不等式時(shí)，應(yīng)注意“一正，二定，三相等”2. 已知橢圓E：的右焦點(diǎn)為F，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M，直線l：交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，若，點(diǎn)M到直線l的距離不小于，則橢圓E的離心率的取值范圍是 A. B. C. D. （正確答案）A解：如圖所示，設(shè)為橢圓的左焦點(diǎn)，連接，則四邊形是平行四邊形，取，點(diǎn)M到直線l的距離不小于，解得橢圓E的離心率的取值范圍是故選：A如圖所示，設(shè)為橢圓的左焦點(diǎn)，連接，則

3、四邊形是平行四邊形，可得取，由點(diǎn)M到直線l的距離不小于，可得，解得再利用離心率計(jì)算公式即可得出本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題3. 已知點(diǎn)是橢圓C：的左頂點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓O：的切線，切點(diǎn)為A，B，若直線AB恰好過橢圓C的左焦點(diǎn)F，則的值是 A. 12 B. 13 C. 14 D. 15（正確答案）C解：由題意，過點(diǎn)P作圓O：的切線，切點(diǎn)為A，B，若直線AB恰好過橢圓C的左焦點(diǎn)F，故選C由題意，過點(diǎn)P作圓O：的切線，切點(diǎn)為A，B，若直線AB恰好過橢圓C的左焦點(diǎn)F，可得，即可求出的值本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查直線與圓的位

4、置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題4. 已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，經(jīng)過F且斜率為的直線與拋物線在x軸上方的部分交于A點(diǎn)，垂足為K，則的面積為 A. 4 B. C. D. 8（正確答案）C解：由拋物線的定義可得，則的斜率等于，的傾斜角等于，故為等邊三角形又焦點(diǎn)，AF的方程為，設(shè)，由得，故等邊三角形的邊長(zhǎng)，的面積是，故選：C先判斷為等邊三角形，求出A的坐標(biāo)，可求出等邊的邊長(zhǎng)的值，的面積可求本題考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，判斷為等邊三角形是解題的關(guān)鍵5. 已知拋物線的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與雙曲線相交于M，N兩點(diǎn)，若為直角三角形，其中F為直角頂點(diǎn)，則 A. B. C.

5、 D. 6（正確答案）A【分析】本題考查拋物線的定義及拋物線的幾何性質(zhì)，雙曲線方程的應(yīng)用，考查計(jì)算能力【解答】解：由題設(shè)知拋物線的準(zhǔn)線為，代入雙曲線方程解得 ，由雙曲線的對(duì)稱性知為等腰直角三角形，即，故選A6. 若拋物線上恒有關(guān)于直線對(duì)稱的兩點(diǎn)A，B，則p的取值范圍是 A. B. C. D. （正確答案）C解：設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)A和B在拋物線上，所以有 得，整理得，因?yàn)锳，B關(guān)于直線對(duì)稱，所以，即所以設(shè)AB的中點(diǎn)為，則又M在直線上，所以則因?yàn)镸在拋物線內(nèi)部，所以即，解得所以p的取值范圍是 故選C設(shè)出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，因?yàn)锳，B在拋物線上，把兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線方程，作差后求出AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)，又AB的

6、中點(diǎn)在直線上，代入后求其橫坐標(biāo)，然后由AB中點(diǎn)在拋物線內(nèi)部列不等式求得實(shí)數(shù)p的取值范圍本題考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查了點(diǎn)差法，是解決與弦中點(diǎn)有關(guān)問題的常用方法，解答的關(guān)鍵是由AB中點(diǎn)在拋物線內(nèi)部得到關(guān)于p的不等式，是中檔題7. 已知點(diǎn)，A，B是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值是 A. B. C. D. （正確答案）C解：，可得，設(shè)，則，時(shí)，的最小值為；時(shí)，的最大值為9，故選：C利用，可得，設(shè)，可得，即可求解數(shù)量積的取值范圍本題考查橢圓方程，考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題8. 過雙曲線的右頂點(diǎn)A作斜率為的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為B、若，則雙曲

