《(新課標(biāo))2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù) 第12講 函數(shù)與方程導(dǎo)學(xué)案 新人教A版》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(新課標(biāo))2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù) 第12講 函數(shù)與方程導(dǎo)學(xué)案 新人教A版(12頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第12講函數(shù)與方程【課程要求】1結(jié)合二次函數(shù)的圖象,了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系,判斷根的存在性與根的個數(shù)2利用函數(shù)的零點求解參數(shù)的取值范圍對應(yīng)學(xué)生用書p31【基礎(chǔ)檢測】1判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)函數(shù)的零點就是函數(shù)的圖象與x軸的交點()(2)函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(函數(shù)圖象連續(xù)不斷),則f(a)f(b)0.()(3)二次函數(shù)yax2bxc(a0)在b24ac0時沒有零點()(4)f(x)x2,g(x)2x,h(x)log2x,當(dāng)x(4,)時,恒有h(x)f(x)g(x)()答案 (1)(2)(3)(4)2必修1p92A組T5函數(shù)f(x)lnx的零點所
2、在的大致區(qū)間是()A(1,2) B(2,3)C.和(3,4) D(4,)解析f(2)ln210,且函數(shù)f(x)的圖象連續(xù)不斷,f(x)為增函數(shù),f(x)的零點在區(qū)間(2,3)內(nèi)答案B3必修1p88例1函數(shù)f(x)ex3x的零點個數(shù)是_解析由已知得f(x)ex30,所以f(x)在R上單調(diào)遞增,又f(1)30,因此函數(shù)f(x)有且只有一個零點答案14必修1p92A組T4函數(shù)f(x)x的零點個數(shù)為_解析作函數(shù)y1x和y2的圖象如圖所示,由圖象知函數(shù)f(x)有1個零點答案15(多選)下列圖象表示的函數(shù)中不能用二分法求零點的是()解析A中函數(shù)沒有零點,因此不能用二分法求零點;B中函數(shù)的圖象不連續(xù),因此不
3、能用二分法求零點;D中函數(shù)在x軸下方?jīng)]有圖象,因此不能用二分法求零點,故選ABD.答案ABD6已知函數(shù)f(x)x(x0),g(x)xex,h(x)xlnx的零點分別為x1,x2,x3,則()Ax1x2x3Bx2x1x3Cx2x3x1Dx3x1x2解析作出yx與y1,y2ex,y3lnx的圖象如圖所示,可知選C.答案C【知識要點】1函數(shù)的零點(1)函數(shù)零點的定義對于函數(shù)yf(x),我們把使_f(x)0_的實數(shù)x叫做函數(shù)yf(x)的零點(2)三個等價關(guān)系方程f(x)0有實數(shù)根函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點函數(shù)yf(x)有_零點_(3)函數(shù)零點的判定(函數(shù)存在性定理)如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a,b
4、上的圖象是_連續(xù)不斷_的一條曲線,并且有_f(a)f(b)0)的圖象與零點的關(guān)系000)的圖象與x軸的交點_(x1_,0),(x2,0)_(x1,0)_無交點零點個數(shù)_2_1_0_對應(yīng)學(xué)生用書p32函數(shù)零點區(qū)間的判定和求解例1(1)已知函數(shù)f(x)則函數(shù)f(x)在區(qū)間上有_個零點解析當(dāng)x1時,由f(x)2x10,解得x0;所以函數(shù)f(x)在區(qū)間0,1上只有1個零點答案1(2)若abc,則函數(shù)f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的兩個零點分別位于區(qū)間()A(a,b)和(b,c)內(nèi)B(,a)和(a,b)內(nèi)C(b,c)和(c,)內(nèi)D(,a)和(c,)解析ab0,f(b)(bc)(
