2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布 第八節(jié) 離散型隨機(jī)變量的均值與方差學(xué)案 理（含解析）新人教A版

《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布 第八節(jié) 離散型隨機(jī)變量的均值與方差學(xué)案 理（含解析）新人教A版》由會(huì)員分享，可在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布 第八節(jié) 離散型隨機(jī)變量的均值與方差學(xué)案 理（含解析）新人教A版（18頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第八節(jié)　離散型隨機(jī)變量的均值與方差 2019考綱考題考情 1．離散型隨機(jī)變量的均值與方差 若離散型隨機(jī)變量X的分布列為 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn (1)均值：稱(chēng)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平。 (2)D(X)＝(xi－E(X))2pi為隨機(jī)變量X的方差，它刻畫(huà)了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差。 2．均值與方差的性質(zhì) (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b。

2、(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b為常數(shù))。 3．兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差 X X服從兩點(diǎn)分布 X～B(n，p) E(X) p(p為成功概率) np D(X) p(1－p) np(1－p) 1．均值E(X)是一個(gè)實(shí)數(shù)，由X的分布列唯一確定，即X作為隨機(jī)變量是可變的，而E(X)是不變的，它描述X值的取值平均狀態(tài)。 2．已知隨機(jī)變量的分布列求它的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接按定義(公式)求解。若所給隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布或二項(xiàng)分布等，則可直接利用它們的均值、方差公式求解。 　　　　　　　　　　　　　　　　 一、走進(jìn)教材 1．(選修2－3P

3、68A組T1改編)已知X的分布列為 X －1 0 1 P 設(shè)Y＝2X＋3，則E(Y)的值為(　　) A. B．4 C．－1 D．1 解析　E(X)＝－＋＝－，E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－＋3＝。故選A。 答案　A 2．(選修2－3P68A組T5改編)甲、乙兩工人在一天生產(chǎn)中出現(xiàn)的廢品數(shù)分別是兩個(gè)隨機(jī)變量X，Y，其分布列分別為： X 0 1 2 3 P 0.4 0.3 0.2 0.1 Y 0 1 2 P 0.3 0.5 0.2 若甲、乙兩人的日產(chǎn)量相等，則甲、乙兩人中技術(shù)較好的是________。

4、解析　E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1。E(Y)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，因?yàn)镋(Y)

5、、方差的性質(zhì)不熟導(dǎo)致錯(cuò)誤；②二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望公式用法不當(dāng)；③求錯(cuò)分布列，導(dǎo)致E(ξ)出錯(cuò)。 4．已知兩個(gè)隨機(jī)變量X，Y滿(mǎn)足X＋2Y＝4，且X～N(1,22)，則E(Y)，D(Y)依次是________。 解析　由X～N(1,22)得E(X)＝1，D(X)＝4。又X＋2Y＝4，所以Y＝2－，所以E(Y)＝2－E(X)＝，D(Y)＝D(X)＝1。 答案　，1 5．在一次招聘中，主考官要求應(yīng)聘者從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取3道題，并獨(dú)立完成所抽取的3道題。乙能正確完成每道題的概率為，且每道題完成與否互不影響。記乙能答對(duì)的題數(shù)為Y，則Y的數(shù)學(xué)期望為_(kāi)_______。 解析　由題意知Y的可能

6、取值為0,1,2,3，且Y～B，則E(Y)＝3×＝2。 答案　2 6．某學(xué)生在參加政治、歷史、地理三門(mén)課程的學(xué)業(yè)水平考試中，取得A等級(jí)的概率分別為，，，且三門(mén)課程的成績(jī)是否取得A等級(jí)相互獨(dú)立。記ξ為該學(xué)生取得A等級(jí)的課程數(shù)，則ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)的值為_(kāi)_________。 解析　ξ的可能取值為0,1,2,3。因?yàn)镻(ξ＝0)＝××＝，P(ξ＝1)＝××＋××＋××＝，P(ξ＝2)＝××＋××＋××＝，P(ξ＝3)＝××＝，所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝。 答案　 考點(diǎn)一　　離散型隨機(jī)變量的均值　　　　　　　　　　　　　　 【例1】　(2019·貴陽(yáng)監(jiān)測(cè))從A地到B地共

