2020版高考數(shù)學一輪復習 第四章 平面向量、數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 第四節(jié) 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入學案 理（含解析）新人教A版

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1、第四節(jié)　數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 2019考綱考題考情 1．復數(shù)的有關概念 (1)復數(shù)的概念： 形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復數(shù)，其中a，b分別是它的實部和虛部。若b＝0，則a＋bi為實數(shù)；若b≠0，則a＋bi為虛數(shù)；若a＝0且b≠0，則a＋bi為純虛數(shù)。 (2)復數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)。 (3)共軛復數(shù)：a＋bi與c＋di共軛?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)。 (4)復平面：建立直角坐標系來表示復數(shù)的平面，叫做復平面。x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸。實軸上的點都表示實數(shù)；除原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)；各象限內的點

2、都表示非純虛數(shù)。 (5)復數(shù)的模：向量的模r叫做復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模，記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝。 2．復數(shù)的幾何意義 (1)復數(shù)z＝a＋bi　復平面內的點Z(a，b)(a，b∈R)。 (2)復數(shù)z＝a＋bi　平面向量(a，b∈R)。 3．復數(shù)的運算 (1)復數(shù)的加、減、乘、除運算法則 設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)則： ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i。 ②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i。 ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋d

3、i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i。 ④除法：＝＝(c＋di≠0)。 (2)復數(shù)加法的運算定律 復數(shù)的加法滿足交換律、結合律，即對任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)。 　 1．復數(shù)a＋bi(a，b∈R)數(shù)系表 復數(shù) 2．i的乘方具有周期性 in＝(k∈Z)。 3．復數(shù)的模與共軛復數(shù)的關系： z·＝|z|2＝||2。 一、走進教材 1．(選修2－2P106A組T2改編)若復數(shù)(a2－3a＋2)＋(a－1)i是純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為(　　) A．1 B．2 C．1或2 D．－1 解析　依題意，有解得a

4、＝2。故選B。 答案　B 2．(選修2－2P112A組T5(3)改編)復數(shù)2的共軛復數(shù)是(　　) A．2－i B．2＋i C．3－4i D．3＋4i 解析　2＝2＝(2＋i)2＝3＋4i，所以其共軛復數(shù)是3－4i。故選C。 答案　C 二、走近高考 3．(2018·全國卷Ⅱ)＝(　　) A．－－i B．－＋i C．－－i D．－＋i 解析　因為＝＝＝－＋i。故選D。 答案　D 4．(2018·全國卷Ⅲ)(1＋i)(2－i)＝(　　) A．－3－i B．－3＋i C．3－i D．3＋i 解析　(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i2＝3＋i。 答案　D 三、走出

5、誤區(qū) 微提醒：①復數(shù)的幾何意義不清致誤；②復數(shù)的運算方法不當致使出錯；③z與的不清致誤。 5．在復平面內，復數(shù)6＋5i，－2＋3i對應的點分別為A，B。若C為線段AB的中點，則點C對應的復數(shù)是(　　) A．4＋8i B．8＋2i C．2＋4i D．4＋i 解析　因為A(6,5)，B(－2,3)，所以線段AB的中點C(2,4)，則點C對應的復數(shù)為z＝2＋4i。故選C。 答案　C 6．若a為實數(shù)，且＝3＋i，則a＝(　　) A．－4 B．－3 C．3 D．4 解析　由＝3＋i，得2＋ai＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i，即ai＝4i，因為a為實數(shù)，所以a＝4。故選D。 答案　

6、D 7．已知(1＋2i)＝4＋3i，則z＝________。 解析　因為＝＝＝＝2－i，所以z＝2＋i。 答案　2＋i 　　　　　 考點一復數(shù)的有關概念 【例1】　(1)(2019·河北衡水中學模擬)已知i為虛數(shù)單位，a為實數(shù)，復數(shù)z滿足z＋3i＝a＋ai，若復數(shù)z是純虛數(shù)，則(　　) A．a＝3 B．a＝0 C．a≠0 D．a<0 (2)(2019·山東棗莊模擬)設復數(shù)z＝(其中i為虛數(shù)單位)，則復數(shù)z的實部為________，虛部為________。 解析　(1)由z＋3i＝a＋ai，得z＝a＋(a－3)i，又因為復數(shù)z是純虛數(shù)，所以解得a＝0。故選B。 (2)z＝＝

7、＝2＋i，所以復數(shù)z的實部為2，虛部為1。 答案　(1)B　(2)2　1 復數(shù)的分類、復數(shù)相等、復數(shù)的模、共軛復數(shù)的概念都與復數(shù)的實部和虛部有關，所以解答與復數(shù)相關概念有關的問題時，需把所給復數(shù)化為代數(shù)形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根據(jù)題意列方程(組)求解。 【變式訓練】　(1)已知復數(shù)z＝1＋i，則下列說法中正確說法的個數(shù)為(　　) ①|z|＝；②＝1－i；③z的虛部為i；④z在復平面上對應的點在第一象限。 A．1　　　　B．2 C．3　　　　D．4 (2)復數(shù)z＝的共軛復數(shù)是(　　) A．－1＋4i B．－1－4i C．1＋4i D．1－4i (3