5、ba)0,由函數(shù)零點存在性定理可知,在區(qū)間(a,b),(b,c)內(nèi)分別存在零點,又函數(shù)f(x)是二次函數(shù),最多有兩個零點因此函數(shù)f(x)的兩個零點分別位于區(qū)間(a,b),(b,c)內(nèi),故選A.答案A小結(jié)函數(shù)零點的判定方法:(1)解方程法:若對應(yīng)方程f(x)0可解,通過解方程,則方程有幾個解就對應(yīng)有幾個零點(2)函數(shù)零點的存在性定理法:利用定理不僅要判斷函數(shù)圖象在區(qū)間a,b上是連續(xù)不斷的曲線,且f(a)f(b)0,還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性)才能確定函數(shù)的零點個數(shù)(3)數(shù)形結(jié)合法:合理轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象(易畫出圖象)的交點個數(shù)問題先畫出兩個函數(shù)的圖象,看其交點
6、的個數(shù),其中交點的個數(shù),就是函數(shù)零點的個數(shù)1若x0是方程x的解,則x0屬于區(qū)間()A.B.C.D.解析令g(x),f(x)x,則g(0)1f(0)0,gf,gf,結(jié)合圖象可得x0.答案C2已知函數(shù)f(x)則函數(shù)yf(f(x)1在區(qū)間上的零點的個數(shù)是()A4B3C2D1解析由f(f(x)10,得f(f(x)1,由f(2)f1,得f(x)2或f(x).若f(x)2,則x3或x;若f(x),則x或x.綜上可得函數(shù)yf(f(x)1在區(qū)間上的零點的個數(shù)是2,故選C.答案C函數(shù)零點個數(shù)的判斷和求解例2(1)已知函數(shù)f(x)函數(shù)g(x)3f(2x),則函數(shù)yf(x)g(x)的零點個數(shù)為()A2B3C4D5解
7、析由已知條件可得g(x)3f(2x)函數(shù)yf(x)g(x)的零點個數(shù)即為函數(shù)yf(x)與yg(x)圖象的交點個數(shù),在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)yf(x)與yg(x)的圖象如圖所示由圖可知函數(shù)yf(x)與yg(x)的圖象有2個交點,所以函數(shù)yf(x)g(x)的零點個數(shù)為2,故選A.答案A(2)函數(shù)f(x)4cos2cos2sinx|ln(x1)|的零點個數(shù)為_解析f(x)2(1cosx)sinx2sinx|ln(x1)|sin2x|ln(x1)|,x1,函數(shù)f(x)的零點個數(shù)即為函數(shù)y1sin2x(x1)與y2|ln(x1)|(x1)的圖象的交點個數(shù)分別作出兩個函數(shù)的圖象,如圖,可知有兩個交點,則
8、f(x)有兩個零點答案2小結(jié)判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法(1)直接法:解方程f(x)0,方程有幾個解,函數(shù)f(x)就有幾個零點;(2)圖象法:畫出函數(shù)f(x)的圖象,函數(shù)f(x)的圖象與x軸的交點個數(shù)即為函數(shù)f(x)的零點個數(shù);(3)將函數(shù)f(x)拆成兩個常見函數(shù)h(x)和g(x)的差,從而f(x)0h(x)g(x)0h(x)g(x),則函數(shù)f(x)的零點個數(shù)即為函數(shù)yh(x)與函數(shù)yg(x)的圖象的交點個數(shù);(4)二次函數(shù)的零點問題,通過相應(yīng)的二次方程的判別式來判斷3函數(shù)y(x1)2logax(其中a1)零點的個數(shù)是()A0B1C2D3解析函數(shù)y(x1)2logax(其中a1)零點的個數(shù)就是y(x
9、1)2的圖象與ylogax(其中a1)圖象交點個數(shù),在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出y(x1)2的圖象與ylogax(其中a1)圖象,如圖,由圖可知,y(x1)2的圖象與ylogax(其中a1)圖象有兩個交點,所以函數(shù)y(x1)2logax(其中a1)零點的個數(shù)是2.答案C4已知a1,方程exxa0與lnxxa0的根分別為x1,x2,若mxx2x1x2,則m的取值范圍為_解析方程exxa0的根,即yex與yax圖象交點的橫坐標(biāo),方程lnxxa0的根,即ylnx與yax圖象交點的橫坐標(biāo),而yex與ylnx的圖象關(guān)于直線yx軸對稱,如圖所示:x1x2a,xx2x1x2a2,又a1,mxx2x1x21.答案 (1