7、有兩條路徑L1和L2，經(jīng)過(guò)這兩條路徑所用的時(shí)間互不影響，且經(jīng)過(guò)L1和L2所用時(shí)間的頻率分布直方圖分別如圖①和②?，F(xiàn)甲選擇L1或L2在40分鐘內(nèi)從A地到B地，乙選擇L1或L2在50分鐘內(nèi)從A地到B地。 (1)求圖①中a的值；并回答，為了盡最大可能在各自允許的時(shí)間內(nèi)趕到B地，甲和乙應(yīng)如何選擇各自的路徑？ (2)用X表示甲、乙兩人中在允許的時(shí)間內(nèi)能趕到B地的人數(shù)，針對(duì)(1)中的選擇方案，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望。 解　(1)(0.01＋0.02×3＋a)×10＝1，解得a＝0.03， 用Ai表示甲選擇Li(i＝1,2)在40分鐘內(nèi)從A地到B地，用Bi表示乙選擇Li(i＝1,2)在50分鐘內(nèi)

8、從A地到B地，則P(A1)＝(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6， P(A2)＝(0.01＋0.04)×10＝0.5， P(A1)>P(A2)，所以甲應(yīng)選擇L1。 又P(B1)＝(0.01＋0.02＋0.03＋0.02)×10＝0.8，P(B2)＝(0.01＋0.04＋0.04)×10＝0.9，P(B2)>P(B1)，所以乙應(yīng)選擇L2。 (2)用M，N分別表示針對(duì)(1)的選擇方案，甲、乙兩人在各自允許的時(shí)間內(nèi)趕到B地，由(1)知P(M)＝0.6，P(N)＝0.9，X的可能取值為0,1,2。 由題意知，M，N相互獨(dú)立， 所以P(X＝0)＝0.4×0.1＝0.04， P(X

9、＝1)＝0.4×0.9＋0.6×0.1＝0.42， P(X＝2)＝0.6×0.9＝0.54， 所以X的分布列為 X 0 1 2 P 0.04 0.42 0.54 所以E(X)＝0×0.04＋1×0.42＋2×0.54＝1.5。 求離散型隨機(jī)變量的均值與方差關(guān)鍵是確定隨機(jī)變量的所有可能值，寫(xiě)出隨機(jī)變量的分布列，正確運(yùn)用均值、方差公式進(jìn)行計(jì)算。 【變式訓(xùn)練】　隨著網(wǎng)絡(luò)營(yíng)銷(xiāo)和電子商務(wù)的興起，人們的購(gòu)物方式更具多樣化。某調(diào)查機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取10名購(gòu)物者進(jìn)行采訪(fǎng)，5名男性購(gòu)物者中有3名傾向于選擇網(wǎng)購(gòu)，2名傾向于選擇實(shí)體店，5名女性購(gòu)物者中有2名傾向于選擇網(wǎng)購(gòu)，3名傾向于選擇

10、實(shí)體店。 (1)若從10名購(gòu)物者中隨機(jī)抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名傾向于選擇實(shí)體店的概率； (2)若從這10名購(gòu)物者中隨機(jī)抽取3名，設(shè)X表示抽到傾向于選擇網(wǎng)購(gòu)的男性購(gòu)物者的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望。 解　(1)設(shè)“隨機(jī)抽取2名，其中男、女各一名，至少1名傾向于選擇實(shí)體店”為事件A，則表示事件“隨機(jī)抽取2名，其中男、女各一名，都傾向于選擇網(wǎng)購(gòu)”， 則P(A)＝1－P()＝1－＝。 (2)X所有可能的取值為0,1,2,3， 且P(X＝k)＝， 則P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝。 所以X的分布列為 X 0 1

11、2 3 P E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝。 考點(diǎn)二二項(xiàng)分布的均值與方差 【例2】　(2019·陜西質(zhì)檢)為了解共享單車(chē)在A市的使用情況，某調(diào)查機(jī)構(gòu)借助網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，并從參與調(diào)查的網(wǎng)友中隨機(jī)抽取了200人進(jìn)行分析，得到如下列聯(lián)表(單位：人)。 經(jīng)常使用 偶爾使用或不使用 合計(jì) 30歲及以下 70 30 100 30歲以上 60 40 100 合計(jì) 130 70 200 (1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.15的前提下認(rèn)為A市使用共享單車(chē)的情況與年齡有關(guān)？ (2)①現(xiàn)從所選取的30歲以上的網(wǎng)友中，采用分層抽樣的

12、方法選取10人，再?gòu)倪@10人中隨機(jī)選出3人贈(zèng)送優(yōu)惠券，將頻率視為概率，求選出的3人中至少有2人經(jīng)常使用共享單車(chē)的概率； ②將頻率視為概率，從A市所有參與調(diào)查的網(wǎng)友中隨機(jī)選取10人贈(zèng)送禮品，記其中經(jīng)常使用共享單車(chē)的人數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望和方差。 參考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d。 參考數(shù)據(jù)： P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 解　(1)由列聯(lián)表可知， K2＝≈2.198。 因?yàn)?.198>2.072， 所以能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.15的前提下認(rèn)

