2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.3 冪函數(shù)學(xué)案 新人教A版必修第一冊

《2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.3 冪函數(shù)學(xué)案 新人教A版必修第一冊》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.3 冪函數(shù)學(xué)案 新人教A版必修第一冊（16頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、33冪函數(shù)1理解冪函數(shù)的概念2掌握yx(1，1,2,3)的圖象與性質(zhì)3理解和掌握冪函數(shù)在第一象限的分類特征，能運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法處理冪函數(shù)的有關(guān)問題1冪函數(shù)的概念一般地，函數(shù)yx叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，是常數(shù)2常見冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)溫馨提示：冪函數(shù)在區(qū)間(0，)上，當(dāng)a0時，yx是增函數(shù)；當(dāng)0時，yx是增函數(shù)()答案(1)(2)(3)(4)題型一冪函數(shù)的概念【典例1】(1)在函數(shù)y，yx2，y2x，y1，y2x2，yx中，是冪函數(shù)的是()ABCD(2)已知冪函數(shù)y(m2m1)xm22m3，求此冪函數(shù)的解析式，并指出其定義域思路導(dǎo)引緊扣冪函數(shù)的定義求解解析(1)冪函數(shù)是形如yx(為常數(shù))的函

2、數(shù)，是1的情形，是2的情形，是的情形，所以都是冪函數(shù)；是指數(shù)函數(shù)，不是冪函數(shù)；中x2的系數(shù)是2，所以不是冪函數(shù)；是常函數(shù)，不是冪函數(shù)所以只有是冪函數(shù)故選C.(2)y(m2m1)x m22m3為冪函數(shù)，m2m11，解得m2或m1.當(dāng)m2時，m22m33，則yx3，且有x0；當(dāng)m1時，m22m30，則yx0，且有x0.故所求冪函數(shù)的解析式為yx3或yx0，它們的定義域都是x|x0答案(1)C(2)見解析判斷一個函數(shù)是否為冪函數(shù)的方法判斷一個函數(shù)是否為冪函數(shù)的依據(jù)是該函數(shù)是否為yx(為常數(shù))的形式，即函數(shù)的解析式為一個冪的形式，且需滿足：(1)指數(shù)為常數(shù)；(2)底數(shù)為自變量；(3)系數(shù)為1.針對訓(xùn)練

3、1下列函數(shù)中不是冪函數(shù)的是()AyByxCy22xDyx1解析函數(shù)y22x4x不是冪函數(shù)，故選C.答案C2若冪函數(shù)f(x)滿足f(9)3，則f(100)_.解析設(shè)f(x)x，由f(9)3，得93，f(x)x，f(100)10010.答案10題型二冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)【典例2】已知冪函數(shù)f(x)x的圖象過點(diǎn)P，試畫出f(x)的圖象并指出該函數(shù)的定義域與單調(diào)區(qū)間思路導(dǎo)引求出，結(jié)合圖象確定定義域和值域解由f(2)，得2，解得2，所以f(x)x2.f(x)的圖象如圖所示，定義域?yàn)?，0)(0，)，單調(diào)減區(qū)間為(0，)，單調(diào)增區(qū)間為(，0)變式(1)本例條件不變，試判斷f(x)的奇偶性(2)本例中點(diǎn)P變?yōu)?/p>

4、，判斷函數(shù)f(x)的奇偶性與單調(diào)性解(1)由f(x)(x)2x2f(x)，得f(x)是偶函數(shù)(2)由f(8)，得8，解得，所以f(x)x，其定義域?yàn)?，0)(0，)，是奇函數(shù)，在(，0)和(0，)上都是減函數(shù)解決冪函數(shù)圖象問題應(yīng)把握的2個原則(1)依據(jù)圖象高低判斷冪指數(shù)大小，相關(guān)結(jié)論為：在(0,1)上，指數(shù)越大，冪函數(shù)圖象越靠近x軸(簡記為指大圖低)；在(1，)上，指數(shù)越大，冪函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸(簡記為指大圖高)(2)依據(jù)圖象確定冪指數(shù)與0,1的大小關(guān)系，即根據(jù)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象(類似于yx1或yx或yx3)來判斷針對訓(xùn)練3如圖，圖中曲線是冪函數(shù)yx在第一象限的大致圖象，已知取2，2四個

