（全國通用版）2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題二 數(shù)列 第3講 數(shù)列的綜合問題學(xué)案 理

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1、（全國通用版）2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題二 數(shù)列 第3講 數(shù)列的綜合問題學(xué)案 理考情考向分析1.數(shù)列的綜合問題，往往將數(shù)列與函數(shù)、不等式結(jié)合，探求數(shù)列中的最值或證明不等式.2.以等差數(shù)列、等比數(shù)列為背景，利用函數(shù)觀點探求參數(shù)的值或范圍.3.將數(shù)列與實際應(yīng)用問題相結(jié)合，考查數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力熱點一利用Sn，an的關(guān)系式求an1數(shù)列an中，an與Sn的關(guān)系an2求數(shù)列通項的常用方法(1)公式法：利用等差(比)數(shù)列求通項公式(2)在已知數(shù)列an中，滿足an1anf(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，則可用累加法求數(shù)列的通項an.(3)在已知數(shù)列an中，滿足f(n)，且f(1)f(2)f(

2、n)可求，則可用累乘法求數(shù)列的通項an.(4)將遞推關(guān)系進行變換，轉(zhuǎn)化為常見數(shù)列(等差、等比數(shù)列)例1已知等差數(shù)列an中，a22，a3a58，數(shù)列bn中，b12，其前n項和Sn滿足：bn1Sn2(nN*)(1)求數(shù)列an，bn的通項公式；(2)設(shè)cn，求數(shù)列cn的前n項和Tn.解(1)a22，a3a58，2d23d8，d1，ann(nN*)bn1Sn2(nN*)，bnSn12(nN*，n2)由，得bn1bnSnSn1bn(nN*，n2)，bn12bn(nN*，n2)b12，b22b1，bn是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，bn2n(nN*)(2)由cn，得Tn，Tn，兩式相減，得Tn1，Tn2(

3、nN*)思維升華給出Sn與an的遞推關(guān)系，求an，常用思路：一是利用SnSn1an(n2)轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系，再求其通項公式；二是轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關(guān)系，先求出Sn與n之間的關(guān)系，再求an.跟蹤演練1(2018綿陽診斷性考試)已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足：a1anS1Sn.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若an0，數(shù)列的前n項和為Tn，試問當(dāng)n為何值時，Tn最??？并求出最小值解(1)由已知a1anS1Sn，可得當(dāng)n1時，aa1a1，解得a10或a12，當(dāng)n2時，由已知可得a1an1S1Sn1，得a1an.若a10，則an0，此時數(shù)列an的通項公式為an0.若a12，則2an，化簡得an2a

4、n1，即此時數(shù)列an是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，故an2n(nN*)綜上所述，數(shù)列an的通項公式為an0或an2n.(2)因為an0，故an2n.設(shè)bnlog2，則bnn5，顯然bn是等差數(shù)列，由n50，解得n5，所以當(dāng)n4或n5時，Tn最小，最小值為T4T510.熱點二數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題數(shù)列與函數(shù)的綜合問題一般是利用函數(shù)作為背景，給出數(shù)列所滿足的條件，通常利用點在曲線上給出Sn的表達(dá)式，還有以曲線上的切點為背景的問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于利用數(shù)列與函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，將條件進行準(zhǔn)確的轉(zhuǎn)化數(shù)列與不等式的綜合問題一般以數(shù)列為載體，考查最值問題，不等關(guān)系或恒成立問題例2(2018遵義

5、聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)ln(1x).(1)若x0時，f(x)0，求的最小值；(2)設(shè)數(shù)列an的通項an1，證明：a2nanln 2.(1)解由已知可得f(0)0，f(x)ln(1x)，f(x)，且f(0)0.若0，則當(dāng)x0時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增，f(x)f(0)0，不合題意；若0，則當(dāng)0x0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)0xf(0)0，不合題意；若，則當(dāng)x0時，f(x)0時，f(x)ln(1x)，令x，則ln，ln，ln，ln，ln.以上各式兩邊分別相加可得lnlnlnln，即lnlnln 2，a2nanln 2.思維升華解決數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題要注意以下幾點(1)數(shù)列是一類特殊的函