13、為A市使用共享單車(chē)的情況與年齡有關(guān)。 (2)①依題意，可知所選取的10名30歲以上的網(wǎng)友中，經(jīng)常使用共享單車(chē)的有10×＝6人，偶爾使用或不使用共享單車(chē)的有10×＝4人。 則選出的3人中至少有2人經(jīng)常使用共享單車(chē)的概率P＝＋＝。 ②由列聯(lián)表可知選到經(jīng)常使用共享單車(chē)的網(wǎng)友的頻率為＝， 將頻率視為概率，即從A市所有參與調(diào)查的網(wǎng)友中任意選取1人，恰好選到經(jīng)常使用共享單車(chē)的網(wǎng)友的概率為。 由題意得X～B， 所以E(X)＝10×＝， D(X)＝10××＝。 二項(xiàng)分布的期望與方差 1．如果ξ～B(n，p)，則用公式E(ξ)＝np；D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大減少計(jì)算量。

14、2．有些隨機(jī)變量雖不服從二項(xiàng)分布，但與之具有線(xiàn)性關(guān)系的另一隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，這時(shí)，可以綜合應(yīng)用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)，同樣還可求出D(aξ＋b)。 【變式訓(xùn)練】　電子商務(wù)在我國(guó)發(fā)展迅猛，網(wǎng)上購(gòu)物成為很多人的選擇。某購(gòu)物網(wǎng)站組織了一次促銷(xiāo)活動(dòng)，在網(wǎng)頁(yè)的界面上打出廣告：高級(jí)口香糖，10元錢(qián)三瓶，有8種口味供您選擇(其中有1種為草莓口味)。小王點(diǎn)擊進(jìn)入網(wǎng)頁(yè)一看，只見(jiàn)有很多包裝完全相同的瓶裝口香糖排在一起，看不見(jiàn)具體口味，由購(gòu)買(mǎi)者隨機(jī)點(diǎn)擊進(jìn)行選擇(各種口味的高級(jí)口香糖均超過(guò)三瓶，且各種口味的瓶數(shù)相同，每點(diǎn)擊選擇一瓶后，網(wǎng)頁(yè)自動(dòng)補(bǔ)充相應(yīng)的口香糖)。 (

15、1)小王花10元錢(qián)買(mǎi)三瓶，請(qǐng)問(wèn)小王收到貨的組合方式共有多少種？ (2)小王花10元錢(qián)買(mǎi)三瓶，由小王隨機(jī)點(diǎn)擊三瓶，請(qǐng)列出有小王喜歡的草莓味口香糖的瓶數(shù)ξ的分布列，并計(jì)算其數(shù)學(xué)期望和方差。 解　(1)若三瓶口味均不一樣，有C＝56(種)； 若其中兩瓶口味一樣，有CC＝56(種)； 若三瓶口味一樣，有8種。 故小王收到貨的組合方式共有56＋56＋8＝120(種)。 (2)ξ所有可能的取值為0,1,2,3。 因?yàn)楦鞣N口味的高級(jí)口香糖均超過(guò)3瓶，且各種口味的瓶數(shù)相同，有8種不同口味，所以小王隨機(jī)點(diǎn)擊一次是草莓味口香糖的概率為， 即隨機(jī)變量ξ服從二項(xiàng)分布，即ξ～B。 P(ξ＝0)＝C×0

16、×3＝， P(ξ＝1)＝C×1×2＝， P(ξ＝2)＝C×2×1＝， P(ξ＝3)＝C×3×0＝。 所以ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P 數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝np＝3×＝， 方差D(ξ)＝np(1－p)＝3××＝。 考點(diǎn)三均值與方差在實(shí)際決策中的應(yīng)用 【例3】　(2019·廣東六校聯(lián)考)某市大力推廣純電動(dòng)汽車(chē)，對(duì)購(gòu)買(mǎi)用戶(hù)依照車(chē)輛出廠(chǎng)續(xù)駛里程R(單位：千米)的行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)，予以地方財(cái)政補(bǔ)貼，其補(bǔ)貼標(biāo)準(zhǔn)如下表： 出廠(chǎng)續(xù)駛里程R/千米 補(bǔ)貼/(萬(wàn)元/輛) 150≤R<250 3 250≤R<350 4 R≥350 4.5