5、值，則相應(yīng)于曲線C1，C2，C3，C4的的值依次為()A2，2B2，2C，2,2，D2，2，解析令x2，則222222，故相應(yīng)于曲線C1，C2，C3，C4的值依次為2，2.故選B.答案B4如圖是冪函數(shù)yxm與yxn在第一象限內(nèi)的圖象，則()A1n0m1Bn1,0m1C1n1Dn1解析在(0,1)內(nèi)取x0，作直線xx0，與各圖象有交點(diǎn)，則“點(diǎn)低指數(shù)大”如圖，0m1，n1.答案B題型三利用冪函數(shù)的性質(zhì)比較大小【典例3】(1)比較下列各題中兩個值的大?。核悸穼?dǎo)引構(gòu)造冪函數(shù)，利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小(2)因?yàn)閥x在定義域0，)上是增函數(shù)，所以解得1m.故實(shí)數(shù)m的取值范圍為.比較冪值大小的方法(1)若

6、指數(shù)相同，底數(shù)不同，則考慮冪函數(shù)(2)若指數(shù)不同，底數(shù)相同，則考慮借助圖象求解(3)若指數(shù)與底數(shù)都不同，則考慮插入中間數(shù)，使這個數(shù)的底數(shù)與所比較數(shù)的一個底數(shù)相同，指數(shù)與另一個數(shù)的指數(shù)相同，那么這個數(shù)就介于所比較的兩數(shù)之間，進(jìn)而比較大小針對訓(xùn)練5比較下列各組數(shù)的大?。?已知冪函數(shù)f(x)x，若f(a1)0)，易知f(x)在(0，)上為減函數(shù)，又f(a1)f(102a)，解得3a0，冪函數(shù)在0，)上有意義，且是增函數(shù)(3)如果0，冪函數(shù)在x0處無意義，在(0，)上是減函數(shù).1下列函數(shù)是冪函數(shù)的是()Ay5xByx5Cy5xDy(x1)3解析函數(shù)y5x是指數(shù)函數(shù)，不是冪函數(shù)；函數(shù)y5x是正比例函數(shù)，

7、不是冪函數(shù)；函數(shù)y(x1)3的底數(shù)不是自變量x，不是冪函數(shù)；函數(shù)yx5是冪函數(shù)答案B2設(shè)a20.3，b30.2，c70.1，則a，b，c的大小關(guān)系為()AcabBacbCabcDcba解析a20.380.1，b30.290.1，c70.1，由冪函數(shù)yx0.1在(0，)上單調(diào)遞增，可知cab.答案A3函數(shù)yx的圖象是()解析由冪函數(shù)yx的性質(zhì)知，圖象過點(diǎn)(0,0)，(1,1)，故排除A，D.因?yàn)閥x中01，所以函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)上凸遞增，排除C.故選B.答案B4已知冪函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)(4,2)，則f_.解析設(shè)冪函數(shù)為yx(為常數(shù))函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)(4,2)，24，f(x)x，f.答

8、案5已知冪函數(shù)yx3m9(mN*)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在區(qū)間(0，)上是減函數(shù)，求f(x)的解析式解冪函數(shù)yx3m9在(0，)上是減函數(shù)，3m90，即mbcBcabCabca解析構(gòu)造冪函數(shù)yx，x0，由該函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，知1ab；又c21，知aab.答案B3函數(shù)yx的圖象大致是圖中的()解析函數(shù)yx是奇函數(shù)，且1，函數(shù)在R上單調(diào)遞增故選B.答案B4若冪函數(shù)y(m23m3)xm22m3的圖象不過原點(diǎn)，且關(guān)于原點(diǎn)對稱，則()Am2Bm1Cm2或m1D3m1解析根據(jù)冪函數(shù)的概念，得m23m31，解得m1或m2.若m1，則yx4，其圖象不關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以不符合題意，舍去；若m2，則yx3，

