（魯京遼）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 1.1.1 構(gòu)成空間幾何體的基本元素學(xué)案 新人教B版必修2

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1、（魯京遼）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 1.1.1 構(gòu)成空間幾何體的基本元素學(xué)案 新人教B版必修2學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解空間中點(diǎn)、線、面、體之間的關(guān)系.2.了解軌跡和圖形的關(guān)系.3.初步了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面間的位置關(guān)系知識(shí)點(diǎn)一構(gòu)成幾何體的基本元素思考1平面幾何研究的主要對(duì)象是什么？構(gòu)成平面圖形的基本元素是什么？答案平面圖形；點(diǎn)與直線思考2構(gòu)成幾何體的基本元素是什么？答案點(diǎn)、線、面梳理幾何體的定義(1)定義：只考慮一個(gè)物體占有空間部分的形狀和大小，而不考慮其他因素，則這個(gè)空間部分叫做一個(gè)幾何體(2)構(gòu)成空間幾何體的基本元素：點(diǎn)、線、面知識(shí)點(diǎn)二長(zhǎng)方體思考長(zhǎng)

2、方體的基本元素有哪些？如何定義？答案6個(gè)面，12條棱，8個(gè)頂點(diǎn)，長(zhǎng)方體是由六個(gè)矩形(包括它的內(nèi)部)圍成的梳理長(zhǎng)方體的概念(1)基本元素：長(zhǎng)方體有12條棱，8個(gè)頂點(diǎn)，6個(gè)面(2)面：圍成長(zhǎng)方體的各個(gè)矩形(3)棱：相鄰兩個(gè)面的公共邊(4)頂點(diǎn)：棱和棱的公共點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)三平面思考平的鏡面是一個(gè)平面嗎？答案不是，數(shù)學(xué)中的平面是個(gè)抽象的概念，它是無(wú)限延展的梳理平面的概念(1)特征：平面是處處平直的面，是無(wú)限延展的(2)畫法：通常畫一個(gè)平行四邊形表示一個(gè)平面(3)命名：用希臘字母，來(lái)命名，還可以用表示它的平行四邊形的對(duì)角頂點(diǎn)的字母來(lái)命名知識(shí)點(diǎn)四空間中直線、平面的位置關(guān)系思考空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)

3、系有哪些？答案直線與平面的位置關(guān)系有直線在平面內(nèi)、直線與平面相交、直線與平面平行平面與平面的位置關(guān)系有平面與平面平行、平面與平面相交兩種梳理特殊位置關(guān)系的幾個(gè)定義比較位置關(guān)系定義圖形及符號(hào)表示平行線面若直線和平面沒(méi)有公共點(diǎn)，則說(shuō)直線和平面平行AB平面面面若兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)，則說(shuō)這兩個(gè)平面平行平面平面垂直線面若一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則說(shuō)直線與平面垂直l平面面面若兩個(gè)平面相交，并且其中一個(gè)平面通過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，則說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直平面平面距離點(diǎn)面點(diǎn)到平面的垂線段的長(zhǎng)度，稱作點(diǎn)到平面的距離兩平面夾在兩平行平面間垂線段的長(zhǎng)度稱作兩平面間的距離18個(gè)平面重疊起來(lái)要比6個(gè)平

4、面重疊起來(lái)厚()2空間不同三點(diǎn)確定一個(gè)平面()3一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面()類型一幾何體的基本元素例1試指出下圖中各幾何體的基本元素解(1)中幾何體有6個(gè)頂點(diǎn)，12條棱和8個(gè)面(2)中幾何體有12個(gè)頂點(diǎn)，18條棱和8個(gè)面(3)中幾何體有6個(gè)頂點(diǎn)，10條棱和6個(gè)面(4)中幾何體有2條曲線，3個(gè)面(2個(gè)平面和1個(gè)曲面)反思與感悟點(diǎn)是最基本的元素，只有位置，沒(méi)有大??；直線沒(méi)有粗細(xì)，向兩方無(wú)限延伸；平面沒(méi)有厚度，向周圍無(wú)限延展要熟記這三種基本元素的特點(diǎn)在現(xiàn)實(shí)生活中要多觀察幾何體，以便加深對(duì)構(gòu)成空間幾何體的基本元素的認(rèn)識(shí)跟蹤訓(xùn)練1如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，下列說(shuō)法正確的有_(填序號(hào))

