2022年高考數(shù)學第二輪復習 專題二 函數(shù)與導數(shù)第3講 導數(shù)及其應用 文

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1、2022年高考數(shù)學第二輪復習 專題二 函數(shù)與導數(shù)第3講 導數(shù)及其應用 文真題試做1(xx遼寧高考，文8)函數(shù)yx2ln x的單調遞減區(qū)間為()A(1,1 B(0,1C1，) D(0，)2(xx浙江高考，文21)已知aR，函數(shù)f(x)4x32axa.(1)求f(x)的單調區(qū)間；(2)證明：當0x1時，f(x)|2a|0.3(xx天津高考，文20)已知函數(shù)f(x)x3x2axa，xR，其中a0.(1)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,0)內恰有兩個零點，求a的取值范圍；(3)當a1時，設函數(shù)f(x)在區(qū)間t，t3上的最大值為M(t)，最小值為m(t)，記g(t)M(t)m(

2、t)，求函數(shù)g(t)在區(qū)間3，1上的最小值考向分析從近三年高考來看，該部分高考命題有以下特點：從內容上看，考查導數(shù)主要有三個層次：(1)導數(shù)的概念、求導公式與法則、導數(shù)的幾何意義；(2)導數(shù)的簡單應用，包括求函數(shù)極值、求函數(shù)的單調區(qū)間、證明函數(shù)的單調性等；(3)導數(shù)的綜合考查，包括導數(shù)的應用題以及導數(shù)與函數(shù)、不等式等的綜合題從形式上看，考查導數(shù)的試題有選擇題、填空題、解答題，有時三種題型會同時出現(xiàn)熱點例析熱點一導數(shù)的幾何意義【例1】設函數(shù)f(x)ax(a，bZ)，曲線yf(x)在點(2，f(2)處的切線方程為y3.(1)求yf(x)的解析式；(2)證明曲線yf(x)上任一點處的切線與直線x1和

3、直線yx所圍三角形的面積為定值，并求出此定值規(guī)律方法 1導數(shù)的幾何意義：函數(shù)yf(x)在x0處的導數(shù)f(x0)的幾何意義是：曲線yf(x)在點(x0，f(x0)處的切線的斜率(瞬時速度就是位移函數(shù)s(t)對時間t的導數(shù))2求曲線切線方程的步驟：(1)求出函數(shù)yf(x)在點xx0的導數(shù)f(x0)，即曲線yf(x)在點P(x0，f(x0)處切線的斜率；(2)已知或求得切點坐標P(x0，f(x0)，由點斜式得切線方程為yy0f(x0)(xx0)特別提醒：當曲線yf(x)在點P(x0，f(x0)處的切線平行于y軸(此時導數(shù)不存在)時，由切線定義可知，切線方程為xx0；當切點坐標未知時，應首先設出切點坐

4、標，再求解變式訓練1 (1)設曲線yax2在點(1，a)處的切線與直線2xy60平行，則a_；(2)設f(x)xln x1，若f(x0)2，則f(x)在點(x0，y0)處的切線方程為_熱點二利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性【例2】已知函數(shù)f(x)x2aln x.(1)當a2時，求函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間；(2)若函數(shù)g(x)f(x)在1，)上單調，求實數(shù)a的取值范圍規(guī)律方法 利用導數(shù)研究函數(shù)單調性的一般步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求導函數(shù)f(x)；(3)若求單調區(qū)間(或證明單調性)，只需在函數(shù)f(x)的定義域內解(或證明)不等式f(x)0或f(x)0.若已知函數(shù)的單調性求參數(shù)，只需轉化為不等

5、式f(x)0或f(x)0在單調區(qū)間內恒成立問題求解解題過程中要注意分類討論；函數(shù)單調性問題以及一些相關的逆向問題，都離不開分類討論思想變式訓練2 已知函數(shù)f(x)xa(2ln x)，a0.討論f(x)的單調性熱點三利用導數(shù)研究函數(shù)極值和最值問題【例3】已知函數(shù)f(x)x3ax23x，(1)若f(x)在區(qū)間1，)上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若x是f(x)的極值點，求f(x)在1，a上的最大值；(3)在(2)的條件下，是否存在實數(shù)b，使得函數(shù)g(x)bx的圖象與函數(shù)f(x)的圖象恰有3個交點？若存在，請求出實數(shù)b的取值范圍；若不存在，試說明理由規(guī)律方法 利用導數(shù)研究函數(shù)極值的一般步驟是：

