2022年高考數(shù)學專題復習 第6講 函數(shù)的奇偶性與周期性練習 新人教A版

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1、2022年高考數(shù)學專題復習 第6講 函數(shù)的奇偶性與周期性練習 新人教A版考情展望1.考查函數(shù)奇偶性的判斷.2.利用函數(shù)的奇偶性、周期性求函數(shù)值.3.與函數(shù)的對稱性相結(jié)合，綜合考查知識的靈活應用能力一、奇(偶)函數(shù)的定義及圖象特征1奇、偶函數(shù)的定義對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x.(1)f(x)為偶函數(shù)f(x)f(x)；(2)f(x)為奇函數(shù)f(x)f(x)2奇、偶函數(shù)的圖象特征奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱1奇、偶函數(shù)對稱區(qū)間上的單調(diào)性奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上有相反的單調(diào)性2奇函數(shù)圖象與原點的關(guān)系：如果奇函數(shù)f(

2、x)在原點有定義，則f(0)0.二、周期性1周期函數(shù)：T為函數(shù)f(x)的一個周期，則需滿足的條件：T0；f(xT)f(x)對定義域內(nèi)的任意x都成立2最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小的正數(shù)就叫做它的最小正周期周期性常用的結(jié)論對f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x：(1)若f(xa)f(x)，則T2a；(2)若f(xa)，則T2a；(3)若f(xa)，則T2a.(4)若對于R上的任意x都有f(2ax)f(x)，且f(2bx)f(x)(其中ab)，則：yf(x)是以2(ba)為周期的周期函數(shù)(5)若f(xa)f(xb)(ab)，那么函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，其

3、中一個周期為T2|ab|.1已知f(x)ax2bx是定義在a1,2a上的偶函數(shù)，那么ab的值是()A B. C. D【解析】依題意b0，且2a(a1)，b0且a，則ab.【答案】B2下列函數(shù)為偶函數(shù)的是()Aysin x Byx3Cyex Dyln【解析】由函數(shù)奇偶性的定義知A、B項為奇函數(shù)，C項為非奇非偶函數(shù)，D項為偶函數(shù)【答案】D3已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)，滿足f(x4)f(x)，則f(8)的值為()A1 B0 C1 D2【解析】f(x4)f(x)，f(x)是以4為周期的周期函數(shù)f(8)f(0)又函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(8)f(0)0，故選B.【答案】B4若函數(shù)y(x1

4、)(xa)為偶函數(shù)，則a_.【解析】因為y(x1)(xa)x2(1a)xa由題意可知1a0，即a1.【答案】15(xx山東高考)已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且當x0時，f(x)x2，則f(1)()A2 B1 C0 D2【解析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)f(x)f(x)求解當x0時，f(x)x2，f(1)122.f(x)為奇函數(shù)，f(1)f(1)2.【答案】D6(xx北京高考)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞減的是()Ay ByexCyx21 Dylg|x|【解析】A項，y是奇函數(shù)，故不正確；B項，yex為非奇非偶函數(shù)，故不正確；C，D兩項中的兩個函數(shù)都是偶函數(shù)，且yx21在(0，)上是減函數(shù)

5、，ylg|x|在(0，)上是增函數(shù)，故選C.【答案】C考向一 016函數(shù)奇偶性的判斷判斷下列各函數(shù)的奇偶性：(1) f(x)(x1) ；(2)f(x)；(3)f(x).【思路點撥】先求定義域，看定義域是否關(guān)于原點對稱，在定義域下，帶絕對值符號的要盡量去掉，分段函數(shù)要分情況判斷【嘗試解答】(1)由得，定義域為(1,1，關(guān)于原點不對稱，故f(x)為非奇非偶函數(shù)(2)由得，定義域為(1,0)(0,1)x20，|x2|2x，f(x).又f(x)f(x)，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)(3)顯然函數(shù)f(x)的定義域為：(，0)(0，)，關(guān)于原點對稱當x0時，x0，則f(x)(x)2xx2xf(x)；當x0時，x0

