（全國通用版）2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 選考部分 坐標(biāo)系與參數(shù)方程學(xué)案 文

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1、（全國通用版）2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 選考部分 坐標(biāo)系與參數(shù)方程學(xué)案 文過雙基1平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換設(shè)點P(x，y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點，在變換：的作用下，點P(x，y)對應(yīng)到點P(x，y)，稱為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡稱伸縮變換2極坐標(biāo)系的概念(1)極坐標(biāo)系如圖所示，在平面內(nèi)取一個定點O，叫做極點；自極點O引一條射線Ox，叫做極軸；再選定一個長度單位、一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就建立了一個極坐標(biāo)系(2)極坐標(biāo)極徑：設(shè)M是平面內(nèi)一點，極點O與點M的距離|OM|叫做點M的極徑，記為.極角：以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角xO

2、M叫做點M的極角，記為.極坐標(biāo)：有序數(shù)對(，)叫做點M的極坐標(biāo)，記作M(，)3極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化設(shè)M是平面內(nèi)任意一點，它的直角坐標(biāo)是(x，y)，極坐標(biāo)是(，)，則它們之間的關(guān)系為：4常見曲線的極坐標(biāo)方程圓心在極點，半徑為r的圓的極坐標(biāo)方程r(02)圓心為，半徑為r的圓的極坐標(biāo)方程2rsin (0)過極點，傾斜角為的直線的極坐標(biāo)方程(R)或(R)過點(a,0)，與極軸垂直的直線的極坐標(biāo)方程cos a過點，與極軸平行的直線的極坐標(biāo)方程sin a(01，所以點P在圓外，所以|AP|的最小值為dr211.答案：14(2017天津高考)在極坐標(biāo)系中，直線4cos10與圓2sin 的公共點的個數(shù)為_解

3、析：依題意，得410，即2cos 2sin 10，所以直線的直角坐標(biāo)方程為2x2y10.由2sin ，得22sin ，所以圓的直角坐標(biāo)方程為x2y22y，即x2(y1)21，其圓心(0,1)到直線2x2y10的距離d1，則直線與圓相交，故直線與圓的公共點的個數(shù)是2.答案：25在極坐標(biāo)系中，過點A引圓8sin 的一條切線，則切線長為_解析：點A的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)為A(0，1)，圓8sin 的直角坐標(biāo)方程為x2y28y0，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2(y4)216，點A與圓心C(0,4)的距離為|AC|5，所以切線長為3.答案：3清易錯1極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化易錯用互化公式在解決此類問題時考生要注

4、意兩個方面：一是準(zhǔn)確應(yīng)用公式，二是注意方程中的限制條件2在極坐標(biāo)系下，點的極坐標(biāo)不唯一性易忽視注意極坐標(biāo)(，)(，2k)(kZ)，(，2k)(kZ)表示同一點的坐標(biāo)1若圓C的極坐標(biāo)方程為24cos10，若以極點為原點，以極軸為x軸的正半軸建立相應(yīng)的平面直角坐標(biāo)系xOy，則在直角坐標(biāo)系中，圓心C的直角坐標(biāo)是_解析：因為24cos10，所以22cos 2sin 10，即x2y22x2y10，因此圓心坐標(biāo)為(1，)答案：(1，)2圓5cos 5sin 的圓心的極坐標(biāo)為_解析：將方程 5cos 5sin 兩邊都乘以得：25cos 5sin ，化成直角坐標(biāo)方程為x2y25x5y0.圓心的坐標(biāo)為，化成極坐

5、標(biāo)為.答案：(答案不唯一)平面直角坐標(biāo)系下圖形的伸縮變換典例(1)在同一平面直角坐標(biāo)系中，已知伸縮變換：求點A經(jīng)過變換所得的點A的坐標(biāo)(2)求直線l：y6x經(jīng)過：變換后所得到的直線l的方程解(1)設(shè)A(x，y)，由伸縮變換：得到由于點A的坐標(biāo)為，于是x31，y(2)1，A(1，1)為所求(2)設(shè)直線l上任意一點P(x，y)，由上述可知，將代入y6x得2y6，yx，即yx為所求方法技巧伸縮變換的解題方法平面上的曲線yf(x)在變換：的作用下得到的方程的求法是將代入yf(x)，得f，整理之后得到y(tǒng)h(x)，即為所求變換之后的方程即時演練1求橢圓y21，經(jīng)過伸縮變換后的曲線方程解：由得將代入y21，