17、 2017年底某部門(mén)隨機(jī)調(diào)查該市1 000輛純電動(dòng)汽車(chē)，統(tǒng)計(jì)其出廠(chǎng)續(xù)駛里程R，得到頻率分布直方圖如圖所示，用樣本估計(jì)總體，頻率估計(jì)概率，解決如下問(wèn)題： (1)求該市每輛純電動(dòng)汽車(chē)2017年地方財(cái)政補(bǔ)貼的均值； (2)某企業(yè)統(tǒng)計(jì)2017年其充電站100天中各天充電車(chē)輛數(shù)，得如下頻數(shù)分布表： 車(chē)輛 [5 500,6 500) [6 500,7 500) [7 500,8 500) [8 500,9 500] 天數(shù) 20 30 40 10 (同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表) 2018年2月，國(guó)家出臺(tái)政策，將純電動(dòng)汽車(chē)財(cái)政補(bǔ)貼逐步轉(zhuǎn)移到充電基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)上來(lái)，該企

18、業(yè)擬將轉(zhuǎn)移補(bǔ)貼資金用于添置新型充電設(shè)備?，F(xiàn)有直流、交流兩種充電樁可供購(gòu)置，直流充電樁5萬(wàn)元/臺(tái)，每臺(tái)每天最多可以充電30輛車(chē)，每天維護(hù)費(fèi)用500元/臺(tái)；交流充電樁1萬(wàn)元/臺(tái)，每臺(tái)每天最多可以充電4輛車(chē)，每天維護(hù)費(fèi)用80元/臺(tái)。 該企業(yè)現(xiàn)有兩種購(gòu)置方案： 方案一，購(gòu)買(mǎi)100臺(tái)直流充電樁和900臺(tái)交流充電樁； 方案二，購(gòu)買(mǎi)200臺(tái)直流充電樁和400臺(tái)交流充電樁。 假設(shè)車(chē)輛充電時(shí)優(yōu)先使用新設(shè)備，且充電一輛車(chē)產(chǎn)生25元的收入，用2017年的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，分別估計(jì)該企業(yè)在兩種方案下新設(shè)備產(chǎn)生的日利潤(rùn)(日利潤(rùn)＝日收入－日維護(hù)費(fèi)用)。 解　(1)依題意可得純電動(dòng)汽車(chē)地方財(cái)政補(bǔ)貼的分布列為 補(bǔ)貼/(萬(wàn)

19、元/輛) 3 4 4.5 概率 0.2 0.5 0.3 所以該市每輛純電動(dòng)汽車(chē)2017年地方財(cái)政補(bǔ)貼的均值為3×0.2＋4×0.5＋4.5×0.3＝3.95(萬(wàn)元)。 (2)由頻數(shù)分布表得每天需要充電車(chē)輛數(shù)的分布列為 輛數(shù) 6 000 7 000 8 000 9 000 概率 0.2 0.3 0.4 0.1 若采用方案一，100臺(tái)直流充電樁和900臺(tái)交流充電樁每天可充電車(chē)輛數(shù)為30×100＋4×900＝6 600， 可得實(shí)際充電車(chē)輛數(shù)的分布列為 實(shí)際充電車(chē)輛數(shù) 6 000 6 600 概率 0.2 0.8 于是估計(jì)方案一下新設(shè)備產(chǎn)生的日利

20、潤(rùn)為 25×(6 000×0.2＋6 600×0.8)－500×100－80×900＝40 000(元)。 若采用方案二，200臺(tái)直流充電樁和400臺(tái)交流充電樁每天可充電車(chē)輛數(shù)為30×200＋4×400＝7 600， 可得實(shí)際充電車(chē)輛數(shù)的分布列為 實(shí)際充電車(chē)輛數(shù) 6 000 7 000 7 600 概率 0.2 0.3 0.5 于是估計(jì)方案二下新設(shè)備產(chǎn)生的日利潤(rùn)為 25×(6 000×0.2＋7 000×0.3＋7 600×0.5)－500×200－80×400＝45 500(元)。 隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，方差反映了隨機(jī)變量穩(wěn)定于均值的

21、程度，它們從整體和全局上刻畫(huà)了隨機(jī)變量，是生產(chǎn)實(shí)際中用于方案取舍的重要理論依據(jù)。一般先比較均值，若均值相同，再用方差來(lái)決定。 【變式訓(xùn)練】　某投資公司在2020年年初準(zhǔn)備將1 000萬(wàn)元投資到“低碳”項(xiàng)目上，現(xiàn)有兩個(gè)項(xiàng)目供選擇： 項(xiàng)目一：新能源汽車(chē)。據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，到年底可能獲利30%，也可能虧損15%，且這兩種情況發(fā)生的概率分別為和； 項(xiàng)目二：通信設(shè)備。據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，到年底可能獲利50%，可能損失30%，也可能不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為，和。 針對(duì)以上兩個(gè)投資項(xiàng)目，請(qǐng)你為投資公司選擇一個(gè)合理的項(xiàng)目，并說(shuō)明理由。 解　若按“項(xiàng)目一”投資，設(shè)獲利為

