2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第三章 三角函數(shù)、解三角形 第六節(jié) 解三角形學(xué)案 文（含解析）新人教A版

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1、第六節(jié)解三角形2019考綱考題考情1正弦定理2R其中2R為ABC外接圓直徑。變式：a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC。abcsinAsinBsinC。2余弦定理a2b2c22bccosA；b2a2c22accosB；c2a2b22abcosC。變式：cosA；cosB；cosC。sin2Asin2Bsin2C2sinBsinCcosA。3解三角形(1)已知三邊a，b，c。運(yùn)用余弦定理可求三角A，B，C。(2)已知兩邊a，b及夾角C。運(yùn)用余弦定理可求第三邊c。(3)已知兩邊a，b及一邊對(duì)角A。先用正弦定理，求sinB，sinB。A為銳角時(shí)，若absinA，無解；若absinA，一解；

2、若bsinAab，一解。(4)已知一邊a及兩角A，B(或B，C)用正弦定理，先求出一邊，后求另一邊。4三角形常用面積公式(1)Saha(ha表示a邊上的高)。(2)SabsinCacsinBbcsinA。(3)Sr(abc)(r為內(nèi)切圓半徑)。在ABC中，常有以下結(jié)論：1ABC。2任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。3sin(AB)sinC；cos(AB)cosC；tan(AB)tanC；sincos；cossin。4三角形中的射影定理在ABC中，abcosCccosB；bacosCccosA；cbcosAacosB。一、走進(jìn)教材1(必修5P10A組T4改編)在ABC中，AB5，A

3、C3，BC7，則BAC()ABCD解析因?yàn)樵贏BC中，設(shè)ABc5，ACb3，BCa7，所以由余弦定理得cosBAC，因?yàn)锽AC為ABC的內(nèi)角，所以BAC。故選C。答案C2(必修5P24A組T6改編)如圖，設(shè)點(diǎn)A，B在河的兩岸，一測(cè)量者在A的同側(cè)所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出A，C兩點(diǎn)間的距離為50 m，ACB45，CAB105，則A，B兩點(diǎn)間的距離為()A mB25 mC50 mD50 m解析在ABC中，ABC30，由正弦定理得，即，所以AB50(m)，故選C。答案C二、走近高考3(2018全國(guó)卷)在ABC中，cos，BC1，AC5，則AB()A4BCD2解析因?yàn)閏osC2cos21221，所以

4、c2a2b22abcosC12521532，所以c4。故選A。答案A4(2017全國(guó)卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c。已知sinBsinA(sinCcosC)0，a2，c，則C()ABCD解析因?yàn)閟inBsinA(sinCcosC)0，所以sin(AC)sinAsinCsinAcosC0，所以sinAcosCcosAsinCsinAsinCsinAcosC0，整理得sinC(sinAcosA)0，因?yàn)閟inC0，所以sinAcosA0，所以tanA1，因?yàn)锳(0，)，所以A，由正弦定理得sinC，因?yàn)?Cb，則AB，所以B為銳角，故B45。答案456在ABC中，a2，b3，C6

5、0，則c_，ABC的面積等于_。解析易知c，ABC的面積等于23。答案7在ABC中，角A，B，C滿足sinAcosCsinBcosC0，則三角形的形狀為_。解析由已知有cosC(sinAsinB)0，所以有cosC0或sinAsinB，解得C90，或AB。答案直角三角形或等腰三角形第1課時(shí)正弦定理和余弦定理考點(diǎn)一利用正、余弦定理解三角形【例1】(2018天津高考)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c。已知bsinAacos。(1)求角B的大??；(2)設(shè)a2，c3，求b和sin(2AB)的值。解(1)在ABC中，由正弦定理，可得bsinAasinB，又由bsinAacos，得asi

6、nBacos，即sinBcos，可得tanB。又因?yàn)锽(0，)，可得B。(2)在ABC中，由余弦定理及a2，c3，B，有b2a2c22accosB7，故b。由bsinAacos，可得sinA。因?yàn)閍b，則B()ABCD(2)(2019河南鄭州質(zhì)量預(yù)測(cè))在ABC中，ABC90，延長(zhǎng)AC到D，使得CDAB1，若CBD30，則AC_。解析(1)由正弦定理得，sinAsinBcosCsinCsinBcosAsinB，因?yàn)閟inB0，所以sinAcosCsinCcosA，即sin(AC)，所以sinB。已知ab，所以B不是最大角，所以B。(2)設(shè)ACx(x0)，在BCD中，由正弦定理得，所以BD2sin