6、得y21，即x2y21.因此橢圓y21經(jīng)伸縮變換后得到的曲線方程是x2y21.2若函數(shù)yf(x)的圖象在伸縮變換：的作用下得到曲線的方程為y3sin，求函數(shù)yf(x)的最小正周期解：由題意，把變換公式代入曲線y3sin得3y3sin，整理得ysin，故f(x)sin.所以yf(x)的最小正周期為.極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化典例在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系直線l的極坐標(biāo)方程為sin，直線與曲線C：sin28cos 相交于不同的兩點A，B，求|AB|的值解l：sincos sin xy10，C的直角坐標(biāo)方程是y28x.由可得x210x10，設(shè)A(x1，y1)

7、，B(x2，y2)，則x1x210，x1x21，所以AB的長為8.方法技巧1極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式的3個前提條件(1)取直角坐標(biāo)系的原點為極點(2)以x軸的非負半軸為極軸(3)兩種坐標(biāo)系規(guī)定相同的長度單位2直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)的注意點(1)根據(jù)終邊相同的角的意義，角的表示方法具有周期性，故點M的極坐標(biāo)(，)的形式不唯一，即一個點的極坐標(biāo)有無窮多個當(dāng)限定0，0,2)時，除極點外，點M的極坐標(biāo)是唯一的(2)當(dāng)把點的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)時，求極角應(yīng)注意判斷點M所在的象限(即角的終邊的位置)，以便正確地求出角0,2)的值即時演練在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系曲線C的極坐標(biāo)

8、方程為cos1(00)，直線l：cos，C與l有且只有一個公共點(1)求a的值；(2)若原點O為極點，A，B為曲線C上兩點，且AOB，求|OA|OB|的最大值解：(1)由已知在直角坐標(biāo)系中，C：x2y22ax0(xa)2y2a2(a0)；l：xy30.因為C與l只有一個公共點，所以l與C相切，即a，則a1.(2)設(shè)A(1，)，則B，|OA|OB|122cos 2cos3cos sin 2cos.所以，當(dāng)時，(|OA|OB|)max2.6在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線C1：xy40，曲線C2：x2(y1)21，以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系(1)求C1，C2的極坐標(biāo)方程；(2)若曲

9、線C3的極坐標(biāo)方程為，且曲線C3分別交C1，C2于點A，B，求的最大值解：(1)xcos ，ysin ，C1：cos sin 40，C2：2sin .(2)曲線C3為，設(shè)A(1，)，B(2，)，1，22sin ，則2sin (cos sin )2sin21，當(dāng)時，max.7平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的方程為y21，以坐標(biāo)原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為4sin，射線OM的極坐標(biāo)方程為0(0)(1)寫出曲線C1的極坐標(biāo)方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程；(2)若射線OM平分曲線C2，且與曲線C1交于點A，曲線C1上的點滿足AOB，求|AB|.解：(1)曲線C1的

10、極坐標(biāo)方程為2，曲線C2的直角坐標(biāo)方程為(x)2(y1)24.(2)曲線C2是圓心為(，1)，半徑為2的圓，射線OM的極坐標(biāo)方程為(0)，代入2，可得2.又AOB，|AB|.8已知在一個極坐標(biāo)系中點C的極坐標(biāo)為.(1)求出以C為圓心，半徑長為2的圓的極坐標(biāo)方程(寫出解題過程)并畫出圖形；(2)在直角坐標(biāo)系中，以圓C所在極坐標(biāo)系的極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系，點P是圓C上任意一點，Q(5，)，M是線段PQ的中點，當(dāng)點P在圓C上運動時，求點M的軌跡的普通方程解：(1)作出圖形如圖所示，設(shè)圓C上任意一點A(，)，則AOC或.由余弦定理得，424cos4，圓C的極坐標(biāo)方程為4cos.(

11、2)在直角坐標(biāo)系中，點C的坐標(biāo)為(1，)，可設(shè)圓C上任意一點P(12cos ，2sin )，設(shè)M(x，y)，由Q(5，)，M是線段PQ的中點，得點M的軌跡的參數(shù)方程為(為參數(shù))，即(為參數(shù))，點M的軌跡的普通方程為(x3)2y21.第2課參數(shù)方程過雙基1參數(shù)方程的概念一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線C上任意一點P的坐標(biāo)x，y是某個變數(shù)t的函數(shù)：并且對于t的每一個允許值，由函數(shù)式所確定的點P(x，y)都在曲線C上，那么方程叫做這條曲線的參數(shù)方程，變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)相對于參數(shù)方程而言，直接給出點的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程2直線、圓、橢圓的參數(shù)方程(1)過點M(x0，y0)，傾斜角為