22、X1萬(wàn)元，則X1的分布列為 X1 300 －150 P 所以E(X1)＝300×＋(－150)×＝200(萬(wàn)元)。 若按“項(xiàng)目二”投資，設(shè)獲利X2萬(wàn)元， 則X2的分布列為： X2 500 －300 0 P 所以E(X2)＝500×＋(－300)×＋0×＝200(萬(wàn)元)。 D(X1)＝(300－200)2×＋(－150－200)2×＝35 000， D(X2)＝(500－200)2×＋(－300－200)2×＋(0－200)2×＝140 000。 所以E(X1)＝E(X2)，D(X1)

23、更穩(wěn)妥。 綜上所述，建議該投資公司選擇項(xiàng)目一投資。 1．(配合例1使用)PM2.5是衡量空氣污染程度的一個(gè)指標(biāo)，為了了解某市空氣質(zhì)量情況，從去年每天的PM2.5值的數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取40天的數(shù)據(jù)，其頻率分布直方圖如圖所示。 現(xiàn)將PM2.5的值劃分為如下等級(jí) PM2.5值 [0,100) [100,150) [150,200) [200,250] 等級(jí) 一級(jí) 二級(jí) 三級(jí) 四級(jí) 用頻率估計(jì)概率。 (1)估計(jì)該市在下一年的360天中空氣質(zhì)量為一級(jí)天氣的天數(shù)； (2)在樣本中，按照分層抽樣的方法抽取8天的PM2.5值的數(shù)據(jù)，再?gòu)倪@8個(gè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取5個(gè)，求一級(jí)、二級(jí)

24、、三級(jí)、四級(jí)天氣都有的概率； (3)如果該市對(duì)環(huán)境進(jìn)行治理，治理后經(jīng)統(tǒng)計(jì)，每天PM2.5值X近似滿(mǎn)足X～N(115,752)，則治理后的PM2.5值的均值比治理前大約下降了多少？ 解　(1)由樣本空氣質(zhì)量PM2.5的數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖可知，其頻率分布如下表： PM2.5值 [0,50) [50,100) [100,150) [150,200) [200,250] 頻率 0.125 0.125 0.375 0.25 0.125 由上表可知，如果該市維持現(xiàn)狀不變，則該市下一年的某一天空氣質(zhì)量為一級(jí)天氣的概率為0.25， 因此在360天中約有360×0.25＝90天

25、。 (2)在樣本中，按照分層抽樣的方法抽取8天的PM2.5值數(shù)據(jù)，則這8個(gè)數(shù)據(jù)中一級(jí)、二級(jí)、三級(jí)、四級(jí)天氣的數(shù)據(jù)分別有2個(gè)、3個(gè)、2個(gè)、1個(gè)。 從這8個(gè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取5個(gè)，則這四種天氣都有三種情況：一級(jí)天氣的數(shù)據(jù)有2個(gè)，其余的均為1個(gè)；二級(jí)天氣的數(shù)據(jù)有2個(gè)，其余的均為1個(gè)；三級(jí)天氣的數(shù)據(jù)有2個(gè)，其余的均為1個(gè)。 共有的情況有：CCCC＋CCCC＋CCCC＝24種。 而從8個(gè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取5個(gè)，有C＝56種情況。 故所求概率為＝。 (3)如果該市維持現(xiàn)狀不變，則該市的PM2.5值的均值約為E(Y)＝25×0.125＋75×0.125＋125×0.375＋175×0.25＋225×0.

26、125＝131.25。 如果該市對(duì)環(huán)境進(jìn)行治理，則該市的PM2.5值X的均值為E(X)＝115， 因此該市治理后的PM2.5值的均值比治理前大約下降了16.25。 2．(配合例3使用)某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)分成8個(gè)等級(jí)，等級(jí)系數(shù)X依次為1,2，…，8，其中X≥5為標(biāo)準(zhǔn)A，X≥3為標(biāo)準(zhǔn)B，已知甲廠(chǎng)執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)A生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價(jià)為6元/件；乙廠(chǎng)執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)B生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價(jià)為4元/件。假定甲、乙兩廠(chǎng)的產(chǎn)品都符合相應(yīng)的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)。 (1)已知甲廠(chǎng)產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)X1的概率分布列如下表所示： X1 5 6 7 8 P 0.4 a b 0.1 且X1的數(shù)學(xué)期望E(X1)＝