7、BCD，又sinBCDsinACB，所以BD。在ABD中，(x1)2122cos(9030)，化簡(jiǎn)得x22x，即x32，故x，故AC。答案(1)A(2)考點(diǎn)二判斷三角形形狀【例2】(1)在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，(bca)(bca)3bc，則ABC的形狀是()A直角三角形B等腰非等邊三角形C等邊三角形D鈍角三角形(2)已知ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若2c，則ABC的形狀是()A等邊三角形B銳角三角形C等腰直角三角形D鈍角三角形解析(1)因?yàn)?，所以。所以bc。又(bca)(bca)3bc，所以b2c2a2bc，所以cosA。因?yàn)锳(0，)，所以A。所

8、以ABC是等邊三角形。(2)因?yàn)?c，所以由正弦定理可得2sinC，而22，當(dāng)且僅當(dāng)sinAsinB時(shí)取等號(hào)。所以2sinC2，即sinC1。又sinC1，故可得sinC1，所以C90。又因?yàn)閟inAsinB，所以AB。故三角形為等腰直角三角形。故選C。答案(1)C(2)C判斷三角形形狀的兩種思路1化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀。2化角：通過三角恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷三角形的形狀。此時(shí)要注意應(yīng)用ABC這個(gè)結(jié)論?！咀兪接?xùn)練】(2019山西太原五中模擬)在ABC中，sin2(a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊)，則ABC的形狀為()A直角三角形B等邊三

9、角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形解析由cosB12sin2得sin2，所以，即cosB。由余弦定理得，即a2c2b22a2，所以a2b2c2。所以ABC為直角三角形，又無法判斷兩直角邊是否相等。故選A。解析：由正弦定理得cosB，又sinAsin(BC)sinBcosCcosBsinC，所以cosBsinCsinBcosCcosBsinC，即sinBcosC0，又sinB0，所以cosC0，又角C為三角形的內(nèi)角，所以C，所以ABC為直角三角形，又無法判斷兩直角邊是否相等。故選A。答案A考點(diǎn)三三角形的面積問題【例3】(2017全國(guó)卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c。已知

10、sinAcosA0，a2，b2。(1)求c；(2)設(shè)D為BC邊上一點(diǎn)，且ADAC，求ABD的面積。解(1)由已知條件可得tan A，A(0，)，所以A，在ABC中，由余弦定理得284c24ccos，即c22c240，解得c6(舍去)，或c4。(2)如圖，由題設(shè)可得CAD，所以BADBACCAD，故ABD面積與ACD面積的比值為1，又ABC的面積為42sinBAC2，所以ABD的面積為。解法一：由余弦定理得cosC，在RtACD中，cosC，所以CD，所以AD，DBCD，所以SABDSACD2sinC。解法二：BAD，由余弦定理得cosC，所以CD，所以AD，所以SABD4sinDAB。解法三：

11、過B作BE垂直AD，交AD的延長(zhǎng)線于E，在ABE中，EAB，AB4，所以BE2，所以BECA，從而可得ADCEDB，所以BDDC，即D為BC中點(diǎn)，所以SABDSABC24sinCAB。三角形面積公式的應(yīng)用原則1對(duì)于面積公式SabsinCacsinBbcsinA，一般是已知哪一個(gè)角就使用哪一個(gè)公式。2與面積有關(guān)的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化。【變式訓(xùn)練】(1)(2018全國(guó)卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c。已知bsinCcsinB4asinBsinC，b2c2a28，則ABC的面積為_。(2)在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，btanBbtan

12、A2ctanB，且a5，ABC的面積為2，則bc的值為_。解析(1)因?yàn)閎sinCcsinB4asinBsinC，由正弦定理得2R，可得sinBsinCsinCsinB4sinAsinBsinC，因?yàn)锽，C(0，)，所以sinBsinC0，即4sinA2，sinA，又b2c2a282bccosA0，所以A且bc，則SABCbcsinA。(2)由正弦定理及btanBbtanA2ctanB，得sinBsinB2sinC，因?yàn)锽(0，)，所以sinB0，即cosAsinBsinAcosB2sinCcosA，亦即sin(AB)2sinCcosA，故sinC2sinCcosA。因?yàn)閟inC0，所以cos