12、的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))(2)圓心在點M0(x0，y0)，半徑為r的圓的參數(shù)方程為(為參數(shù))(3)橢圓1(ab0)的參數(shù)方程為(為參數(shù))1參數(shù)方程(t為參數(shù))與極坐標(biāo)方程sin 所表示的圖形分別是_解析：將參數(shù)方程消去參數(shù)t，得2xy50，對應(yīng)圖形為直線由sin ，得2sin ，即x2y2y，即x22，對應(yīng)圖形為圓答案：直線、圓2曲線(為參數(shù))與直線yx2的交點坐標(biāo)為_解析：曲線的直角坐標(biāo)方程為yx2.將其與直線方程聯(lián)立得x2x20，x1或x2.由xsin 知，x2不合題意x1，y1，交點坐標(biāo)為(1,1)答案：(1,1)3設(shè)曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線l的方程為x3y20，則曲線

13、C上到直線l距離為的點的個數(shù)為_解析：曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，(x2)2(y1)29，圓心(2，1)到直線l的距離d.又3，有2個點答案：24參數(shù)方程(t為參數(shù))化為普通方程為_解析：x，y4343x.又x20,2)，x0,2)，所求的普通方程為3xy40(x0,2)答案：3xy40(x0,2)清易錯1在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x，y的取值范圍保持一致，否則不等價2直線的參數(shù)方程中，參數(shù)t的系數(shù)的平方和為1時，t才有幾何意義且其幾何意義為：|t|是直線上任一點M(x，y)到M0(x0，y0)的距離，即|M0M|t|.1直線yx1上的點到曲線上的點的最近距離是_解析：由得(x2)

14、2(y1)21，圓心坐標(biāo)為(2,1)，故圓心到直線xy10的距離d2，直線上的點到圓上的點的最近距離是dr21.答案：212直線(t為參數(shù))與圓(為參數(shù))相切，則切線的傾斜角為_解析：直線的普通方程為bxay4b0，圓的普通方程為(x2)2y23，因為直線與圓相切，則圓心(2,0)到直線的距離為，從而有 ，即3a23b24b2，所以ba，而直線的傾斜角的正切值tan ，所以tan ，因此切線的傾斜角或.答案：或參數(shù)方程與普通方程的互化典例已知橢圓C：1，直線l：(t為參數(shù))(1)寫出橢圓C的參數(shù)方程及直線l的普通方程；(2)設(shè)A(1,0)，若橢圓C上的點P滿足到點A的距離與其到直線l的距離相等

15、，求點P的坐標(biāo)解(1)橢圓C：(為參數(shù))，直線l：xy90.(2)設(shè)P(2cos ，sin )，則|AP| 2cos ，點P到直線l的距離d.由|AP|d，得3sin 4cos 5，又sin2cos21，得sin ，cos .故P.方法技巧將參數(shù)方程化為普通方程的方法(1)將參數(shù)方程化為普通方程，需要根據(jù)參數(shù)方程的結(jié)構(gòu)特征，選取適當(dāng)?shù)南麉⒎椒ǔＲ姷南麉⒎椒ㄓ校捍胂麉⒎ā⒓訙p消參法、平方消參法等，對于含三角函數(shù)的參數(shù)方程，常利用同角三角函數(shù)關(guān)系式消參，如sin2cos21等(2)將參數(shù)方程化為普通方程時，要注意兩種方程的等價性，不要增解即時演練將下列參數(shù)方程化為普通方程(1)(k為參數(shù))；(2

16、)(為參數(shù))解：(1)兩式相除，得k，將其代入x，得x，化簡得所求的普通方程是4x2y26y0(y6)(2)由(sin cos )21sin 22(1sin 2)，得y22x.又x1sin 20,2，故所求的普通方程為y22x，x0,2參數(shù)方程典例在平面直角坐標(biāo)系中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系取相同的單位長度已知曲線C：sin22acos (a0)，過點P(2，4)的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l與曲線C分別交于M，N，若|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，求實數(shù)a的值解曲線C的直角坐標(biāo)方程為y22ax(a0)，將直線l的參數(shù)方程化為(t為參數(shù))，代入

17、曲線C的方程得：t2(4a)t164a0，則0，即a0或a4.設(shè)交點M，N對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則t1t22(4a)，t1t22(164a)，若|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，則|t1t2|2|t1t2|，解得a1或a4(舍去)，所以滿足條件的a1.方法技巧(1)解決直線與圓的參數(shù)方程的應(yīng)用問題時，一般是先化為普通方程，再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系來解決問題(2)對于形如(t為參數(shù))當(dāng)a2b21時，應(yīng)先化為標(biāo)準(zhǔn)形式后才能利用t的幾何意義解題即時演練已知直線l：xy10與拋物線yx2相交于A，B兩點，求線段AB的長度和點M(1,2)到A，B兩點的距離之積解：因為直線l過定點M，且l的傾