6、(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求函數(shù)f(x)的導數(shù)f(x)；(3)若求極值，則先求出方程f(x)0的根，再檢驗f(x)在方程根左右邊f(xié)(x)的符號，求出極值當根中有參數(shù)時要注意分類討論根是否在定義域內若已知極值大小或存在情況，則轉化為已知方程f(x)0根的大小或存在情況，從而求解變式訓練3 設aR，函數(shù)f(x)ax33x2.(1)若x2是函數(shù)yf(x)的極值點，求a的值；(2)若函數(shù)g(x)f(x)f(x)，x0,2在x0處取得最大值，求a的取值范圍思想滲透轉化與化歸思想的含義轉化與化歸思想方法，就是在研究和解決有關數(shù)學問題時，采用某種手段將問題通過變換使之轉化，進而使問題得到解決的一種數(shù)學方

7、法一般是將復雜的問題通過變換轉化為簡單的問題，將難解的問題通過變換轉化為容易求解的問題，將未解決的問題通過變換轉化為已解決的問題轉化與化歸常用的方法是等價轉化法：把原問題轉化為一個易于解決的等價問題，以達到化歸的目的已知函數(shù)f(x)x(ln xm)，g(x)x3x.(1)當m2時，求f(x)的單調區(qū)間；(2)若m時，不等式g(x)f(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍解：(1)當m2時，f(x)x(ln x2)xln x2x，定義域為(0，)，且f(x)ln x1.由f(x)0，得ln x10，所以xe.由f(x)0，得ln x10，所以0xe.故f(x)的單調遞增區(qū)間是(e，)，遞減區(qū)間是(0，

8、e)(2)當m時，不等式g(x)f(x)，即x3xx恒成立由于x0，所以x21ln x，即x2ln x，所以a .令h(x) ，則h(x)，由h(x)0得x1.且當0x1時，h(x)0；當x1時，h(x)0，即h(x)在(0,1)上單調遞增，在(1，)上單調遞減，所以h(x)在x1處取得極大值h(1)，也就是函數(shù)h(x)在定義域上的最大值因此要使a恒成立，需有a，此即為a的取值范圍1已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f(x)，且滿足f(x)3xf(1)x2，則f(1)()A1 B2 C1 D22(xx浙江名校創(chuàng)新沖刺卷，文10)已知f(x)是R上的周期為2的偶函數(shù)，當0x1時，f(x)x22x3ln

9、x，設af，bf，cf，則()Aabc BcabCacb Dbca3已知函數(shù)yf(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x0時，不等式f(x)xf(x)0成立，若a30.3f(30.3)，blog3f(log3)，clog3f，則a，b，c間的大小關系是()Aabc BcbaCcab Dacb4函數(shù)f(x)的定義域為R，f(1)2，對任意xR，f(x)2，則f(x)2x4的解集為()A(1,1) B(1，)C(，1) D(，)5三次函數(shù)f(x)，當x1時有極大值4；當x3時有極小值0，且函數(shù)圖象過原點，則f(x)_.6已知函數(shù)f(x)x33x29xa(a為常數(shù))在區(qū)間2,2上有最大值20，那么此函數(shù)在

10、區(qū)間2,2上的最小值為_7已知函數(shù)f(x)axln x(aR)(1)若a1，求曲線yf(x)在x處切線的斜率；(2)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間；(3)設g(x)2x，若對任意x1(0，)，存在x20,1，使f(x1)g(x2)，求實數(shù)a的取值范圍8(xx浙江寧波十校聯(lián)考，文21)設函數(shù)f(x)a2ln x4x，g(x)bx2，(a0，b0，a，bR)(1)當b時，函數(shù)h(x)f(x)g(x)在x1處有極小值，求函數(shù)h(x)的單調遞增區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)和g(x)有相同的極大值，且函數(shù)p(x)f(x)在區(qū)間1，e2上的最大值為8e，求實數(shù)b的值(其中e是自然對數(shù)的底數(shù))參考答案命題調研明晰考

