2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.2.2.2 函數(shù)奇偶性的應(yīng)用學(xué)案 新人教A版必修第一冊(cè)

《2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.2.2.2 函數(shù)奇偶性的應(yīng)用學(xué)案 新人教A版必修第一冊(cè)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.2.2.2 函數(shù)奇偶性的應(yīng)用學(xué)案 新人教A版必修第一冊(cè)（13頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第2課時(shí)函數(shù)奇偶性的應(yīng)用1掌握用奇偶性求解析式的方法2理解奇偶性對(duì)單調(diào)性的影響并能用以解不等式3理解函數(shù)的奇偶性的推廣對(duì)稱性奇函數(shù)、偶函數(shù)的性質(zhì)(1)若一個(gè)奇函數(shù)在原點(diǎn)處有定義，即f(0)有意義，則一定有f(0)0.(2)若f(x)是奇函數(shù)，則f(x)在其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性一致(3)若f(x)是偶函數(shù)，則f(x)在其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相反1觀察下圖，思考以下問(wèn)題：(1)奇函數(shù)、偶函數(shù)在原點(diǎn)處一定有定義嗎？若有定義，f(0)的值能確定嗎？(2)函數(shù)的奇偶性如何影響函數(shù)的單調(diào)性？答案(1)不一定奇函數(shù)在原點(diǎn)處有定義，則f(0)0；偶函數(shù)在原點(diǎn)處有定義，f(0)的值不確定(2)奇函數(shù)

2、在對(duì)稱區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上具有相反的單調(diào)性2判斷正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)函數(shù)f(x)0，xR既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)()(2)在公共的定義域內(nèi)，若f(x)為奇函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，則f(x)g(x)為奇函數(shù)()(3)偶函數(shù)f(x)在x0時(shí)有意義，則f(0)0.()(4)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)的必要不充分條件是f(0)0.()答案(1)(2)(3)(4)題型一利用奇偶性求函數(shù)的解析式【典例1】已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)2x23x1，求：(1)f(0)；(2)當(dāng)x0時(shí)的解析式，確定x0時(shí)的解析式解(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在

3、R上的奇函數(shù)，所以f(0)f(0)，即f(0)0.(2)當(dāng)x0，f(x)2(x)23(x)12x23x1.由于f(x)是奇函數(shù)，故f(x)f(x)，所以f(x)2x23x1，x0.(3)函數(shù)f(x)在R上的解析式為f(x)變式若將本例中的奇函數(shù)改為偶函數(shù)，其他條件不變，求當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)f(x)的解析式解當(dāng)x0，f(x)2(x)23(x)12x23x1.f(x)是偶函數(shù)，f(x)f(x)f(x)2x23x1，x0時(shí)，f(x)2x1，求函數(shù)f(x)的解析式解當(dāng)x0，f(x)2(x)12x1.又f(x)是奇函數(shù)，f(x)f(x)，f(x)2x1.又f(x)(xR)是奇函數(shù)，f(0)f(0)，即f(0

4、)0.所求函數(shù)的解析式為f(x)題型二函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性【典例2】(1)已知函數(shù)yf(x)是定義在R上的偶函數(shù)，在2,6上是減函數(shù)，比較f(5)與f(3)的大小；(2)設(shè)定義在2,2上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間0,2上是減函數(shù)，若f(1m)f(m)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍思路導(dǎo)引(1)利用函數(shù)奇偶性，得f(5)f(5)，將自變量的取值轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)來(lái)比較大??；(2)利用偶數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相反，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為自變量取值與原點(diǎn)距離的大小問(wèn)題求解解(1)因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以f(5)f(5)，因?yàn)閒(x)在2,6上是減函數(shù)，所以f(5)f(3)，所以f(5)f(3)(2)因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，