7、線的離心率是 A. B. C. D. （正確答案）C解：直線l：與漸近線：交于，l與漸近線：交于，故選C分別表示出直線l和兩個(gè)漸近線的交點(diǎn)，進(jìn)而表示出和，進(jìn)而根據(jù)求得a和b的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)，求得a和c的關(guān)系，則離心率可得本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題要求學(xué)生有較高地轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用能力，能將已知條件轉(zhuǎn)化到基本知識(shí)的運(yùn)用9. 如圖，是雙曲線與橢圓的公共焦點(diǎn)，點(diǎn)A是，在第一象限內(nèi)的公共點(diǎn)，若，則的離心率是 A. B. C. D. （正確答案）C解：由題意，是雙曲線與橢圓的公共焦點(diǎn)可知，的離心率是故選：C利用橢圓以及雙曲線的定義，轉(zhuǎn)化求解橢圓的離心率即可本題考查橢圓以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)

8、用，考查計(jì)算能力10. 已知雙曲線C：與拋物線的準(zhǔn)線相交于A、B兩點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線方程為，點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，且是正三角形，則雙曲線C的方程為 A. B. C. D. （正確答案）B解：拋物線的焦點(diǎn)為，其準(zhǔn)線方程為，為正三角形，將代入雙曲線可得，雙曲線的一條漸近線方程是，雙曲線的方程為故選：B拋物線的焦點(diǎn)為，其準(zhǔn)線方程為，利用為正三角形，可得A的坐標(biāo)，代入雙曲線的方程，可得a，b的方程，利用雙曲線的一條漸近線方程是，可得a，b的方程，從而可得a，b的值，即可求出雙曲線的方程本題考查拋物線、雙曲線的方程與性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確運(yùn)用拋物線、雙曲線的性質(zhì)是關(guān)鍵11. 拋物線：的焦點(diǎn)F是

9、雙曲線：的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為曲線，的公共點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線的準(zhǔn)線上，為以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則雙曲線的離心率為 A. B. C. D. （正確答案）C解：拋物線：的焦點(diǎn)F是雙曲線：的右焦點(diǎn)，則，P在雙曲線上，滿足：，解得，所求雙曲線的離心率為：故選：C求出拋物線以及雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用已知條件推出P的坐標(biāo)，代入雙曲線方程，然后求解a、c，即可求解雙曲線的離心率即可本題考查拋物線以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力12. 已知P是雙曲線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作曲線的兩條漸近線的垂線，垂足分別為A、B，則的值是 A. B. C. D. 不能確定（正確答案）A解：設(shè)，則，

10、即，由雙曲線的漸近線方程為，則由解得交點(diǎn)；由解得交點(diǎn)，則故選：A設(shè)，則，即，求出漸近線方程，求得交點(diǎn)A，B，再求向量PA，PB的坐標(biāo)，由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，計(jì)算即可得到本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查漸近線方程的運(yùn)用，考查聯(lián)立方程組求交點(diǎn)的方法，考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題二、填空題（本大題共4小題，共20分）13. 設(shè)拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)重合，則 _ （正確答案）解：拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)重合，可得，解得故答案為：求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用已知條件求出b即可本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力14. 若拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線

11、的右焦點(diǎn)重合，則實(shí)數(shù)p的值為_（正確答案）6解：雙曲線的方程，可得，因此雙曲線的右焦點(diǎn)為，拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)重合，解之得故答案為：6根據(jù)雙曲線的方程，可得，從而得到雙曲線的右焦點(diǎn)為，再根據(jù)拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，可得，解之即可得到實(shí)數(shù)p的值本題給出拋物線以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，雙曲線的右焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，求拋物線方程，著重考查了雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題15. 已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F傾斜角為的直線l與拋物線C在第一、四象限分別交于A、B兩點(diǎn)，則的值等于_（正確答案）3解：設(shè)，則，即有，由直線l傾斜角為，則直線l的方程為：，即，聯(lián)立拋物線方程，消去y并整理，得，則