5、長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)一共有8個(gè)；線段AA1所在的直線是長(zhǎng)方體的一條棱；矩形ABCD所在的平面是長(zhǎng)方體的一個(gè)面；長(zhǎng)方體由六個(gè)平面圍成答案類型二空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的判定例2如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCDABCD中，如果把它的12條棱延伸為直線，6個(gè)面延展為平面，那么在這12條直線與6個(gè)平面中：(1)與直線BC平行的平面有哪幾個(gè)？(2)與直線BC垂直的平面有哪幾個(gè)？(3)與平面BC平行的平面有哪幾個(gè)？(4)與平面BC垂直的平面有哪幾個(gè)？(5)平面AC與平面AC間的距離可以用哪些線段來(lái)表示？解(1)有平面ADDA與平面ABCD.(2)有平面ABBA、平面CDDC.(3)有平面ADDA.(4)有平面ABBA

6、、平面CDDC、平面ABCD與平面ABCD.(5)可用線段AA，BB，CC，DD來(lái)表示反思與感悟(1)解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵在于識(shí)圖，根據(jù)圖形識(shí)別直線與平面平行、垂直，平面與平面平行、垂直(2)長(zhǎng)方體和正方體是立體幾何中的重要幾何體，對(duì)其認(rèn)識(shí)有助于進(jìn)一步認(rèn)識(shí)立體幾何中的點(diǎn)、線、面的基本關(guān)系跟蹤訓(xùn)練2下列關(guān)于長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的說(shuō)法正確的是_(填序號(hào))直線AA1與直線BB1平行；直線AA1與平面C1D1DC相交；直線AA1與平面ABCD垂直；點(diǎn)A1與點(diǎn)B1到平面ABCD的距離相等答案解析正確，由于AA1與BB1是矩形ABB1A1的一組對(duì)邊，所以AA1BB1；不正確，由

7、于直線AA1與平面C1D1DC沒(méi)有交點(diǎn)，所以AA1平面C1D1DC；正確，由于直線AA1與平面ABCD內(nèi)的兩條相交直線AB，AD垂直，所以AA1平面ABCD；正確，點(diǎn)A1到平面ABCD的距離為AA1，點(diǎn)B1到平面ABCD的距離為BB1，又AA1BB1，因此距離相等類型三幾何體的表面展開(kāi)圖例3把如圖所示的幾何體沿線段AA及與上、下底相關(guān)的棱剪開(kāi)，然后放在平面上展開(kāi)，試畫出這些圖形解畫出的相應(yīng)圖形如圖所示反思與感悟多面體表面展開(kāi)圖問(wèn)題的解題策略(1)繪制展開(kāi)圖：繪制多面體的表面展開(kāi)圖要結(jié)合多面體的幾何特征，發(fā)揮空間想象能力或者是親手制作多面體模型在解題過(guò)程中，給多面體的頂點(diǎn)標(biāo)上字母，先把多面體的底

8、面畫出來(lái)，然后依次畫出各側(cè)面，便可得到其表面展開(kāi)圖(2)已知展開(kāi)圖：若是給出多面體的表面展開(kāi)圖，來(lái)判斷是由哪一個(gè)多面體展開(kāi)的，則可把上述過(guò)程逆推同一個(gè)幾何體的表面展開(kāi)圖可能是不一樣的，也就是說(shuō)，一個(gè)多面體可有多個(gè)表面展開(kāi)圖跟蹤訓(xùn)練3一個(gè)無(wú)蓋的正方體盒子的平面展開(kāi)圖如圖，A、B、C是展開(kāi)圖上的三點(diǎn)，則在正方體盒子中，ABC_.答案60解析將平面圖形翻折，折成空間圖形，如圖由圖可知ABBCAC，所以ABC為等邊三角形所以ABC60.1有以下結(jié)論：平面是處處平的面；平面是無(wú)限延展的；平面的形狀是平行四邊形；一個(gè)平面的厚度可以是0.001 cm.其中正確的個(gè)數(shù)為()A1 B2 C3 D4考點(diǎn)平面的概念

9、、面法及表示題點(diǎn)平面概念的應(yīng)用答案B解析平面是無(wú)限延展的，但是沒(méi)有大小、形狀、厚薄，兩種說(shuō)法是正確的；兩種說(shuō)法是錯(cuò)誤的故選B.2下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有()曲面上可以存在直線；平面上可存在曲線；曲線運(yùn)動(dòng)的軌跡可形成平面；直線運(yùn)動(dòng)的軌跡可形成曲面；曲面上不能畫出直線A3 B4 C5 D2答案B解析由空間中構(gòu)成幾何體的基本元素可判斷均正確，而曲面上可以畫出直線，所以錯(cuò)誤，故選B.3下列說(shuō)法正確的是()A在空間中，一個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)成直線B在空間中，直線平行移動(dòng)形成平面C在空間中，直線繞該直線上的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)形成平面或錐面D在空間中，矩形上各點(diǎn)沿同一方向移動(dòng)形成長(zhǎng)方體答案C解析一個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)也可以成曲線，故A錯(cuò)；在空間