6、數(shù)，函數(shù)定義域是正整數(shù)，在求數(shù)列最值或不等關(guān)系時要特別重視(2)解題時準(zhǔn)確構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)時注意限制條件(3)不等關(guān)系證明中進行適當(dāng)?shù)姆趴s跟蹤演練2(2018南昌模擬)已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn(nN*)，滿足S42a41，S32a31.(1)求an的通項公式；(2)記bnlog2(nN*)，數(shù)列bn的前n項和為Tn，求證：2.(1)解設(shè)an的公比為q，由S4S3a4，S42a41得，2a42a3a4，所以2，所以q2.又因為S32a31，所以a12a14a18a11，所以a11，所以an2n1(nN*)(2)證明由(1)知bnlog2(an1an)log2(2n2n1)2n1，所

7、以Tnnn2，所以11120)(1)求A市2019年的碳排放總量(用含m的式子表示)；(2)若A市永遠(yuǎn)不需要采取緊急限排措施，求m的取值范圍解設(shè)2018年的碳排放總量為a1,2019年的碳排放總量為a2，(1)由已知，a14000.9m，a20.9m4000.920.9mm3241.9m.(2)a30.9m4000.930.92m0.9mm，an4000.9n0.9n1m0.9n2m0.9mm4000.9nm4000.9n10m0.9n10m.由已知nN*，an550，(1)當(dāng)40010m0，即m40時，顯然滿足題意；(2)當(dāng)40010m0，即m40時，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得0.910m550，

8、解得m190.綜合得m40；(3)當(dāng)40010m40時，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得10m550，解得m55，綜合得40m55.綜上可得所求m的范圍是.思維升華常見數(shù)列應(yīng)用題模型的求解方法(1)產(chǎn)值模型：原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長率為p，對于時間n的總產(chǎn)值yN(1p)n.(2)銀行儲蓄復(fù)利公式：按復(fù)利計算利息的一種儲蓄，本金為a元，每期的利率為r，存期為n，則本利和ya(1r)n.(3)銀行儲蓄單利公式：利息按單利計算，本金為a元，每期的利率為r，存期為n，則本利和ya(1nr)(4)分期付款模型：a為貸款總額，r為年利率，b為等額還款數(shù)，則b.跟蹤演練3(2018上海崇明區(qū)模擬)2016 年崇明

9、區(qū)政府投資 8 千萬元啟動休閑體育新鄉(xiāng)村旅游項目規(guī)劃從 2017 年起，在今后的若干年內(nèi)，每年繼續(xù)投資 2 千萬元用于此項目.2016 年該項目的凈收入為 5 百萬元，并預(yù)測在相當(dāng)長的年份里，每年的凈收入均在上一年的基礎(chǔ)上增長50%.記 2016 年為第 1 年，f(n)為第 1 年至此后第 n(nN*)年的累計利潤(注：含第 n 年，累計利潤累計凈收入累計投入，單位：千萬元)，且當(dāng) f(n)為正值時，認(rèn)為該項目贏利(1)試求 f(n)的表達(dá)式；(2)根據(jù)預(yù)測，該項目將從哪一年開始并持續(xù)贏利？請說明理由解(1)由題意知，第1年至此后第n(nN*)年的累計投入為82(n1)2n6(千萬元)，第1

