專題七 不等式———————命題觀察·高考定位———————(對應學生用書第28頁)1．(2016·江蘇高考)已知實數(shù)x，y滿足則x2＋y2的取值范圍是________． [根據(jù)已知的不等式組畫出可行域，如圖陰影部分所示，則(x，y)為陰影區(qū)域內(nèi)的動點．d＝可以看做坐標原點O與可行域內(nèi)的點(x，y)之間的距離．數(shù)形結合，知d的最大值是OA的長，d的最小值是點O到直線2x＋y－2＝0的距離．由可得A(2,3)，所以dmax＝＝，dmin＝＝.所以d2的最小值為，最大值為13.所以x2＋y2的取值范圍是.]2．(2015·江蘇高考)不等式2x2－x＜4的解集為______．{x|－1＜x＜2} [∵2x2－x＜4，∴2x2－x＜22，∴x2－x＜2，即x2－x－2＜0，∴－1＜x＜2.]3．(2014·江蘇高考)已知函數(shù)f (x)＝x2＋mx－1，若對于任意x∈[m，m＋1]，都有f (x)<0成立，則實數(shù)m的取值范圍是________. 【導學號：56394045】 [作出二次函數(shù)f (x)的圖象，對于任意x∈[m，m＋1]，都有f (x)<0，則有即解得－0.y＝tan θ＋＝tan θ＋＝tan θ＋≥2＝2，當且僅當tan θ＝1時取等號．因此y的最小值為2.[答案] 2[規(guī)律方法] 應用基本不等式，應注意“一正、二定、三相等”，缺一不可．靈活的通過“拆、湊、代(換)”，創(chuàng)造應用不等式的條件，是解答此類問題的技巧；忽視等號成立的條件，是常見錯誤之一．[舉一反三](蘇北四市(淮安、宿遷、連云港、徐州)2017屆高三上學期期中)已知正數(shù)a，b滿足＋＝－5，則ab的最小值為________．36 [＋＝－5?－5≥2?()2－5－6≥0?≥6?ab≥36，當且僅當b＝9a時取等號，因此ab的最小值為36.]不等式的綜合應用【例4】 (泰州中學2016－2017年度第一學期第一次質(zhì)量檢測)已知二次函數(shù)f (x)＝mx2－2x－3，關于實數(shù)x的不等式f (x)≤0的解集為.(1)當a>0時，解關于x的不等式：ax2＋n＋1>(m＋1)x＋2ax；(2)是否存在實數(shù)a∈(0,1)，使得關于x的函數(shù)y＝f (ax)－3ax＋1(x∈[1,2])的最小值為－5？若存在，求實數(shù)a的值；若不存在，說明理由．[解] (1)由不等式mx2－2x－3≤0的解集為知，關于x的方程mx2－2x－3＝0的兩根為－1和n，且m>0，由根與系數(shù)關系，得 ∴ 所以原不等式化為(x－2)(ax－2)>0，①當00，且2<，解得x>或x<2；②當a＝1時，原不等式化為(x－2)2>0，解得x∈R且x≠2；③當a>1時，原不等式化為(x－2)>0，且2>，解得x<或x>2；綜上所述：當01時，原不等式的解集為.(2)假設存在滿足條件的實數(shù)a，由(1)得：m＝1，f (x)＝x2－2x－3，y＝f (ax)－3ax＋1＝a2x－(3a＋2)ax－3.令ax＝t(a2≤t≤a)，則y＝t2－(3a＋2)t－3(a2≤t≤a)，對稱軸t＝，因為a∈(0,1)，所以a20，b>0，a＋b＝1，求2＋2的最小值．[錯解] 2＋2＝a2＋b2＋＋＋4≥2ab＋＋4≥4＋4＝8，所以，2＋2的最小值是8.[錯解分析] 上面的解答中，兩次用到了基本不等式a2＋b2≥2ab，第一次等號成立的條件是a＝b＝，第二次等號成立的條件是ab＝，顯然，這兩個條件是不能同時成立的．因此，8不是最小值．[正解] 2＋2＝a2＋b2＋＋＋4＝[(a＋b)2－2ab]＋4＝(1－2ab)＋4，由ab≤2＝， 得1－2ab≥1－＝， 且≥16, 1＋≥17，∴原式≥×17＋4＝ (當且僅當a＝b＝時，等號成立)，所以，2＋2的最小值是.———————專家預測·鞏固提升———————(對應學生用書第31頁)1．已知正實數(shù)x，y滿足x＋＋3y＋＝10，則xy的取值范圍為________． [設xy＝t，則y＝，所以10＝x＋＋3y＋＝x＋＋＋＝x＋≥2.即3t2－11t＋8≤0，解之得1≤t≤.]2．已知函數(shù)的定義域是[－2，＋∞)且f (4)＝f (－2)＝1, f ′(x)為f (x)的導函數(shù)，且f ′(x)的圖象如圖7－1所示，則不等式組 所圍成的平面區(qū)域的面積是________. 【導學號：56394048】圖7－14 [由導函數(shù)的圖象得到f (x)在[－2,0]遞減；在[0，＋∞)遞增，∵f (4)＝f (－2)＝1，∴f (2x＋y)≤1，－2≤2x＋y≤4，∴? 表示的平面區(qū)域如下：所以平面區(qū)域的面積為×2×4＝4.]3．已知函數(shù)f (x)的定義域是[－3，＋∞)且f (6)＝2，f ′(x)為f (x)的導函數(shù)，f ′(x)的圖象如圖7－2所示，若正數(shù)a，b滿足f (2a＋b)<2，則的取值范圍是________．圖7－2∪ [如圖所示：f ′(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，∴函數(shù)f (x)在[－3,0)是減函數(shù)，(0，＋∞)上是增函數(shù)，又∵f (2a＋b)＜2＝f (6)，∴ 畫出平面區(qū)域令t＝表示過定點(2，－3)的直線的斜率，如圖所示：t∈∪.]4．已知x，y滿足約束條件則x2＋4y2的最小值是________． [設x2＋4y2＝z(z>0)?＋＝1，這個橢圓與可行域有公共點，只需它與線段x＋y＝1(0≤x≤1)有公共點，把y＝1－x代入橢圓方程得5x2－8x＋4－z＝0，由判別式Δ＝64－4×5(4－z)≥0得z≥，且x＝∈[0,1]時，z＝.]11。