10、中，直線平行移動(dòng)可以形成平面或曲面，故B錯(cuò)；在空間中，矩形上各點(diǎn)沿鉛垂線向上(或向下)移動(dòng)相同距離所形成的幾何體是長(zhǎng)方體，故D錯(cuò)4.在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中(如圖所示)，和棱A1B1不相交的棱有_條答案7解析在長(zhǎng)方體中一共有12條棱，除去與A1B1相交的與其本身，還剩7條5如圖，一個(gè)封閉的長(zhǎng)方體，它的六個(gè)表面各標(biāo)有A，B，C，D，E，F(xiàn)這六個(gè)字母之一，現(xiàn)放置成如圖三種不同的位置，則字母A，B，C對(duì)面的字母分別為_(kāi)答案E，D，F(xiàn)解析第一個(gè)正方體已知A，C，D，第二個(gè)正方體已知B，C，E，第三個(gè)正方體已知A，B，C，且不同的面上寫的字母各不相同，則可知，A對(duì)面標(biāo)的是E，B對(duì)面標(biāo)的是D，C

11、對(duì)面標(biāo)的是F.1點(diǎn)、線、面是構(gòu)成幾何體的基本元素2平面是無(wú)限延展的，通常畫一個(gè)平行四邊形表示一個(gè)平面3平面的記法(1)平面一般用希臘字母、來(lái)命名；(2)平面圖形頂點(diǎn)法4認(rèn)識(shí)空間中的點(diǎn)、直線和平面之間的位置關(guān)系，我們可以動(dòng)手制作一些模型或畫出圖形，來(lái)幫助我們理解和提高空間想象能力一、選擇題1下列不屬于構(gòu)成空間幾何體的基本元素的是()A點(diǎn) B線段C曲面 D多邊形(不包括內(nèi)部的點(diǎn))答案D解析空間中的幾何體是由點(diǎn)、線、面構(gòu)成的，而線有直線和曲線之分，面有平面和曲面之分，只有多邊形(不包括內(nèi)部的點(diǎn))不屬于構(gòu)成幾何體的基本元素2下列說(shuō)法正確的是()A水平放置的平面是大小確定的平行四邊形B平面ABCD即平行

12、四邊形ABCD的四條邊圍起來(lái)的部分C一條直線和一個(gè)平面一定會(huì)有公共點(diǎn)D平面是光滑的，可向四周無(wú)限延展答案D解析平面可以用平行四邊形來(lái)表示，但平行四邊形只是平面的一部分，不能理解為平面，A錯(cuò)；平面是一個(gè)抽象的概念，是無(wú)限延展的，沒(méi)有大小、厚薄之分，B錯(cuò)；直線和平面可以沒(méi)有公共點(diǎn)，此時(shí)直線和平面平行，C錯(cuò)故選D.3下列關(guān)于長(zhǎng)方體的敘述中不正確的是()A將一個(gè)矩形沿豎直方向平移一段距離一定能形成一個(gè)長(zhǎng)方體B長(zhǎng)方體中相對(duì)的面互相平行C長(zhǎng)方體某一底面上的高就是這一面與其所對(duì)面的距離D兩相對(duì)面之間的棱互相平行且等長(zhǎng)答案A解析A選項(xiàng)中，若矩形斜放，則不會(huì)形成長(zhǎng)方體，故選A.4下列四個(gè)長(zhǎng)方體中，由圖中的紙板折

13、成的是()答案A解析根據(jù)題圖中紙板的折疊情況及特殊面的陰影部分可以判斷B，C，D不正確，故選A.5.某同學(xué)制作了一個(gè)對(duì)面圖案相同的正方體禮品盒(如圖)，則這個(gè)正方體禮品盒的表面展開(kāi)圖應(yīng)該為()答案A解析兩個(gè)不能并列相鄰，B、D錯(cuò)誤；兩個(gè)不能并列相鄰，C錯(cuò)誤，故選A.也可通過(guò)實(shí)物制作檢驗(yàn)來(lái)判定6兩個(gè)平面可以將空間分成()A3部分 B4部分C2或4部分 D3或4部分答案D解析當(dāng)兩平面平行時(shí)，將空間分成3部分；當(dāng)兩平面相交時(shí)，將空間分成4部分，故選D.二、填空題7下列說(shuō)法：任何一個(gè)幾何體都必須有頂點(diǎn)、棱和面；一個(gè)幾何體可以沒(méi)有頂點(diǎn)；一個(gè)幾何體可以沒(méi)有棱；一個(gè)幾何體可以沒(méi)有面其中正確的是_(填序號(hào))答