11、向真題試做1B解析：對函數(shù)yx2ln x求導，得yx(x0)，令解得x(0,1因此函數(shù)yx2ln x的單調遞減區(qū)間為(0,1故選B.2(1)解：由題意得f(x)12x22a.當a0時，f(x)0恒成立，此時f(x)的單調遞增區(qū)間為(，)當a0時，f(x)12，此時函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為和.單調遞減區(qū)間為.(2)證明：由于0x1，故當a2時，f(x)|a2|4x32ax24x34x2.當a2時，f(x)|a2|4x32a(1x)24x34(1x)24x34x2.設g(x)2x32x1,0x1，則g(x)6x226，于是x01g(x)0g(x)1減極小值增1所以，g(x)ming10.所以當

12、0x1時，2x32x10.故f(x)|a2|4x34x20.3解：(1)f(x)x2(1a)xa(x1)(xa)由f(x)0，得x11，x2a0.當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，1)1(1，a)a(a，)f(x)00f(x)極大值極小值故函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間是(，1)，(a，)；單調遞減區(qū)間是(1，a)(2)由(1)知f(x)在區(qū)間(2，1)內單調遞增，在區(qū)間(1,0)內單調遞減，從而函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,0)內恰有兩個零點當且僅當解得0a.所以，a的取值范圍是.(3)a1時，f(x)x3x1.由(1)知f(x)在3，1上單調遞增，在1,1上單調遞減，在1,2上單

13、調遞增當t3，2時，t30,1，1t，t3，f(x)在t，1上單調遞增，在1，t3上單調遞減因此，f(x)在t，t3上的最大值M(t)f(1)，而最小值m(t)為f(t)與f(t3)中的較小者由f(t3)f(t)3(t1)(t2)知，當t3，2時，f(t)f(t3)，故m(t)f(t)，所以g(t)f(1)f(t)而f(t)在3，2上單調遞增，因此f(t)f(2)，所以g(t)在3，2上的最小值為g(2).當t2，1時，t31,2，且1,1t，t3下面比較f(1)，f(1)，f(t)，f(t3)的大小由f(x)在2，1，1,2上單調遞增，有f(2)f(t)f(1)，f(1)f(t3)f(2)又

14、f(1)f(2)，f(1)f(2)，從而M(t)f(1)，m(t)f(1).所以g(t)M(t)m(t).綜上，函數(shù)g(t)在區(qū)間3，1上的最小值為.精要例析聚焦熱點熱點例析【例1】(1)解：f(x)a，于是解得或由a，bZ，故f(x)x.(2)證明：在曲線上任取一點.由f(x0)1知，過此點的切線方程為y(xx0)令x1得y，切線與直線x1的交點為.令yx，得y2x01，切線與直線yx的交點為(2x01,2x01)直線x1與直線yx的交點為(1,1)從而所圍三角形的面積為2x0112x022.所圍三角形的面積為定值2.【變式訓練1】(1)1解析：yax2，y2ax，y|x12a.又yax2在

15、點(1，a)處的切線與直線2xy60平行，2a2，a1.(2)2xye10解析：因為f(x)xln x1，所以f(x)ln xxln x1.因為f(x0)2，所以ln x012，解得x0e，y0e1.由點斜式得，f(x)在點(e，e1)處的切線方程為y(e1)2(xe)，即2xye10.【例2】解：(1)由題意知，函數(shù)的定義域為(0，)，當a2時，f(x)2x，故f(x)的單調遞減區(qū)間是(0,1)(2)由題意得g(x)2x，函數(shù)g(x)在1，)上是單調函數(shù)若g(x)為1，)上的單調增函數(shù)，則g(x)0在1，)上恒成立，即a2x2在1，)上恒成立，設(x)2x2，(x)在1，)上單調遞減，(x)

16、max(1)0，a0.若g(x)為1，)上的單調減函數(shù)，則g(x)0在1，)上恒成立，不可能實數(shù)a的取值范圍為a0.【變式訓練2】解：f(x)的定義域是(0，)，f(x)1.設g(x)x2ax2，二次方程g(x)0的判別式a28.當0即0a2時，對一切x0都有f(x)0.此時f(x)是(0，)上的單調遞增函數(shù)當0即a2時，僅對x有f(x)0，對其余的x0都有f(x)0.此時f(x)也是(0，)上的單調遞增函數(shù)當0即a2時，方程g(x)0有兩個不同的實根x1，x2，0x1x2.x(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增此時f(x)在上單