10、年至此后第n(nN*)年的累計凈收入為12n1n1(千萬元)f(n)n1(2n6)n2n7(千萬元)(2)方法一f(n1)f(n)，當(dāng)n3時，f(n1)f(n)0，故當(dāng)n4時，f(n)遞增又f(1)0，f(7)721172140.該項目將從第8年開始并持續(xù)贏利答：該項目將從2023年開始并持續(xù)贏利方法二設(shè)f(x)x2x7(x1)，則f(x)xln2，令f(x)0，得x5，x4.從而當(dāng)x1,4)時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增又f(1)0，f(7)721172140.該項目將從第8年開始并持續(xù)贏利答：該項目將從2023年開始并持續(xù)贏利真題體驗1(2018全國)記Sn為數(shù)列an的前n項和若Sn2a

11、n1，則S6_.答案63解析Sn2an1，當(dāng)n2時，Sn12an11，anSnSn12an2an1(n2)，即an2an1(n2)當(dāng)n1時，a1S12a11，得a11.數(shù)列an是首項a11，公比q2的等比數(shù)列，Sn12n，S612663.2(2017山東)已知xn是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且x1x23，x3x22.(1)求數(shù)列xn的通項公式；(2)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，依次連接點P1(x1,1)，P2(x2,2)，Pn1(xn1，n1)得到折線P1P2Pn1，求由該折線與直線y0，xx1，xxn1所圍成的區(qū)域的面積Tn.解(1)設(shè)數(shù)列xn的公比為q.由題意得所以3q25q20，由已知

12、得q0，所以q2，x11.因此數(shù)列xn的通項公式為xn2n1(nN*)(2)過P1，P2，Pn1向x軸作垂線，垂足分別為Q1，Q2，Qn1.由(1)得xn1xn2n2n12n1，記梯形PnPn1Qn1Qn的面積為bn，由題意得bn2n1(2n1)2n2，所以Tnb1b2bn321520721(2n1)2n3(2n1)2n2.又2Tn320521722(2n1)2n2(2n1)2n1，得Tn321(2222n1)(2n1)2n1(2n1)2n1.所以Tn(nN*)押題預(yù)測已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足關(guān)系式Snkan1，k為不等于0的常數(shù)(1)試判斷數(shù)列an是否為等比數(shù)列；(2)若a2，a31.

13、求數(shù)列an的通項公式及前n項和Sn的表達(dá)式；設(shè)bnlog2Sn，數(shù)列cn滿足cnbn2，數(shù)列cn的前n項和為Tn，當(dāng)n1時，求使TnSn3成立的最小正整數(shù)n的值押題依據(jù)本題綜合考查數(shù)列知識，第(1)問考查反證法的數(shù)學(xué)方法及邏輯推理能力，第(2)問是高考的熱點問題，即數(shù)列與不等式的完美結(jié)合，其中將求數(shù)列前n項和的常用方法“裂項相消法”與“錯位相減法”結(jié)合在一起，考查了綜合分析問題、解決問題的能力解(1)若數(shù)列an是等比數(shù)列，則由n1得a1S1ka2，從而a2ka3.又取n2，得a1a2S2ka3，于是a10，顯然矛盾，故數(shù)列an不是等比數(shù)列(2)由條件得解得從而Snan1.當(dāng)n2時，由Sn1an

14、，得anSnSn1an1an，即an12an，此時數(shù)列是首項為a2，公比為2的等比數(shù)列綜上所述，數(shù)列an的通項公式為an從而其前n項和Sn2n2(nN*)由得bnn2，從而cnn2n2.記C1，記C2121220n2n2，則2C2120221n2n1，兩式相減得C2(n1)2n1，從而Tn(n1)2n1(n1)2n1，則不等式TnSn3可化為2n10，因為nN*且n1，故n9，從而最小正整數(shù)n的值是10.A組專題通關(guān)1(2018安徽省“皖南八校”聯(lián)考)刪去正整數(shù)數(shù)列1,2,3， 中的所有完全平方數(shù)，得到一個新數(shù)列，這個數(shù)列的第2 018項是()A2 062 B2 063C2 064 D2 06