14、案解析球只有一個(gè)曲面圍成，故錯(cuò)，對(duì)，由于幾何體是空間圖形，故一定有面，錯(cuò)8.在如圖所示的長(zhǎng)方體ABCDABCD中，互相平行的平面共有_對(duì)，與AA垂直的平面是_答案3平面ABCD，平面ABCD解析平面ABCD與平面ABCD平行，平面ABBA與平面CDDC平行，平面ADDA與平面BCCB平行，共3對(duì)與AA垂直的是平面ABCD，平面ABCD.9線段AB的長(zhǎng)為5 cm，在水平面上向右移動(dòng)4 cm后記為CD，將CD沿鉛垂線方向向下移動(dòng)3 cm后記為CD，再將CD沿水平方向向左移動(dòng)4 cm后記為AB，依次連接構(gòu)成長(zhǎng)方體ABCDABCD.(1)該長(zhǎng)方體的高為_(kāi) cm.(2)平面ABBA與平面CDDC間的距離

15、為_(kāi) cm.(3)點(diǎn)A到平面BCCB的距離為_(kāi) cm.答案(1)3(2)4(3)5解析如圖，(1)該長(zhǎng)方體的高為3 cm.(2)平面ABBA與平面CDDC間的距離為4 cm.(3)A到平面BCCB的距離為5 cm.10一個(gè)正方體去掉一個(gè)“角”后減少了一個(gè)頂點(diǎn)，這個(gè)幾何圖形是_(填序號(hào))答案解析正方體共有8個(gè)頂點(diǎn)，去掉一個(gè)“角”后減少了一個(gè)頂點(diǎn)即有7個(gè)頂點(diǎn)11如圖是一個(gè)正方體的表面展開(kāi)圖，A，B，C均為所在棱的中點(diǎn)，D為正方體的頂點(diǎn)若正方體的棱長(zhǎng)為2，則封閉折線ABCDA的長(zhǎng)為_(kāi)答案2解析如圖，ABBCCDDA2，即折線ABCDA的長(zhǎng)為2.ABBCCDDA2.三、解答題12如圖所示，指出幾何體的

16、點(diǎn)、線、面解其中的點(diǎn)有A，B，C，D，M，N.其中的線有AB，BC，CD，DA，MA，MB，MC，MD，NA，NB，NC，ND.其中的平面有平面MAD，平面MAB，平面MBC，平面MDC，平面NAB，平面NAD，平面NDC，平面NBC.13如圖所示是一個(gè)正方體表面的展開(kāi)圖，圖中四條線段AB，CD，EF和GH在原正方體中的位置關(guān)系是什么？解選擇一個(gè)面為底面，將圖形向上折成正方體，如圖，點(diǎn)G與點(diǎn)C重合，點(diǎn)F與點(diǎn)B重合，則線段AB與EF相交，線段HG與CD相交，線段EF與CD平行四、探究與拓展14如圖，模塊均由4個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正方體構(gòu)成，模塊由15個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正方體構(gòu)成現(xiàn)從模塊中選出三個(gè)放到模塊上，使得模塊成為一個(gè)棱長(zhǎng)為3的大正方體，則下列選擇方案中，能夠完成任務(wù)的為()A模塊， B模塊，C模塊， D模塊，答案A解析先將放入中的空缺部分，然后在上層放入，可得正方體，而可驗(yàn)證其余不合題意故選A.15如圖是邊長(zhǎng)為1 m的正方體，有一蜘蛛潛伏在A處，B處有一小蟲(chóng)被蜘蛛網(wǎng)粘住，請(qǐng)制作出模型，將正方體剪開(kāi)，描述蜘蛛爬行的最短路線解通過(guò)正方體的展開(kāi)圖(如圖所示)，可以發(fā)現(xiàn)，AB間的最短距離為A，B兩點(diǎn)間的線段的長(zhǎng)，為(m)由展開(kāi)圖可以發(fā)現(xiàn)，C點(diǎn)為其中一條棱的中點(diǎn)爬行的最短路線如圖(1)(6)所示