8、)若復數(shù)(1＋ai)2－2i(i為虛數(shù)單位)是純虛數(shù)，則實數(shù)a＝(　　) A．0　　　B．±1 C．1　　　D．－1 解析　(1)因為復數(shù)z＝1＋i，所以|z|＝，＝1－i，z的虛部為1，z在復平面上對應的點(1,1)在第一象限，即①②④中的說法正確，③中的說法錯誤。故選C。 (2)z＝＝＝－1－4i，所以復數(shù)z＝的共軛復數(shù)是－1＋4i。故選A。 (3)(1＋ai)2－2i＝1－a2＋2ai－2i，因為(1＋ai)2－2i是純虛數(shù)，所以即a＝－1。故選D。 答案　(1)C　(2)A　(3)D 考點二復數(shù)的幾何意義 　【例2】　(1)復數(shù)z＝(i為虛數(shù)單位)，z在復平面內所對應的

9、點在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)設復數(shù)z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，則y≥x的概率為(　　) A．＋ B．＋ C.－ D.－ 解析　(1)因為z＝＝＝＝＝＋i，所以z在復平面內所對應的點在第一象限。故選A。 (2)由|z|≤1知復數(shù)z在復平面內對應的點構成的區(qū)域是以(1,0)為圓心，1為半徑的圓及其內部，如圖中陰影部分表示在圓內(包括邊界)且滿足y≥x的區(qū)域，該區(qū)域的面積為π－×1×1＝π－，故滿足y≥x的概率為＝－。故選D。 答案　(1)A　(2)D 1．復數(shù)z、復平面上的點Z及向量一一對應，即

10、z＝a＋bi(a，b∈R)?Z(a，b)?。 2．由于復數(shù)、點、向量之間建立了一一對應的關系，因此可把復數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時可運用數(shù)形結合的方法，使問題的解決更加直觀。 【變式訓練】　(1)如圖，若向量對應的復數(shù)為z，則z＋表示的復數(shù)為(　　) A．1＋3i B．－3－i C．3－i D．3＋i (2)已知復數(shù)z＝x＋yi(x，y∈R，x≠0)且|z－2|＝，則的取值范圍是________。 解析　(1)由題圖可得Z(1，－1)，即z＝1－i，所以z＋＝1－i＋＝1－i＋＝1－i＋＝1－i＋2＋2i＝3＋i。故選D。 (2)因為|z－2|＝|x－2＋yi|，|

11、z－2|＝，所以(x－2)2＋y2＝3。設＝k，則y＝kx。聯(lián)立化簡為(1＋k2)x2－4x＋1＝0。因為直線y＝kx與圓有公共點，所以Δ＝16－4(1＋k2)≥0，解得－≤k≤，所以的取值范圍為[－，]。 答案　(1)D　(2)[－，] 考點三復數(shù)的運算 【例3】　(1)(2018·全國卷Ⅰ)設z＝＋2i，則|z|＝(　　) A．0　　　B． C．1　　　D. (2)(2018·天津高考)i是虛數(shù)單位，復數(shù)＝______。 (3)(2018·江蘇高考)若復數(shù)z滿足i·z＝1＋2i，其中i是虛數(shù)單位，則z的實部為________。 解析　(1)因為z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝i

12、，所以|z|＝＝1。故選C。 解析：因為z＝＋2i＝＝，所以|z|＝＝＝＝1，故選C。 (2)＝＝＝4－i。 (3)復數(shù)z＝＝(1＋2i)(－i)＝2－i的實部是2。 答案　(1)C　(2)4－i　(3)2 1．復數(shù)的加法、減法、乘法運算可以類比多項式的運算。 2．復數(shù)除法運算的關鍵是分子、分母同乘分母的共軛復數(shù)，解題中要注意把i的冪寫成最簡形式。 【變式訓練】　(1)若復數(shù)z滿足(2－i)z＝|1＋2i|，則z的虛部為(　　) A．　　　B．i C．1　　　D．i (2)(2019·昆明質檢)設復數(shù)z滿足＝1－i，則z＝(　　) A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i (3)已知復數(shù)z＝，則復數(shù)z在復平面內對應點的坐標為________。 解析　(1)由題意可知z＝＝＝＝＋i，故其虛部為。故選A。 (2)由題意得z＝＝＝＝－1＋i。 (3)因為i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＋i4n＋4＝i＋i2＋i3＋i4＝0，而2018＝4×504＋2，所以z＝＝＝＝＝＝i，對應的點為(0,1)。 答案　(1)A　(2)C　(3)(0,1) 7