15、5答案B解析由題意可得，這些數(shù)可以寫為12,2,3,22,5,6,7,8,32，第k個平方數(shù)與第k1個平方數(shù)之間有2k個正整數(shù)，而數(shù)列12,2,3,22,5,6,7,8,32，452共有2 025項，去掉45個平方數(shù)后，還剩余2 025451 980(個)數(shù)，所以去掉平方數(shù)后第2 018項應(yīng)在2 025后的第38個數(shù)，即是原來數(shù)列的第2 063項，即為2 063.2(2018百校聯(lián)盟聯(lián)考)已知數(shù)列an滿足0an10的n的最小值為()A60 B61 C121 D122答案B解析由a8a40，得a8，所以a88(n1)8n，所以2a48n4，所以an2，即a2an20，所以an，因為0an10得1

16、1，所以n60.3(2018商丘模擬)已知數(shù)列an滿足a11，an1an2(nN*)，Sn為數(shù)列an的前n項和，則()Aan2n1 BSnn2Can2n1 DSn2n1答案B解析由題意得a2a12，a3a22，a4a32，anan12，a2a1a3a2a4a3anan12(n1)，ana12(n1)，an2n1.a11，a23，a35，an2n1，a1a2a3an1352n1，Sn(12n1)n2.4(2018河南省豫南豫北聯(lián)考)數(shù)列an滿足a1，an(nN*)，若對nN*，都有k成立，則最小的整數(shù)k是()A3 B4 C5 D6答案C解析由an，得anan11，即，且an1.，5成立，k5.故

17、最小的整數(shù)k是5.5(2018馬鞍山聯(lián)考)已知f(n)表示正整數(shù)n的所有因數(shù)中最大的奇數(shù)，例如：12的因數(shù)有1,2,3,4,6,12，則f(12)3；21的因數(shù)有1,3,7,21，則f(21)21，那么(i)的值為()A2 488 B2 495 C2 498 D2 500答案D解析由f(n)的定義知f(n)f(2n)，且若n 為奇數(shù)則f(n)n，則(i)f(1)f(2)f(100)13599f(2)f(4)f(100)f(1)f(2)f(50)2 500(i)，(i)(i)(i)2 500.6對于數(shù)列an，定義Hn為an的“優(yōu)值”，現(xiàn)在已知某數(shù)列an的“優(yōu)值”Hn2n1，記數(shù)列ankn的前n項

18、和為Sn，若SnS5對任意的n恒成立，則實數(shù)k的取值范圍為_答案解析由題意可知2n1，a12a22n1ann2n1，a12a22n2an1(n1)2n，由，得2n1ann2n1(n1)2n(n2，nN*)，則an2n2(n2)，又當(dāng)n1時，a14，符合上式，an2n2(nN*)，ankn(2k)n2，令bn(2k)n2，SnS5，b50，b60，解得k，k的取值范圍是.7已知數(shù)列an的前n項和為Sn，Sn(an1)，則(4n21)的最小值為_答案4解析Sn(an1)，Sn1(an11)(n2)，anSnSn1(anan1)，an4an1，又a1S1(a11)，a14，an是首項為4，公比為4的

19、等比數(shù)列，an4n，(4n21)2224，當(dāng)且僅當(dāng)n2時取“”8已知數(shù)列an的首項a1a，其前n項和為Sn，且滿足SnSn14n2(n2，nN*)，若對任意nN*，anan1恒成立，則a的取值范圍是_答案(3,5)解析由條件SnSn14n2(n2，nN*)，得Sn1Sn4(n1)2，兩式相減，得an1an8n4，故an2an18n12，兩式再相減，得an2an8，由n2，得a1a2a116a2162a，從而a2n162a8(n1)8n82a；由n3，得a1a2a3a1a236a342a，從而a2n142a8(n1)8n42a，由條件得解得3a2)，求函數(shù)f(n)的最小值；(3)設(shè)bn，Sn表示