6、，則f(x)(x)2xx2xf(x)；綜上可知：對于定義域內(nèi)的任意x，總有f(x)f(x)成立，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)規(guī)律方法11.本例第(1)題，若盲目化簡：f(x)將擴大函數(shù)的定義域，作出錯誤判斷.第(2)題易忽視定義域無從入手.2.判斷函數(shù)的奇偶性，首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱；在定義域關(guān)于原點對稱的條件下，再化簡解析式，根據(jù)f(x)與f(x)的關(guān)系作出判斷，對于分段函數(shù)，應分情況判斷.考向二 017函數(shù)奇偶性的應用(1)設函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則實數(shù)a的值為_(2)已知yf(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當x0時，f(x)x22x，則f(x)在R上的解析式為_(3)設偶函數(shù)f(x)在(

7、0，)上為減函數(shù)，且f(2)0，則不等式0的解集為_【思路點撥】(1)利用奇函數(shù)定義或特值法求解(2)設x0，則x0，借助偶函數(shù)定義求其解析式(3)分“x0”和“x0”兩類分別解不等式，取并集即可【嘗試解答】(1)方法一：f(x)為奇函數(shù)，f(x)f(x)，即，a1.方法二：f(x)為奇函數(shù)，f(1)f(1)0，即0，a1.(2)設x0，則x0，f(x)(x)22(x)x22x.又yf(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(x)f(x)，f(x)x22x(x0)f(x)(3)因為f(x)為偶函數(shù)，所以不等式0，等價于0.當x0時，0等價于f(x)0，又f(x)在(0，)上為減函數(shù)，且f(2)0.所以f

8、(x)0的解集為x|0x2當x0時，0等價于f(x)0，又f(x)在(，0)上為增函數(shù)，且f(2)f(2)0.所以f(x)0的解集為x|x2綜上可知，不等式的解集為x|x2或0x2【答案】(1)1(2)f(x)(3)x|x2或0x2規(guī)律方法2(1)已知函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式，常利用奇偶性構(gòu)造關(guān)于f(x)的方程，從而可得f(x)的解析式.(2)已知帶有字母參數(shù)的函數(shù)的表達式及奇偶性求參數(shù)，常常采用待定系數(shù)法：利用f(x)f(x)0產(chǎn)生關(guān)于字母的恒等式，由系數(shù)的對等性可得知字母的值.(3)奇偶性與單調(diào)性綜合時要注意奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相

9、反.對點訓練(1)(xx鄭州模擬)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)和偶函數(shù)g(x)滿足f(x)g(x)axax2(a0，且a1)若g(2)a，則f(2)()A2B.C.Da2(2)已知定義在R上的奇函數(shù)滿足f(x)x22x(x0)，若f(3a2)f(2a)，則實數(shù)a的取值范圍是_【解析】(1)f(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)，f(2)f(2)，g(2)g(2)a，f(2)g(2)a2a22，f(2)g(2)g(2)f(2)a2a22，由、聯(lián)立，g(2)a2，f(2)a2a2.(2)當x0時，f(x)x22x(x1)21函數(shù)f(x)在0，)上為增函數(shù)又函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，函數(shù)f(x

10、)在R上是增函數(shù)由f(3a2)f(2a)得3a22a.解得3a1.【答案】(1)B(2)(3,1)考向三 018函數(shù)的周期性及其應用設f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)x，恒有f(x2)f(x)當x0,2時，f(x)2xx2.(1)求證：f(x)是周期函數(shù)；(2)當x2,4時，求f(x)的解析式；(3)計算f(0)f(1)f(2)f(2 015)【思路點撥】(1)證明f(x4)f(x)(2)先求2,0上的解析式，再求2,4上的解析式；(3)根據(jù)周期性求解【嘗試解答】(1)f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期為4的周期函數(shù)(2)當x2,0時，x0,2，由已知得f

