陜西省周至縣高中數(shù)學(xué) 第一章 推理與證明 1.4 數(shù)學(xué)歸納法（1）教案 北師大版選修2-2

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1、陜西省周至縣高中數(shù)學(xué) 第一章 推理與證明 1.4 數(shù)學(xué)歸納法（1）教案 北師大版選修2-2【教學(xué)目標(biāo)】知識(shí)與技能： （1）初步理解數(shù)學(xué)歸納法的原理； （2）掌握用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題的兩個(gè)步驟； （3）會(huì)用數(shù)學(xué)證明一些與正整數(shù)相關(guān)的簡(jiǎn)單恒等式。過程與方法 親歷知識(shí)的構(gòu)建過程-發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題；體會(huì)類比的數(shù)學(xué)思想；感受無限的問題用有限的步驟來解決的思想方法。情感目標(biāo) 體會(huì)數(shù)學(xué)源于實(shí)際，高于實(shí)際的科學(xué)價(jià)值與文化價(jià)值；培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想，小心求證的思維素質(zhì)和科學(xué)精神；通過發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題、合作交流等環(huán)節(jié)培養(yǎng)數(shù)學(xué)交流能力和合作精神?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】 借助具體實(shí)例了解數(shù)學(xué)歸

2、納法的基本思想，掌握它的基本步驟，運(yùn)用它證明一些與正整數(shù)有關(guān)的簡(jiǎn)單恒等式，特別要注意遞推步驟中歸納假設(shè)的運(yùn)用?！窘虒W(xué)難點(diǎn)】 （1）理解數(shù)學(xué)歸納法整體的嚴(yán)密性和有效性。 （2）遞推步驟中如何利用歸納假設(shè)，即如何利用假設(shè)證明當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論正確。【教學(xué)過程設(shè)計(jì)】教學(xué)環(huán) 節(jié) 教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)意圖提出問題，激發(fā)興趣 情境1如何證明盒中的球都是黃色的？（逐一驗(yàn)證）情境2 數(shù)列an,已知，猜想其通項(xiàng)公式.情境2中的猜想無法逐一驗(yàn)證，則提出問題：如何證明這類有關(guān)正整數(shù)的命題呢？從提出問題，到分析問題、解決問題，感受數(shù)學(xué)自然發(fā)生、發(fā)展的過程。從實(shí)例中感受數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生的必要性，我們需要將無限步驟的問題轉(zhuǎn)化為有限

3、步驟來解決。創(chuàng)設(shè)情境，啟動(dòng)思維1. 多媒體演示一排自行車的圖片和多米諾骨牌游戲的視頻。 引導(dǎo)學(xué)生探討多米諾骨牌全部依次倒下的條件：（1）第一塊要倒下;（2）當(dāng)前面一塊倒下時(shí)，后面一塊必須被第一塊砸倒; 強(qiáng)調(diào)條件（2）的作用：是一種遞推關(guān)系（第k塊倒下，使第k+1塊倒下）。播放視頻活躍課堂氛圍，激發(fā)學(xué)生的興趣。通過對(duì)生活實(shí)例的分析，使抽象的原理寓于簡(jiǎn)單的事例當(dāng)中，通俗易懂，為深刻理解數(shù)學(xué)歸納法原理打好基礎(chǔ)。 通過探討骨牌全部倒下的條件，為類比得出數(shù)學(xué)歸納法做鋪墊 。培養(yǎng)學(xué)生合作交流和歸納抽象的能力。類比聯(lián)想，形成概念(引導(dǎo)學(xué)生分組討論后，由小組代表歸納)證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題關(guān)鍵步驟如下(1

4、) 證明當(dāng)n取第一個(gè)值時(shí)結(jié)論正確；（歸納奠基）(2) 假設(shè)當(dāng)nk (k，k) 時(shí)結(jié)論正確, 證明當(dāng)nk1時(shí)結(jié)論也正確（歸納遞推）完成這兩個(gè)步驟后, 就可以斷定命題對(duì)從開始的所有正整數(shù)n都正確這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法辯證說理，理解升華思考：為什么這兩個(gè)步驟可以證明原命題對(duì)所有正整數(shù)n成立？ 讓學(xué)生對(duì)以上邏輯推理進(jìn)行充分置疑師生共同探討數(shù)學(xué)歸納法的合理性。 師生共同探討數(shù)學(xué)歸納法的原理，理解他的嚴(yán)密性、合理性。從而由感性認(rèn)識(shí)上升為理性認(rèn)識(shí)。實(shí)例分析，具體應(yīng)用試用數(shù)學(xué)歸納法證明問題2的猜想。體現(xiàn)“歸納-猜想-證明”的整個(gè)過程，教師可通過投影，糾正學(xué)生在證明過程中暴露出來的問題，最后板演證明過程，幫

5、助學(xué)生規(guī)范步驟?！净垩圩R(shí)對(duì)錯(cuò)】1.下面的證明過程有沒錯(cuò)？(缺少歸納奠基)(3)分析下列證明的過程是否正確？用數(shù)學(xué)歸納法證明：其中第二步的過程如下：設(shè)n=k時(shí)等式成立，即則當(dāng)n=k+1時(shí)，有即n=k+1時(shí)等式也成立。（沒用歸納假設(shè)）如果缺少歸納奠基或歸納遞推，那么即使是錯(cuò)誤的結(jié)論也能驗(yàn)證。讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟缺一不可。學(xué)生易錯(cuò)點(diǎn)和理解上的難點(diǎn)，通過此題與多米諾骨牌的實(shí)例進(jìn)行類比，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到：步驟（2）中必須用到歸納假設(shè)。反饋練習(xí)，深化認(rèn)識(shí)練習(xí)用數(shù)學(xué)歸納法證明證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊，右邊，等式成立。（2） 假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立， 即則當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=右邊即當(dāng)n=k+1

6、時(shí)等式也成立。由（1）、（2）可知，n時(shí)，等式成立。學(xué)生自主練習(xí)，個(gè)別同學(xué)板演 ,對(duì)出現(xiàn)的問題暢所欲言,最后由教師總結(jié)反饋，充分暴露學(xué)生的思維盲區(qū),檢驗(yàn)本節(jié)課難點(diǎn)是否突破。總結(jié)歸納，提煉思想 學(xué)完本節(jié)課，你有哪些收獲？知識(shí)上：數(shù)學(xué)歸納法：兩個(gè)步驟、一個(gè)結(jié)論；注意：遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉。方法上：類比，歸納-猜想-證明其他：數(shù)學(xué)源于生活；嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)精神鍛煉學(xué)生歸納總結(jié)的能力，鞏固學(xué)習(xí)效果，加深理解和記憶，激發(fā)成就感，體味探索的艱辛和成功的快樂。布置作業(yè)，及時(shí)檢測(cè)選做：平面內(nèi)有n條直線，其中任意兩條不平行，任意三條不共點(diǎn)，設(shè)f(n)為n條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，求證：鞏固本節(jié)課的學(xué)習(xí)效果，讓不同層次的學(xué)生都學(xué)有所獲，為下節(jié)課的內(nèi)容作鋪墊。附：板書設(shè)計(jì)4數(shù)學(xué)歸納法引例1數(shù)學(xué)歸納法 練習(xí)：（學(xué)生展示） 小結(jié)