13、A，A(0，)，所以A。由面積公式，知SABCbcsinA2，所以bc8。由余弦定理，知a2b2c22bccosA(bc)23bc，代入可得bc7。答案(1)(2)71(配合例1使用)在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且sincos。(1)求cosB的值；(2)若b2a2ac，求的值。解將sincos兩邊同時(shí)平方得，1sinB，得sinB，故cosB，又sincos0，所以sincos，所以，所以B，故cosB。(2)由余弦定理得b2a2c22accosBa2ac，所以ac2acosBca，所以ca，故。2(配合例1使用)如圖所示，在ABC中，B，D為邊BC上的點(diǎn)，E為AD上的

14、點(diǎn)，且AE8，AC4，CED。(1)求CE的長(zhǎng)；(2)若CD5，求cosDAB的值。解(1)因?yàn)锳EC，所以在AEC中，由余弦定理得AC2AE2CE22AECEcosAEC，所以16064CE28CE，所以CE28CE960，所以CE4(負(fù)值舍去)。(2)在CDE中，由正弦定理得，所以5sinCDE4，所以sinCDE，因?yàn)辄c(diǎn)D在邊BC上，所以CDEB，而ADC，且ADC45，所以ACB150，在ABC中，由余弦定理得AB21236226cos15084，所以AB2。(2)在ACD中，因?yàn)锳CB150，ADC45，所以CAD105，由正弦定理得，所以CD3，又ACD18015030，所以SAC

15、DACCDsinACD2(3)。第2課時(shí)解三角形的綜合應(yīng)用考點(diǎn)一三角形的實(shí)際應(yīng)用【例1】如圖，為了測(cè)量河對(duì)岸A，B兩點(diǎn)之間的距離，觀察者找到一個(gè)點(diǎn)C，從C點(diǎn)可以觀察到點(diǎn)A，B；找到一個(gè)點(diǎn)D，從D點(diǎn)可以觀察到點(diǎn)A，C；找到一個(gè)點(diǎn)E，從E點(diǎn)可以觀察到點(diǎn)B，C；并測(cè)量得到：CD2，CE2，D45，ACD105，ACB48.19，BCE75，E60，則A，B兩點(diǎn)之間的距離為_。解析依題意知，在ACD中，CAD30，由正弦定理得AC2，在BCE中，CBE45，由正弦定理得BC3。因?yàn)樵贏BC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcosACB10，所以AB。答案利用正、余弦定理解決實(shí)際問題的一般步驟

16、1分析理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖。2建模根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在相關(guān)的三角形中，建立一個(gè)解斜三角形的數(shù)學(xué)模型。3求解利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解。4檢驗(yàn)檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問題的解。【變式訓(xùn)練】如圖，高山上原有一條筆直的山路BC，現(xiàn)在又新架設(shè)了一條索道AC，小李在山腳B處看索道AC，發(fā)現(xiàn)張角ABC120；從B處攀登400米到達(dá)D處，回頭看索道AC，發(fā)現(xiàn)張角ADC150；從D處再攀登800米可到達(dá)C處，則索道AC的長(zhǎng)為_米。解析在ABD中，BD400米，ABD120。因?yàn)锳DC150，所以ADB30。所以DA

17、B1801203030。由正弦定理，可得，所以，得AD400(米)。在ADC中，DC800米，ADC150，由余弦定理得AC2AD2CD22ADCDcosADC(400)280022400800cos150400213，解得AC400(米)。故索道AC的長(zhǎng)為400米。答案400考點(diǎn)二解三角形與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用【例2】(2019遼寧五校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)cos2xsin(x)cos(x)。(1)求函數(shù)f(x)在0，上的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)在銳角ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知f(A)1，a2，bsinCasinA，求ABC的面積。解(1)f(x)cos2xsinxcos

18、xsin2xsin，由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，又x0，所以函數(shù)f(x)在0，上的單調(diào)遞減區(qū)間為和。(2)由(1)知f(x)sin，所以f(A)sin1，因?yàn)锳BC為銳角三角形，所以0A，所以2A，所以2A，即A。又bsinCasinA，所以bca24，所以SABCbcsinA。解三角形與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用主要體現(xiàn)在以下兩方面：(1)利用三角恒等變形化簡(jiǎn)三角函數(shù)式進(jìn)行解三角形。(2)解三角形與三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用?！咀兪接?xùn)練】(2019湖南湘東五校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)sin2xcos2x。(1)求f(x)的最小值，并寫出取得最小值時(shí)的自變量x的集合；(2)設(shè)ABC的內(nèi)角A，