10、,)二次函數(shù)的零點問題例3(1)若函數(shù)f(x)(m2)x2mx(2m1)的兩個零點分別在區(qū)間(1,0)和區(qū)間(1,2)內(nèi),則m的取值范圍是_解析依題意,結(jié)合函數(shù)f(x)的圖象分析可知m需滿足即解得m.答案(2)已知a,b,c,d都是常數(shù),ab,cd.若f(x)2021(xa)(xb)的零點為c,d,則下列不等式正確的是()AacbdBabcdCcdabDcabd解析f(x)2021(xa)(xb)x2(ab)xab2021,又f(a)f(b)2021,c,d為函數(shù)f(x)的零點,且ab,cd,所以可在平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示,由圖可知cabd,故選D.答案D小結(jié)解決與
11、二次函數(shù)有關(guān)的零點問題:(1)可利用一元二次方程的求根公式;(2)可用一元二次方程的判別式及根與系數(shù)之間的關(guān)系;(3)利用二次函數(shù)的圖象列不等式組5已知二次函數(shù)f(x)x2(2a1)x12a,若yf(x)在區(qū)間(1,0)及內(nèi)各有一個零點,則實數(shù)a的取值范圍是_解析依題意,要使yf(x)在區(qū)間(1,0)及內(nèi)各有一個零點,只需即解得a.故實數(shù)a的取值范圍為.答案6已知yf(x)是定義域為R的奇函數(shù),當(dāng)x0,)時,f(x)x22x,若方程f(x)a恰有3個不同的解,則a的取值范圍是_解析設(shè)x0,則x0,所以f(x)x22x.又因為f(x)是奇函數(shù),所以f(x)f(x)x22x.所以f(x)方程f(x
12、)a恰有3個不同的解,即yf(x)與ya的圖象有3個不同的交點作出yf(x)與ya的圖象如圖所示,故若方程f(x)a恰有3個不同的解,只需1a1,故a的取值范圍為(1,1)答案 (1,1)函數(shù)零點的應(yīng)用例4(1)(多選)設(shè)函數(shù)f(x)exx2,g(x)lnxx23.若實數(shù)a,b滿足f(a)0,g(b)0,則()Ag(a)0Cf(b)0解析因為函數(shù)f(x)exx2在R上單調(diào)遞增,且f(0)120,所以f(a)0時,a(0,1)又g(x)lnxx23在(0,)上單調(diào)遞增,且g(1)20,所以g(a)0,所以g(b)0時,b(1,2),又f(1)e10,所以f(b)0.答案AD(2)已知函數(shù)f(x)
13、lnxax2ax恰有兩個零點,則實數(shù)a的取值范圍是()A(,0) B(0,)C(0,1)(1,) D(,0)1解析由題意,顯然x1是函數(shù)f(x)的一個零點,取a1,則f(x)lnxx2x,f(x)0恒成立則f(x)僅有一個零點,不符合題意,排除A、D;取a1,則f(x)lnxx2x,f(x),令f(x)0,得x1,則f(x)在(0,1)上遞增,在(1,)上遞減,f(x)maxf(1)0,即f(x)僅有一個零點,不符合題意,排除B,故選C.答案C(3)已知f(x)x2kx|x21|,若f(x)在(0,2)上有兩個不同的零點x1,x2,則k的取值范圍是_解析不妨設(shè)0x1x22,f(x)f(x)在(
14、0,1是單調(diào)函數(shù),故f(x)0在(0,1上至多一個解;若1x1x22,則x1x20,故不符合題意;0x11x22,由f(x1)0可得k,k1,由f(x2)0可得k2x2,k0),則a2,其中t11,由基本不等式,得(t1)2,當(dāng)且僅當(dāng)t1時取等號,故a22.答案 (,228已知函數(shù)f(x)exx22x,g(x)lnx2,h(x)x2,且1x3,若f(a)g(b)h(c)0,則實數(shù)a,b,c的大小關(guān)系是()AabcBbacCacbDcba解析同一坐標(biāo)系內(nèi),分別作出函數(shù)yex,yx22x,ylnx,y2,yx的圖象,如圖可得a是yex,yx22x圖象交點橫坐標(biāo);b是ylnx,y2圖象交點橫坐標(biāo);c是y2,yx圖象交點橫坐標(biāo);即a,b,c分別是圖中點A,B,C的橫坐標(biāo),由圖象可得,ac0,得m21,m,所以m.答案對應(yīng)學(xué)生用書p33(2018全國卷理)已知函數(shù)f(x)g(x)f(x)xa.若g(x)存在2個零點,則a的取值范圍是()A1,0) B0,)C1,) D1,)解析函數(shù)g(x)f(x)xa存在2個零點,即關(guān)于x的方程f(x)xa有2個不同的實根,即函數(shù)f(x)的圖象與直線yxa有2個交點,作出直線yxa與函數(shù)f(x)的圖象,如圖所示,由圖可知,a1,解得a1.答案C12