12、，可得，則，故答案為：3設(shè)出A、B坐標(biāo)，利用焦半徑公式求出，結(jié)合，求出A、B的坐標(biāo)，然后求其比值本題考查直線的傾斜角，拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，屬于中檔題16. 過雙曲線右焦點(diǎn)且斜率為 2 的直線，與該雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍為_（正確答案）解：由題意過雙曲線，右焦點(diǎn)且斜率為 2 的直線，與該雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，可得雙曲線的漸近線斜率，雙曲線離心率的取值范圍為故答案為：先確定雙曲線的漸近線斜率小于2，結(jié)合離心率，即可求得雙曲線離心率的取值范圍本題考查雙曲線的離心率的范圍，考查學(xué)生分析解決問題的能力，解題的關(guān)鍵是利用漸近線的斜率與離心率的關(guān)系，屬

13、于中檔題三、解答題（本大題共3小題，共30分）17. 已知曲線C：，直線l：為參數(shù)寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程過曲線C上任意一點(diǎn)P作與l夾角為的直線，交l于點(diǎn)A，求的最大值與最小值（正確答案）解：對(duì)于曲線C：，可令、，故曲線C的參數(shù)方程為，為參數(shù)對(duì)于直線l：，由得：，代入并整理得：；設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P到直線l的距離為則，其中為銳角當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為聯(lián)想三角函數(shù)的平方關(guān)系可取、得曲線C的參數(shù)方程，直接消掉參數(shù)t得直線l的普通方程；設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)由點(diǎn)到直線的距離公式得到P到直線l的距離，除以進(jìn)一步得到，化積后由三角函數(shù)的范圍求得的最大值與最小值本題

14、考查普通方程與參數(shù)方程的互化，訓(xùn)練了點(diǎn)到直線的距離公式，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題18. 已知A是橢圓E：的左頂點(diǎn)，斜率為的直線交E與A，M兩點(diǎn)，點(diǎn)N在E上，當(dāng)時(shí)，求的面積 當(dāng)時(shí)，證明：（正確答案）解：由橢圓E的方程：知，其左頂點(diǎn)，且，為等腰直角三角形， 軸，設(shè)M的縱坐標(biāo)為a，則，點(diǎn)M在E上，整理得：，或舍，；設(shè)直線的方程為：，直線的方程為：，由消去y得：， ，又，整理得：，設(shè)，則，為的增函數(shù)，又，依題意知橢圓E的左頂點(diǎn)，由，且，可知為等腰直角三角形，設(shè)，利用點(diǎn)M在E上，可得，解得：，從而可求的面積；設(shè)直線的方程為：，直線的方程為：，聯(lián)立消去y，得，利用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式可分別求得，結(jié)合

15、，可得，整理后，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法可判斷其單調(diào)性，再結(jié)合零點(diǎn)存在定理即可證得結(jié)論成立本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，常用的方法就是聯(lián)立方程求出交點(diǎn)的橫坐標(biāo)或者縱坐標(biāo)的關(guān)系，通過這兩個(gè)關(guān)系的變形去求解，考查構(gòu)造函數(shù)思想與導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)單調(diào)性，再結(jié)合零點(diǎn)存在定理確定參數(shù)范圍，是難題19. 如圖，已知四邊形ABCD是橢圓的內(nèi)接平行四邊形，且BC，AD分別經(jīng)過橢圓的焦點(diǎn)，若直線AC的方程為，求AC的長(zhǎng)；求平行四邊形ABCD面積的最大值（正確答案）本小題滿分14分解：由，消去y可得：，解得，分所以A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)為和，分所以 分解：當(dāng)直線AD的斜率不存在時(shí)，此時(shí)易得，所以平行四邊形ABCD的面積為分當(dāng)直線AD的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AD的方程為，將其代入橢圓方程，整理得分設(shè)點(diǎn)，則 ，分連結(jié)，則平行四邊形ABCD的面積分又 分又，所以 綜上，平行四邊形ABCD面積的最大值是分通過，求出x，得到A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用距離公式求解即可當(dāng)直線AD的斜率不存在時(shí)，求出三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求解平行四邊形的面積當(dāng)直線AD的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AD的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，設(shè)點(diǎn)，利用韋達(dá)定理，連結(jié)，表示出面積表達(dá)式，然后求解最值本題考查橢圓的方程的求法，直線與橢圓的綜合應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用