18、斜角為，所以它的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，即(t為參數(shù))，把它代入拋物線的方程，得t2t20，由根與系數(shù)的關(guān)系得t1t2，t1t22，由參數(shù)t的幾何意義可知|AB|t1t2|，|MA|MB|t1t2|2.極坐標(biāo)、參數(shù)方程的綜合應(yīng)用典例(2017全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l2的參數(shù)方程為(m為參數(shù))設(shè)l1與l2的交點為P，當(dāng)k變化時，P的軌跡為曲線C.(1)寫出C的普通方程；(2)以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)l3：(cos sin )0，M為l3與C的交點，求M的極徑解(1)消去參數(shù)t得l1的普通方程l1：yk(x2)；消去參數(shù)m得l

19、2的普通方程l2：y(x2)設(shè)P(x，y)，由題設(shè)得消去k得x2y24(y0)所以C的普通方程為x2y24(y0)(2)C的極坐標(biāo)方程為2(cos2sin2)4(02，)聯(lián)立得cos sin 2(cos sin )故tan ，從而cos2，sin2.代入2(cos2sin2)4得25，所以交點M的極徑為.方法技巧處理極坐標(biāo)、參數(shù)方程綜合問題的方法(1)涉及參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程的綜合題，求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標(biāo)方程后求解當(dāng)然，還要結(jié)合題目本身特點，確定選擇何種方程(2)數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，即充分利用參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，或者利用和的幾何意義，直接求解，能達到化繁為簡的解題目的即

20、時演練在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為：，直線的參數(shù)方程是(為參數(shù)，0)(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)直線與曲線C交于兩點A，B，且線段AB的中點為M(2，2)，求.解：(1)曲線C：，即sin24cos ，于是有2sin24cos ，化為直角坐標(biāo)方程為y24x. (2)法一： 把x2tcos ，y2tsin 代入y24x，得(2tsin )24(2tcos )，即t2sin2(4sin 4cos )t40.由AB的中點為M(2,2)得t1t20，有4sin 4cos 0，所以ktan 1.由0，得.法二：設(shè)A(x1，

21、y1)，B(x2，y2)，則(y1y2)(y1y2)4(x1x2)y1y24，k1tan 1，由00，t20，所以|PA|t1，|PB|t2，所以|PA|PB|t1t2|.5已知直線l：(t為參數(shù))，曲線C1：(為參數(shù))(1)設(shè)l與C1相交于A，B兩點，求|AB|；(2)若把曲線C1上各點的橫坐標(biāo)壓縮為原來的倍，縱坐標(biāo)壓縮為原來的倍，得到曲線C2，設(shè)點P是曲線C2上的一個動點，求它到直線l距離的最小值解：(1)由已知得l的普通方程為y(x1)，C1的普通方程為x2y21，聯(lián)立方程解得l與C1的交點為A(1,0)，B，則|AB|1.(2)由題意，得C2的參數(shù)方程為(為參數(shù))，故點P的坐標(biāo)為，從而

22、點P到直線l的距離是dsin2，當(dāng)sin1時，d取得最小值，且最小值為.6在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))在以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為.(1)直接寫出直線l的普通方程、曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)曲線C上的點到直線l的距離為d，求d的取值范圍解：(1)直線l的普通方程為xy30，曲線C的直角坐標(biāo)方程為3x2y23.(2)曲線C的直角坐標(biāo)方程為3x2y23，即x21，曲線C上的點的坐標(biāo)可表示為(cos ，sin )，d.d的最小值為，d的最大值為.d，即d的取值范圍為.7平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C：(x1)2y21.直線l經(jīng)過點

23、P(m,0)，且傾斜角為，以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系(1)寫出曲線C的極坐標(biāo)方程與直線l的參數(shù)方程；(2)若直線l與曲線C相交于A，B兩點，且|PA|PB|1，求實數(shù)m的值解：(1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為：(x1)2y21，即x2y22x，即22cos ，所以曲線C的極坐標(biāo)方程為2cos .直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))(2)設(shè)A，B兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，將直線l的參數(shù)方程代入x2y22x中，得t2(m)tm22m0，所以t1t2m22m，由題意得|m22m|1，解得m1或m1或m1.8已知直線的參數(shù)方程是(t是參數(shù))，圓C的極坐標(biāo)方程為4cos.(1)求圓心C的直角坐標(biāo)；(2)由直線l上的點向圓C引切線，求切線長的最小值解：(1)4cos2cos 2sin ，22cos 2sin ，圓C的直角坐標(biāo)方程為x2y22x2y0，即(x)2(y)24，圓心的直角坐標(biāo)為(，)(2)直線l上的點向圓C引切線，則切線長為4，直線l上的點向圓C引的切線長的最小值為4.