20、數(shù)列bn的前n項和，試問：是否存在關(guān)于n的整式g(n)，使得S1S2S3Sn1(Sn1)g(n)對于一切不小于2的自然數(shù)n恒成立？若存在，寫出g(n)的解析式，并加以證明；若不存在，請說明理由解(1)點P(an，an1)在直線xy10上，即an1an1，且a11，數(shù)列an是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，an1(n1)1n(nN*)(2)f(n)，f(n1)，f(n1)f(n)0，f(n1)f(n)0，f(n)是單調(diào)遞增的，故f(n)的最小值是f(3).(3)bnSn1，SnSn1(n2)，即nSn(n1)Sn1Sn11，(n1)Sn1(n2)Sn2Sn21，2S2S1S11，nSnS1S1S

21、2Sn1n1，S1S2Sn1nSnn(Sn1)n(n2)，g(n)n.10(2016四川)已知數(shù)列an的首項為1，Sn為數(shù)列an的前n項和，Sn1qSn1，其中q0，nN*.(1)若2a2，a3，a22成等差數(shù)列，求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)雙曲線x21的離心率為en，且e2，證明：e1e2en.(1)解由已知Sn1qSn1，得Sn2qSn11，兩式相減得到an2qan1，n1.又由S2qS11得到a2qa1，故an1qan對所有n1都成立所以，數(shù)列an是首項為1，公比為q的等比數(shù)列從而anqn1.由2a2，a3，a22成等差數(shù)列，可得2a33a22，即2q23q2，則(2q1)(q2)0，

22、由已知，q0，故q2.所以an2n1(nN*)(2)證明由(1)可知，anqn1.所以雙曲線x21的離心率en.由e2，解得q.因為1q2(k1)q2(k1)，所以qk1(kN*)于是e1e2en1qqn1.故e1e2en.B組能力提高11若數(shù)列an滿足1，且a15，則數(shù)列an的前100項中，能被5整除的項數(shù)為()A42 B40 C30 D20答案B解析數(shù)列an滿足1，即1，且1，數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，n，an2n23n，由題意可知，項12345678910個位數(shù)5474509290每10項中有4項能被5整除，數(shù)列an的前100項中，能被5整除的項數(shù)為40.12(2018江西省

23、重點中學(xué)協(xié)作體聯(lián)考)設(shè)x1是函數(shù)f(x)an1x3anx2an2x1(nN*)的極值點，數(shù)列an滿足 a11，a22，bnlog2an1，若x表示不超過x的最大整數(shù)，則等于()A2 017 B2 018C2 019 D2 020答案A解析由題意可得f(x)3an1x22anxan2，x1是函數(shù)f(x)的極值點，f(1)3an12anan20，即an23an12an0.an2an12，a2a11，a3a2212，a4a32222，anan12n2，以上各式累加可得an2n1.bnlog2an1log22nn.2 0182 0182 0182 017.2 017.13已知數(shù)列an的前n項和為Sn，

24、且滿足Snn2(an2)(nN*)(1)證明：數(shù)列an1為等比數(shù)列；(2)若bnanlog2(an1)，數(shù)列bn的前n項和為Tn，求Tn.(1)證明Snn2(an2)，當(dāng)n2時，Sn1(n1)2(an12)，兩式相減，得an12an2an1，an2an11，an12(an11)，2(n2)(常數(shù))又當(dāng)n1時，a112(a12)，得a13，a112，數(shù)列an1是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列(2)解由(1)知，an122n12n，an2n1，又bnanlog2(an1)，bnn(2n1)，Tnb1b2b3bn(12222323n2n)(123n)，設(shè)An12222323(n1)2n1n2n，則2An122223(n1)2nn2n1，兩式相減，得An222232nn2n1n2n1，An(n1)2n12.又123n，Tn(n1)2n12(nN*)14已知數(shù)列an滿足a12，an12(Snn1)(nN*)，令bnan1.(1)求證：bn是等比數(shù)列；(2)記數(shù)列nbn的前n項和為Tn，求Tn；(3)求證：，得.又，所以，故.