9、其圖象不過原點(diǎn)，且關(guān)于原點(diǎn)對稱答案A5下列結(jié)論中，正確的是()A冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)(0,0)，(1,1)B冪函數(shù)的圖象可以出現(xiàn)在第四象限C當(dāng)冪指數(shù)取1,3，時，冪函數(shù)yx是增函數(shù)D當(dāng)1時，冪函數(shù)yx在其整個定義域上是減函數(shù)解析當(dāng)冪指數(shù)1時，冪函數(shù)yx1的圖象不經(jīng)過原點(diǎn)，故A錯誤；因?yàn)樗械膬绾瘮?shù)在區(qū)間(0，)上都有定義，且yx(R)0，所以冪函數(shù)的圖象不可能出現(xiàn)在第四象限，故B錯誤；當(dāng)0時，yx是增函數(shù)，故C正確；當(dāng)1時，yx1在區(qū)間(，0)，(0，)上是減函數(shù)，但在整個定義域上不是減函數(shù)，故D錯誤故選C.答案C二、填空題6若yax是冪函數(shù)，則該函數(shù)的值域是_解析由已知yax是冪函數(shù)，得a1

10、，所以yx，所以y0，故該函數(shù)的值域?yàn)?，)答案0，)7函數(shù)y3x2的圖象過定點(diǎn)_解析依據(jù)冪函數(shù)yx性質(zhì)，x1時，y1恒成立，所以函數(shù)y3x2中，x1時，y1恒成立，即過定點(diǎn)(1,1)答案(1,1)8已知當(dāng)x(1，)時，函數(shù)yx的圖象恒在直線yx的上方，則的取值范圍是_解析由冪函數(shù)的圖象特征知1.答案(1，)三、解答題9已知冪函數(shù)yf(x)的圖象過點(diǎn)，試求出此函數(shù)的解析式，判斷奇偶性解設(shè)yx(R)，圖象過點(diǎn)，2，f(x)x.函數(shù)yx，定義域?yàn)?0，)，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)10已知冪函數(shù)yf(x)x2m2m3，其中mx|2x2，xZ，滿足：是區(qū)間(0，)上的增函數(shù)；對任意的xR，都有f(x)f(x

11、)0.求同時滿足，的冪函數(shù)f(x)的解析式，并求x0,3時f(x)的值域解因?yàn)閙x|2x2，xZ，所以m1,0,1.因?yàn)閷θ我鈞R，都有f(x)f(x)0，即f(x)f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)當(dāng)m1時，f(x)x2只滿足條件而不滿足條件；當(dāng)m1時，f(x)x0條件、都不滿足當(dāng)m0時，f(x)x3條件、都滿足，且在區(qū)間0,3上是增函數(shù)所以x0,3時，函數(shù)f(x)的值域?yàn)?,27綜合運(yùn)用11已知冪函數(shù)f(x)x3m5(mN)在(0，)上是減函數(shù)，且f(x)f(x)，則m可能等于()A0B1C2D3解析f(x)在(0，)上是減函數(shù)，3m50(mN)，則m0或m1，當(dāng)m0時，f(x)x5是奇函數(shù)，

12、不合題意當(dāng)m1時，f(x)x2是偶函數(shù)，因此m1，故選B.答案B12在同一坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)yxa(a0)和yax的圖象可能是()解析當(dāng)a0，yxa在(0，)上是減函數(shù)，A、D項(xiàng)均不正確對于B、C項(xiàng)，若a0則yax是增函數(shù)，B項(xiàng)錯，C項(xiàng)正確，故選C.答案C13.如圖所示，曲線C1與C2分別是函數(shù)yxm和yxn在第一象限內(nèi)的圖象，則下列結(jié)論正確的是()Anm0Bmnm0Dmn0解析由圖象可知，兩函數(shù)在第一象限內(nèi)遞減，故m0，n2n，所以nm0.答案A14已知函數(shù)f(x)x在(，0)上是增函數(shù)，在(0，)上是減函數(shù)，那么最小的正整數(shù)_.解析取值驗(yàn)證1時，yx0，不滿足；2時，yx，在(0，)上是減函數(shù)它為奇函數(shù)，則在(，0)上也是減函數(shù)，不滿足；3時，yx滿足題意答案315已知冪函數(shù)yx3m9(mN*)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在(0，)上函數(shù)是減函數(shù)，求滿足(a1)(32a)的a的取值范圍解函數(shù)yx3m9在(0，)上單調(diào)遞減，3m90，解得m3.又mN*，m1,2.又函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，3m9為偶數(shù)故m1.有(a1)32a0或0a132a或a1032a.解得a或a1.故a的取值范圍為(，1)16