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1、江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 自主加餐的3大題型 3個(gè)附加題綜合仿真練（一）（理）（含解析）
1．本題包括A、B、C三個(gè)小題，請(qǐng)任選二個(gè)作答
A．[選修4－2：矩陣與變換]
已知矩陣A＝，B＝.求矩陣C，使得AC＝B.
解：因?yàn)椋?×3－1×1＝5,
所以A－1＝，
又AC＝B，所以C＝A－1B＝
＝.
B．[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在極坐標(biāo)系中，已知圓C的圓心在極軸上，且過極點(diǎn)和點(diǎn)，求圓C的極坐標(biāo)方程．
解：法一：因?yàn)閳A心C在極軸上且過極點(diǎn)，
所以設(shè)圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝acos θ，
又因?yàn)辄c(diǎn)在圓C上，
所以3＝acos ，解得a＝6.
所以圓C
2、的極坐標(biāo)方程為ρ＝6cos θ.
法二：點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(3,3)，
因?yàn)閳AC過點(diǎn)(0,0)，(3,3)，
所以圓心C在直線為x＋y－3＝0上．
又圓心C在極軸上，
所以圓C的直角坐標(biāo)方程為(x－3)2＋y2＝9.
所以圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝6cos θ.
C．[選修4－5：不等式選講]
已知x，y，z為不全相等的正數(shù)．求證：＋＋>＋＋.
證明：因?yàn)閤，y，z都是正數(shù)，
所以＋＝≥.
同理可得＋≥，＋≥，將上述三個(gè)不等式兩邊分別相加，并除以2，
得＋＋≥＋＋.
由于x，y，z不全相等，因此上述三個(gè)不等式中等號(hào)至少有一個(gè)取不到，
所以＋＋>＋＋.
2．在平面直角坐標(biāo)系
3、xOy中，直線l：x＝－1，點(diǎn)T(3,0)．動(dòng)點(diǎn)P滿足PS⊥l，垂足為S，且·＝0.設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程；
(2)設(shè)Q是曲線C上異于點(diǎn)P的另一點(diǎn)，且直線PQ過點(diǎn)(1,0)，線段PQ的中點(diǎn)為M，直線l與x軸的交點(diǎn)為N.求證：向量與共線．
解：(1)設(shè)P(x，y)為曲線C上任意一點(diǎn) .
因?yàn)镻S⊥l，垂足為S，又直線l：x＝－1，所以S(－1，y)．
因?yàn)門(3,0)，所以＝(x，y)，＝(4，－y)．
因?yàn)椤ぃ?，所以4x－y2＝0，即y2＝4x.
所以曲線C的方程為y2＝4x.
(2)證明：因?yàn)橹本€PQ過點(diǎn)(1,0)，
故設(shè)直線PQ的方程為x＝my
4、＋1，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
聯(lián)立方程消去x，得y2－4my－4＝0.
所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.
因?yàn)镸為線段PQ的中點(diǎn)，所以M的坐標(biāo)為，即M(2m2＋1,2m)．
又因?yàn)镾(－1，y1)，N(－1,0)，
所以＝(2m2＋2,2m－y1)，＝(x2＋1，y2)＝(my2＋2，y2).
因?yàn)?2m2＋2)y2－(2m－y1)(my2＋2)＝(2m2＋2)y2－2m2y2＋my1y2－4m＋2y1＝2(y1＋y2)＋my1y2－4m＝8m－4m－4m＝0.
所以向量與共線．
3．一條直路上依次有2n＋1棵樹，分別為T1，T2，…，T2n＋1(n為給
5、定的正整數(shù))，一個(gè)醉漢從中間位置的樹Tn＋1出發(fā)，并按以下規(guī)律在這些樹之間隨機(jī)游走n分鐘：當(dāng)他某一分鐘末在樹Ti(2≤i≤2n)位置時(shí)，下一分鐘末他分別有，，的概率到達(dá)Ti－1，Ti，Ti＋1的位置．
(1)求該醉漢第n分鐘末處在樹Ti(1≤i≤2n＋1)位置的概率；
(2)設(shè)相鄰2棵樹之間的距離為1個(gè)單位長(zhǎng)度，試求該醉漢第n分鐘末所在位置與起始位置(即樹Tn＋1)之間的距離的數(shù)學(xué)期望(用關(guān)于n的最簡(jiǎn)形式表示)．
解：(1)不妨假設(shè)2n＋1棵樹T1，T2，…，T2n＋1從左向右排列，每2棵樹的間距為1個(gè)單位長(zhǎng)度．
因?yàn)樵撟頋h下一分鐘末分別有，，的概率到達(dá)Ti－1，Ti，Ti＋1的位置，
6、
所以該醉漢將以的概率向左或向右走．
我們規(guī)定，事件“以的概率向左或向右走0.5個(gè)單位長(zhǎng)度”為一次“隨機(jī)游走”，
故原問題等價(jià)于求該醉漢從樹Tn＋1位置出發(fā)，經(jīng)過2n次隨機(jī)游走后處在樹Ti位置的概率為Pi.
對(duì)某個(gè)i(1≤i≤2n＋1)，設(shè)從Tn＋1出發(fā)，經(jīng)過2n次隨機(jī)游走到達(dá)Ti的全過程中，向右走0.5個(gè)單位長(zhǎng)度和向左走0.5個(gè)單位長(zhǎng)度分別有k次和2n－k次，
則n＋1＋＝i，解得k＝i－1，即在2n次中有i－1次向右游走，2n－(i－1)次向左游走，
而這樣的情形共C種，故所求的概率Pi＝(1≤i≤2n＋1)．
(2)對(duì)i＝1,2，…，2n＋1，樹Ti與Tn＋1相距|n＋1－i|個(gè)單位長(zhǎng)度，而該醉漢到樹Ti的概率為Pi，故所求的數(shù)學(xué)期望E＝n＋1－i|.
而n＋1－i|C＝n－j|C
＝2(n－j)C＝2C－2C
＝2n－2nC
＝2n×(C＋)－4n
＝n(C＋22n)－4n×
＝n(C＋22n)－2n·22n－1＝nC，因此E＝.
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