27、6，求a，b的值； (2)為分析乙廠(chǎng)產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)X2，從該廠(chǎng)生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取30件，相應(yīng)的等級(jí)系數(shù)組成一個(gè)樣本，數(shù)據(jù)如下： 用這個(gè)樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，將頻率視為概率，求等級(jí)系數(shù)X2的數(shù)學(xué)期望。 (3)在(1)，(2)的條件下，若以“性?xún)r(jià)比”為判斷標(biāo)準(zhǔn)，則哪個(gè)工廠(chǎng)的產(chǎn)品更具可購(gòu)買(mǎi)性？說(shuō)明理由。 注：①產(chǎn)品的“性?xún)r(jià)比”＝產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)的數(shù)學(xué)期望/產(chǎn)品的零售價(jià)； ②“性?xún)r(jià)比”大的產(chǎn)品更具可購(gòu)買(mǎi)性。 解　(1)因?yàn)镋(X1)＝6， 所以5×0.4＋6a＋7b＋8×0.1＝6， 即6a＋7b＝3.2， 又0.4＋a＋b＋0.1＝1，即a＋b＝0.5， 所以由得 (

28、2)由已知，用這個(gè)樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，將頻率視為概率，可得等級(jí)系數(shù)X2的概率分布列如下： X2 3 4 5 6 7 8 P 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 所以E(X2)＝3×0.3＋4×0.2＋5×0.2＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＝4.8，即乙廠(chǎng)產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)X2的數(shù)學(xué)期望等于4.8。 (3)乙廠(chǎng)的產(chǎn)品更具可購(gòu)買(mǎi)性，理由如下： 因?yàn)榧讖S(chǎng)產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于6，價(jià)格為6元/件，所以其性?xún)r(jià)比為＝1； 因?yàn)橐覐S(chǎng)產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于4.8，價(jià)格為4元/件，所以其性?xún)r(jià)比為＝1.2。 又1.2>1，所以乙廠(chǎng)的產(chǎn)品更具

29、可購(gòu)買(mǎi)性。 概率統(tǒng)計(jì)綜合問(wèn)題是高考應(yīng)用型問(wèn)題，解決問(wèn)題需要經(jīng)歷收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、處理數(shù)據(jù)、得出有用的結(jié)論幾個(gè)復(fù)雜過(guò)程。如果這幾個(gè)過(guò)程書(shū)寫(xiě)步驟缺失則會(huì)造成丟分；如果數(shù)據(jù)處理不當(dāng)則會(huì)陷入龐大的數(shù)據(jù)運(yùn)算中，因此解決這類(lèi)問(wèn)題首先需要根據(jù)題目條件提取有用數(shù)據(jù)，然后根據(jù)統(tǒng)計(jì)思想對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)處理、運(yùn)算，并按照一定的書(shū)寫(xiě)步驟準(zhǔn)確無(wú)誤書(shū)寫(xiě)出來(lái)，做到步驟不缺失、表述準(zhǔn)確無(wú)誤，下面就如何從概率統(tǒng)計(jì)綜合問(wèn)題中迅速提取數(shù)據(jù)，并作出正確處理及模型構(gòu)建提供四類(lèi)典例展示。 　　　　　　　　　　　　　 類(lèi)型一　頻率分布直方圖數(shù)據(jù)的提取、處理及運(yùn)算 【例1】　某市某中學(xué)的環(huán)保社團(tuán)參照國(guó)家環(huán)境標(biāo)準(zhǔn)制定

30、了該市空氣質(zhì)量指數(shù)與空氣質(zhì)量等級(jí)對(duì)應(yīng)關(guān)系，如下表(假設(shè)該區(qū)域空氣質(zhì)量指數(shù)不會(huì)超過(guò)300)。 該社團(tuán)將該市在2018年100天的空氣質(zhì)量指數(shù)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)作為樣本，繪制的頻率分布直方圖如圖，把該直方圖所得頻率估計(jì)為概率。 (1)請(qǐng)估算2018年(以365天計(jì)算)全年該市空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的天數(shù)(未滿(mǎn)一天按一天計(jì)算)； (2)該市將于2018年12月25、26、27日舉辦一場(chǎng)國(guó)際會(huì)議，若這三天中某天出現(xiàn)5級(jí)重度污染，則該天需要凈化空氣費(fèi)用10萬(wàn)元，出現(xiàn)6級(jí)嚴(yán)重污染，則該天需要凈化空氣費(fèi)用20萬(wàn)元，假設(shè)每天的空氣質(zhì)量等級(jí)相互獨(dú)立，記這三天凈化空氣總費(fèi)用為X萬(wàn)元，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望。 解　(1

31、)由直方圖可得2018年(以365天計(jì)算)全年該市空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的天數(shù)為(0.002＋0.004)×50×365＝0.3×365＝109.5≈110。 (2)由題可知，X的所有可能取值為0,10,20,30,40,50,60， 則P(X＝0)＝3＝， P(X＝10)＝C××2＝， P(X＝20)＝C×2×1＋C××2＝＝， P(X＝30)＝3＋C××C××＝， P(X＝40)＝C×2×＋C×2×＝， P(X＝50)＝C×2×＝， P(X＝60)＝3＝， X的分布列為 X 0 10 20 30 40 50 60 P E(X)＝0×＋