17、調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增【例3】解：(1)f(x)3x22ax3.f(x)在1，)上是增函數(shù)，f(x)在1，)上恒有f(x)0，即3x22ax30在1，)上恒成立，則必有1且f(1)2a0.a0.(2)依題意，f0，即a30.a4，f(x)x34x23x.令f(x)3x28x30，得x1，x23.則當x變化時，f(x)與f(x)變化情況如下表：x1(1,3)3(3,4)4f(x)0f(x)61812f(x)在1,4上的最大值是f(1)6.(3)函數(shù)g(x)bx的圖象與函數(shù)f(x)的圖象恰有3個交點，即方程x34x23xbx恰有3個不等實根x34x23xbx0，x0是其中一個根，方程x

18、24x3b0有兩個非零不等實根b7且b3.存在滿足條件的b值，b的取值范圍是b7且b3.【變式訓練3】解：(1)f(x)3ax26x3x(ax2)因為x2是函數(shù)yf(x)的極值點，所以f(2)0，即6(2a2)0，因此a1.經(jīng)驗證，當a1時，x2是函數(shù)yf(x)的極值點(2)由題設，g(x)ax33x23ax26xax2(x3)3x(x2)當g(x)在區(qū)間0,2上的最大值為g(0)時，g(0)g(2)，即020a24，得a.反之，當a時，對任意x0,2，g(x)x2(x3)3x(x2)(2x2x10)(2x5)(x2)0，而g(0)0，故g(x)在區(qū)間0,2上的最大值為g(0)綜上，a的取值范

19、圍為.創(chuàng)新模擬預測演練1A解析：f(x)3f(1)2x，令x1，得f(1)3f(1)2，f(1)1.故選A.2D解析：當0x1時，f(x)x20，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上為減函數(shù)又bffff，cff，則有bca.3C解析：設g(x)xf(x)，則g(x)f(x)xf(x)0，當x0時，g(x)xf(x)為減函數(shù)又g(x)為偶函數(shù)，當x0時，g(x)為增函數(shù)130.32,0log31，log32，g(2)g(30.3)g(log3)，即cab，故選C.4B解析：設h(x)f(x)(2x4)，則h(x)f(x)20，故h(x)在R上單調遞增，又h(1)f(1)20，所以當x1時，h(x)0

20、，即f(x)2x4.5x36x29x解析：設f(x)ax3bx2cxd(a0)，則f(x)3ax22bxc.由題意，有即解得故f(x)x36x29x.67解析：f(x)3x26x90，得x1或x3(舍去)f(2)2a，f(1)5a，f(2)a22，a2220，a2.故最小值為f(1)7.7解：(1)f(x)1(x0)，f()123.故曲線yf(x)在x處切線的斜率為3.(2)f(x)a(x0)當a0時，由于x0，故ax10，f(x)0，所以f(x)的單調遞增區(qū)間為(0，)；當a0時，由f(x)0，得x，在區(qū)間上f(x)0，在區(qū)間上f(x)0.所以，函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.

21、(3)由題可知，若對任意x1(0，)，均存在x20,1，使得f(x1)g(x2)，轉化為f(x)maxg(x)max，而g(x)max2.由(2)知，當a0時，f(x)在(0，)上單調遞增，值域為R，故不符合題意(或者舉出反例：存在f(e3)ae332，故不符合題意)當a0時，f(x)在上單調遞增，在上單調遞減，故f(x)的極大值即為最大值，f1ln1ln(a)，所以21ln(a)，解得a.所以，a的取值范圍為.8解：(1)b，h(x)a2ln x4xx2，h(x)43x，h(1)a210，a21，h(x)ln x4xx2，由h(x)43x0，得x1或0x，所以h(x)的單調遞增區(qū)間是和(1，)(2)函數(shù)g(x)的極大值為0，且b0，而f(x)4，令f(x)0x，f(x)在上單調遞增，上單調遞減，所以f(x)極大值fa2lna20a24e，則p(x)4eln x4xbx，根據(jù)題意得p(1)4b8eb48e，p(x)，令p(x)0x，4b8e，x，函數(shù)p(x)在1，e2上單調遞減，p(x)最大值p(1)4b8e，得b48e.