19、B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且c，f(C)0，若sinB2sinA，求a，b的值。解(1)f(x)sin2xsin2x1sin1。當(dāng)2x2k，即xk(kZ)時(shí)，f(x)的最小值為2，此時(shí)自變量x的集合為。 (2)因?yàn)閒(C)0，所以sin10，又0C0，所以A。于是sinAsinCsinAsinsinAcos2A2sin2AsinA122。因?yàn)?A，所以0sinA，因此0，c0，所以1，則4ac(4ac)552 9，當(dāng)且僅當(dāng)c2a時(shí)取等號(hào)，故4ac的最小值為9。(2)因?yàn)?，所?2cb)，由正弦定理得sinBsinAcosB(2sinCsinB)sinBcosA，又sinB0，所以sinA

20、cosB(2sinCsinB)cosA，所以sinAcosBsinBcosA2sinCcosA，sin(AB)2sinCcosA，即sinC2sinCcosA，又sinC0，所以cosA，sinA。設(shè)外接圓的半徑為r，則r1，由余弦定理得bcb2c2a2b2c2(2rsinA)2b2c232bc3(當(dāng)且僅當(dāng)bc時(shí)，等號(hào)成立)，所以bc3，所以SABCbcsinAbc。答案(1)9(2)1.(配合例3使用)如圖，在ABC中，B，AB8，點(diǎn)D在邊BC上，且CD2，cosADC。(1)求sinBAD；(2)求BD，AC的長(zhǎng)。解(1)在ADC中，因?yàn)閏osADC，所以sinADC，則sinBADsin

21、(ADCB)sinADCcosBcosADCsinB。(2)在ABD中，由正弦定理得BD3。在ABC中，由余弦定理得AC2AB2CB22ABBCcosB825228549，即AC7。2(配合例4使用)已知ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且acosCccosAbsinB，A，如圖，若點(diǎn)D是ABC外一點(diǎn)，DC2，DA3，則當(dāng)四邊形ABCD面積最大時(shí)，sinD_。解析由acosCccosAbsinB及余弦定理得acbsinB，即bbsinBsinB1B，又CAB，所以ACB。BCa，則ABa，AC2a，則SABCaaa2。在ACD中，cosD，所以a2。又SACDADCDsinD3s

22、inD，所以S四邊形ABCDSABCSACDa23sinD3sinD3sinDcosDsin(D)，所以當(dāng)D，即D時(shí)，S四邊形ABCD最大，此時(shí)sinDsincos。答案縱觀近幾年的高考試題和高考模擬試題，不難發(fā)現(xiàn)在三角函數(shù)和三角形中求最值問題成為其中一個(gè)亮點(diǎn)，本文從求三角函數(shù)的最值、三角形中的最值兩個(gè)方面舉例說明，希望對(duì)高考備考有所幫助。類型一三角函數(shù)的最值1.可化為“yAsin(x)B”型的最值問題【例1】(2018北京高考)已知函數(shù)f(x)sin2xsinxcosx。(1)求f(x)的最小正周期；(2)若f(x)在區(qū)間上的最大值為，求m的最小值。解(1)f(x)cos2xsin2xsin

23、。所以f(x)的最小正周期為T。(2)由(1)知f(x)sin。由題意知xm。所以2x2m。要使得f(x)在上的最大值為，即sin在上的最大值為1。所以2m，即m。所以m的最小值為?；癁閥Asin(x)B的形式求最值時(shí)，特別注意自變量的取值范圍對(duì)最大值、最小值的影響，可通過比較閉區(qū)間端點(diǎn)的取值與最高點(diǎn)、最低點(diǎn)的取值來確定函數(shù)的最值。【變式訓(xùn)練】函數(shù)f(x)3sinx4cosx，x0，的值域?yàn)開。解析f(x)3sinx4cosx55sin(x)，其中cos，sin，00時(shí)，t1時(shí)，y取最小值，ymina；當(dāng)a0時(shí)，t1時(shí)，y取最小值，ymina?？苫癁閥f(sinx)(或yf(cosx)型三角函