11、(x)2(x)(x)22xx2.又f(x)是奇函數(shù)，f(x)f(x)2xx2，f(x)x22x.又當x2,4時，x42,0，f(x4)(x4)22(x4)又f(x)是周期為4的周期函數(shù)，f(x)f(x4)(x4)22(x4)x26x8.所以x2,4時，f(x)x26x8.(3)f(0)0，f(2)0，f(1)1，f(3)1.又f(x)是周期為4的周期函數(shù)，f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)f(2 008)f(2 009)f(2 010)f(2 011)0.f(0)f(1)f(2)f(2 015)f(0)f(1)f(2)f(3)010(1)0.規(guī)律方法3(1)本例(

12、2)在求解中先借助周期把區(qū)間2，4轉(zhuǎn)換到區(qū)間2，0上，然后借助奇函數(shù)實現(xiàn)2，0與0，2間的轉(zhuǎn)化.(2)證明一個函數(shù)f(x)是周期函數(shù)的關(guān)鍵是借助已知條件探尋使“f(xT)f(x)”成立的非零常數(shù)T.(3)周期性與奇偶性相結(jié)合的綜合問題，周期性起到轉(zhuǎn)換自變量值的作用，奇偶性起到調(diào)節(jié)符號的作用.對點訓練(1)已知函數(shù)f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，且f(x1)f(x)，若f(x)在1,0上是減函數(shù)，那么f(x)在1,3上是()A增函數(shù)B減函數(shù)C先增后減的函數(shù) D先減后增的函數(shù)(2)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，若對于x0，都有f(x2)，且當x0,2)時，f(x)log2(x1)，則f(2

13、013)f(2 015)_.【解析】(1)由f(x)在1,0上是減函數(shù)，又f(x)是R上的偶函數(shù)，所以f(x)在0,1上是增函數(shù)由f(x1)f(x)，得f(x2)f(x1)1f(x1)f(x)，故2是函數(shù)f(x)的一個周期結(jié)合以上性質(zhì)，模擬畫出f(x)的部分圖象，如圖由圖象可以觀察出，f(x)在1,2上為減函數(shù)，在2,3上為增函數(shù)(2)當x0時，f(x2)，f(x4)f(x)，即4是f(x)(x0)的一個周期f(2 013)f(1)log221，f(2 013)f(2 013)1，f(2 015)f(3)1，f(2 013)f(2 015)0.【答案】(1)D(2)0思想方法之三利用奇偶性求值

14、“方程思想”閃光芒方程思想就是通過分析問題中的各個量及其關(guān)系，列出方程(組)、或者構(gòu)造方程(組)，通過求方程(組)、或討論方程(組)的解的情況，使問題得以解決在函數(shù)的奇偶性中，方程思想的具體體現(xiàn)如下：(1)函數(shù)奇偶性的判斷，即驗證等式“f(x)f(x)0”是否對定義域中的每個x均成立(2)求解析式，在同時含有f(x)與f(x)的表達式中，如bf(x)f(x)a(ab0)中，常用“x”代式子中的“x”，重新構(gòu)建方程，聯(lián)立求解f(x)(3)求值，已知f(a)的值探求f(a)的值，其方法如同(2)1個示范例1個對點練(xx湖南高考)已知f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且f(1)g(1)2，f(1

15、)g(1)4，則g(1)等于()A4B3C2D1【解析】f(x)是奇函數(shù)，f(1)f(1)又g(x)是偶函數(shù)，g(1)g(1)f(1)g(1)2，g(1)f(1)2.又f(1)g(1)4，f(1)g(1)4.由，得g(1)3.(xx重慶高考)已知函數(shù)f(x)ax3bsin x4(a，bR)，f(lg(log210)5，則f(lg(lg 2)()A5B1C3D4【解析】因為log210與lg 2(即log102)互為倒數(shù)，所以lg(log210)與lg(lg 2)互為相反數(shù)不妨令lg(log210)x，則lg(lg 2)x，而f(x)f(x)(ax3bsin x4)a(x)3bsin(x)48，故f(x)8f(x)853，故選C.【答案】C