32、10×＋20×＋30×＋40×＋50×＋60×＝9(萬(wàn)元)。 頻率分布直方圖是考查數(shù)據(jù)收集和整理的常用依據(jù)，掌握頻率分布直方圖中常見(jiàn)數(shù)據(jù)的提取方法是解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵。 類(lèi)型二莖葉圖數(shù)據(jù)的提取、處理及運(yùn)算 【例2】　(2018·武漢調(diào)研)甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員參加“選拔測(cè)試賽”，在相同條件下，兩人6次測(cè)試的成績(jī)(單位：分)記錄如下： 甲　86　77　92　72　78　84 乙　78　82　88　82　95　90 (1)用莖葉圖表示這兩組數(shù)據(jù)，現(xiàn)要從中選派一名運(yùn)動(dòng)員參加比賽，你認(rèn)為選派誰(shuí)參賽更好？說(shuō)明理由(不用計(jì)算)。 (2)若將頻率視為概率，對(duì)運(yùn)動(dòng)員甲在今后3次測(cè)試中的成績(jī)進(jìn)行

33、預(yù)測(cè)，記這3次測(cè)試的成績(jī)高于85分的次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)及方差D(X)。 解　(1)莖葉圖如圖： 由圖可知乙的平均水平比甲高，故選派乙參賽更好。 (2)由題意得，甲運(yùn)動(dòng)員每次測(cè)試的成績(jī)高于85分的概率是，3次測(cè)試的成績(jī)高于85分的次數(shù)X服從二項(xiàng)分布，X～B，X所有可能的取值為0,1,2,3， 所以P(X＝0)＝C×0×3＝， P(X＝1)＝C×1×2＝， P(X＝2)＝C×2×1＝， P(X＝3)＝C×3×0＝， X的分布列為 X 0 1 2 3 P E(X)＝3×＝1，D(X)＝3××＝。 莖葉圖提供了具體的數(shù)據(jù)

34、，找準(zhǔn)各組數(shù)據(jù)共同的莖及各自的葉是處理此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵。如果所有數(shù)據(jù)過(guò)大，在計(jì)算平均數(shù)時(shí)，可以將所有數(shù)據(jù)同時(shí)減去一個(gè)數(shù)字再計(jì)算，減去一個(gè)數(shù)后方差不變，另外除了要掌握各類(lèi)數(shù)據(jù)的計(jì)算方法以外，還要能從提供的數(shù)據(jù)的趨勢(shì)分析預(yù)測(cè)結(jié)果。莖葉圖數(shù)據(jù)很具體，常聯(lián)系古典概型進(jìn)行考查。 類(lèi)型三表格數(shù)據(jù)的提取、處理及運(yùn)算 【例3】　(2019·洛陽(yáng)高三統(tǒng)考)甲、乙兩家外賣(mài)公司，其送餐員的日工資方案如下：甲公司，底薪80元，每單送餐員抽成4元；乙公司，無(wú)底薪，40單以?xún)?nèi)(含40單)的部分送餐員每單抽成6元，超出40單的部分送餐員每單抽成7元。假設(shè)同一公司的送餐員一天的送餐單數(shù)相同，現(xiàn)從這兩家公司各隨機(jī)選取一名送餐

35、員，并分別記錄其50天的送餐單數(shù)，得到如下頻數(shù)表： 甲公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表 送餐單數(shù) 38 39 40 41 42 天數(shù) 10 15 10 10 5 乙公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表 送餐 單數(shù) 38 39 40 41 42 天數(shù) 5 10 10 20 5 (1)現(xiàn)從記錄甲公司的50天送餐單數(shù)中隨機(jī)抽取3天的送餐單數(shù)，求這3天送餐單數(shù)都不小于40的概率。 (2)若將頻率視為概率，回答下列兩個(gè)問(wèn)題： ①記乙公司送餐員日工資為X(單位：元)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)； ②小王打算到甲、乙兩家公司中的一家應(yīng)聘送餐員，如果僅從日工資的角

36、度考慮，請(qǐng)利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)為小王做出選擇，并說(shuō)明理由。 解　(1)設(shè)抽取的3天送餐單數(shù)都不小于40為事件M，甲公司記錄的50天中，有10＋10＋5＝25天送餐單數(shù)不小于40， 則P(M)＝＝。 (2)①設(shè)乙公司送餐員的送餐單數(shù)為a， 當(dāng)a＝38時(shí)，X＝38×6＝228， 當(dāng)a＝39時(shí)，X＝39×6＝234， 當(dāng)a＝40時(shí)，X＝40×6＝240， 當(dāng)a＝41時(shí)，X＝40×6＋1×7＝247， 當(dāng)a＝42時(shí)，X＝40×6＋2×7＝254， 所以X的所有可能取值為228,234,240,247,254。 故X的分布列為 X 228 234 240 247 254