24、數(shù)的最值或值域可通過換元法轉(zhuǎn)為其他函數(shù)的最值或值域?！咀兪接?xùn)練】(1)若函數(shù)f(x)cos2xasinx在區(qū)間上的最小值大于零，則a的取值范圍是_。(2)求函數(shù)y的值域。(1)解析因?yàn)閒(x)12sin2xasinx，令sinxt，因?yàn)閤，故t，則函數(shù)f(t)2t2at1是開口向下，對(duì)稱軸為t的拋物線，由于f(1)a1，f(a1)，結(jié)合圖象可知，a1。答案(1，)(2)解因?yàn)閥2cos2x2cosx22，于是當(dāng)且僅當(dāng)cosx1時(shí)，ymax4。但cosx1，所以y4。且ymin，當(dāng)且僅當(dāng)cosx時(shí)取得。故函數(shù)值域?yàn)?。類型二三角形中的最?.求角的三角函數(shù)值的最值【例3】在ABC中，a2c2b2a

25、c。(1)求B的大??；(2)求cosAcosC的最大值。解(1)由余弦定理和已知條件可得cosB，又因?yàn)?B，所以B。(2)由(1)知AC，所以cosAcosCcosAcoscosAcosAsinAcosAsinAcos。因?yàn)?A，所以，當(dāng)A時(shí)，cosAcosC取得最大值1。本題主要考查了余弦定理、三角形內(nèi)角和定理、輔助角公式以及三角函數(shù)的最值；解此類問題的關(guān)鍵是熟練地運(yùn)用余弦定理、兩角差的正余弦公式以及輔助角公式?！咀兪接?xùn)練】若ABC的內(nèi)角滿足sinAsinB2sinC，則cosC的最小值是_。解析由sinAsinB2sinC，結(jié)合正弦定理可得ab2c，所以cosC(ab時(shí)取等號(hào))，故cos

26、C的最小值是。答案2求邊的最值【例4】(2019石家莊市模擬)如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)位于四邊形的內(nèi)部，ABBC1，ACCD，ACCD，當(dāng)ABC變化時(shí)，BD的最大值為_。解析設(shè)ACB，則ABC2，DCB，由余弦定理可知，AC2AB2BC22ABBCcosABC，即ACDC2cos，由余弦定理知，BD2BC2DC22BCDCcosDCB，即BD24cos21212coscos2cos22sin232sin3。由0，可得2，則(BD2)max23，此時(shí)，因此(BD)max1。答案1邊的最值一般通過三角形中的正、余弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)值，再結(jié)合角的范圍求解。有時(shí)也可利用均值不等式求解

27、?！咀兪接?xùn)練】在ABC中，B60，AC，則AB2BC的最大值為_。解析因?yàn)椋訟B2sinC，BC2sinA，因此AB2BC2sinC4sinA2sin4sinA5sinAcosA2sin(A)，因?yàn)?0,2)，A，所以AB2BC的最大值為2。答案23求三角形面積的最值【例5】(2019南昌市聯(lián)考)在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AC8，AB2AD，BAD60，則BCD的面積的最大值為_。解析設(shè)ADt，因?yàn)锳B2AD，BAD60，由余弦定理得BD24t2t222ttcos603t2，所以BDt，所以AB2BD2AD2，所以ADB90，即AB為四邊形ABCD外接圓的直徑，如圖，設(shè)BAC(060)，因

28、為ACB90，AC8，所以BC8tan，AB，所以BD，又CBD60，所以BCD的面積S8tansin(60)(060)，所以S24tan8tan2(060)，所以tan時(shí)S取得最大值6。答案6利用三角函數(shù)的有關(guān)公式，結(jié)合三角形的面積公式及正、余弦定理，將問題轉(zhuǎn)化為邊或角的關(guān)系，利用函數(shù)或不等式是一種解決此類問題的常規(guī)方法。【變式訓(xùn)練】在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且2ccosB2ab，若ABC的面積Sc，則ab的最小值為()A28 B36C48 D56解析在ABC中，2ccosB2ab，由正弦定理，得2sinCcosB2sinAsinB。又A(BC)，所以sinAsin(BC)sin(BC)，所以2sinCcosB2sin(BC)sinB2sinBcosC2cosBsinCsinB，得2sinBcosCsinB0，因?yàn)閟inB0，所以cosC，又0C，所以C。由ScabsinCab，得c。由余弦定理得，c2a2b22abcosCa2b2ab2abab3ab(當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào))，所以23ab，得ab48，所以ab的最小值為48。故選C。答案C23