37、 P 所以E(X)＝228×＋234×＋240×＋247×＋254×＝241.8。 ②依題意，甲公司送餐員的日平均送餐單數(shù)為 38×0.2＋39×0.3＋40×0.2＋41×0.2＋42×0.1＝39.7， 所以甲公司送餐員的日平均工資為80＋4×39.7＝238.8元。 由①得乙公司送餐員的日平均工資為241.8元。 因?yàn)?38.8<241.8，所以推薦小王去乙公司應(yīng)聘。 處理表格數(shù)據(jù)的關(guān)鍵是搞清表格中各行、各列數(shù)的意義，特別表格中最后一行或最后一列中的數(shù)據(jù)多為合計(jì)(或總計(jì))。 類(lèi)型四折線(xiàn)圖中數(shù)據(jù)的提取、處理及運(yùn)算 【例4】　(2019·廣州高三

38、調(diào)研)某基地蔬菜大棚采用無(wú)土栽培方式種植各類(lèi)蔬菜。根據(jù)過(guò)去50周的資料顯示，該地周光照量X(小時(shí))都在30小時(shí)以上，其中不足50小時(shí)的有5周，不低于50小時(shí)且不超過(guò)70小時(shí)的有35周，超過(guò)70小時(shí)的有10周。根據(jù)統(tǒng)計(jì)，該基地的西紅柿增加量y(千克)與使用某種液體肥料的質(zhì)量x(千克)之間的關(guān)系為如圖所示的折線(xiàn)圖。 (1)依據(jù)折線(xiàn)圖，是否可用線(xiàn)性回歸模型擬合y與x的關(guān)系？請(qǐng)計(jì)算相關(guān)系數(shù)r并加以說(shuō)明(精確到0.01)。(若|r|>0.75，則線(xiàn)性相關(guān)程度很高，可用線(xiàn)性回歸模型擬合) (2)蔬菜大棚對(duì)光照要求較大，某光照控制儀商家為該基地提供了部分光照控制儀，但每周光照控制儀運(yùn)行臺(tái)數(shù)受周光照量

39、X限制，并有如下關(guān)系： 周光照量X (單位：小時(shí)) 3070 光照控制儀最多 可運(yùn)行臺(tái)數(shù) 3 2 1 若某臺(tái)光照控制儀運(yùn)行，則該臺(tái)光照控制儀周利潤(rùn)為3 000元；若某臺(tái)光照控制儀未運(yùn)行，則該臺(tái)光照控制儀周虧損1 000元。以頻率作為概率，商家欲使周總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝光照控制儀多少臺(tái)？ 附：相關(guān)系數(shù)公式r＝， 參考數(shù)據(jù)：≈0.55，≈0.95。 解　(1)由已知數(shù)據(jù)可得 ＝＝5， ＝＝4。 因?yàn)?xi－)(yi－)＝(－3)×(－1)＋0＋0＋0＋3×1＝6， ＝＝2， ＝＝。 所以相關(guān)系數(shù) r＝ ＝＝≈0.9

40、5。 因?yàn)閞>0.75，所以可用線(xiàn)性回歸模型擬合y與x的關(guān)系。 (2)記商家周總利潤(rùn)為Y元，由條件可知至少需安裝1臺(tái)，最多安裝3臺(tái)光照控制儀。 ①安裝1臺(tái)光照控制儀可獲得周總利潤(rùn)3 000元。②安裝2臺(tái)光照控制儀的情形： 當(dāng)X>70時(shí)，只有1臺(tái)光照控制儀運(yùn)行，此時(shí)周總利潤(rùn)Y＝3 000－1 000＝2 000(元)，P(Y＝2 000)＝＝0.2， 當(dāng)30

41、＋6 000×0.8＝5 200(元)。 ③安裝3臺(tái)光照控制儀的情形： 當(dāng)X>70時(shí)，只有1臺(tái)光照控制儀運(yùn)行，此時(shí)周總利潤(rùn)Y＝1×3 000－2×1 000＝1 000(元)，P(Y＝1 000)＝＝0.2， 當(dāng)50≤X≤70時(shí)，有2臺(tái)光照控制儀運(yùn)行，此時(shí)周總利潤(rùn)Y＝2×3 000－1×1 000＝5 000(元)，P(Y＝5 000)＝＝0.7， 當(dāng)30