5、所以f(x)f(x)f(|x|)所以不等式f(1m)f(m)可轉(zhuǎn)化為f(|1m|)f(|m|)又當(dāng)x0,2時(shí)，f(x)是減函數(shù)，所以解得1m.即m的取值范圍是.奇偶性與單調(diào)性綜合問(wèn)題的2種類型(1)比較大?。嚎醋宰兞渴欠裨谕粏握{(diào)區(qū)間上在同一單調(diào)區(qū)間上，直接利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小；不在同一單調(diào)區(qū)間上，需利用函數(shù)的奇偶性把自變量轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，然后利用單調(diào)性比較大小(2)解不等式利用已知條件，結(jié)合函數(shù)的奇偶性，把已知不等式轉(zhuǎn)化為f(x1)f(x2)的形式；根據(jù)奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性一致，偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相反，脫掉不等式中的“f”轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單不等式求解針對(duì)訓(xùn)練2如果奇函數(shù)f(x)

6、的區(qū)間7，3上是減函數(shù)且最大值為5，那么函數(shù)f(x)在區(qū)間3,7上是()A增函數(shù)且最小值為5B增函數(shù)且最大值為5C減函數(shù)且最小值為5D減函數(shù)且最大值為5解析f(x)為奇函數(shù)，f(x)在3,7上的單調(diào)性與7，3上一致，且f(7)為最小值又已知f(7)5，f(7)f(7)5，選C.答案C3奇函數(shù)f(x)是定義在(1,1)上的減函數(shù)，若f(m1)f(32m)0，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解原不等式化為f(m1)f(32m)因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(m1)2m3，所以m2.又f(x)的定義域?yàn)?1,1)，所以1m11且132m1，所以0m2且1m2，所以1m2.綜上得1m0時(shí)，f(x)x1，則當(dāng)x0時(shí)，f

7、(x)的解析式為()Af(x)x1Bf(x)x1Cf(x)x1Df(x)x1解析設(shè)x0.f(x)x1，又函數(shù)f(x)是奇函數(shù)f(x)f(x)x1，f(x)x1(xf(3)f(2)Bf()f(2)f(3)Cf(3)f(2)f()Df(3)f()f(2)解析f(x)是R上的偶函數(shù)，f(2)f(2)，f()f()，又f(x)在0，)上單調(diào)遞增，且23f(3)f(3)f(2)答案A3已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間0，)上單調(diào)遞增，則滿足f(2x1)f的x的取值范圍為()A. B.C. D.解析由于f(x)為偶函數(shù)，且在0，)上單調(diào)遞增，則不等式f(2x1)f，即2x1，解得x1時(shí)，f(x)0，且f(2)1.

8、(1)試判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；(2)判斷函數(shù)f(x)在(0，)上的單調(diào)性；(3)求函數(shù)f(x)在區(qū)間4,0)(0,4上的最大值；(4)求不等式f(3x2)4的解集解(1)令xy1，則f(11)f(1)f(1)，得f(1)0；再令xy1，則f(1)(1)f(1)f(1)，得f(1)0.對(duì)于條件f(xy)f(x)f(y)，令y1，則f(x)f(x)f(1)，f(x)f(x)又函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)f(x)為偶函數(shù)(2)任取x1，x2(0，)，且x11.又當(dāng)x1時(shí)，f(x)0，f0.而f(x2)ff(x1)ff(x1)，函數(shù)f(x)在(0，)上是增函數(shù)(3)f(4)f(22)f(

9、2)f(2)，又f(2)1，f(4)2.又由(1)(2)知函數(shù)f(x)在區(qū)間4,0)(0,4上是偶函數(shù)，且在(0,4上是增函數(shù)，函數(shù)f(x)在區(qū)間4,0)(0,4上的最大值為f(4)f(4)2.(4)422f(4)f(4)f(16)，原不等式轉(zhuǎn)化為f(3x2)f(16)又函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且函數(shù)f(x)在(0，)上是增函數(shù)，原不等式又轉(zhuǎn)化為|3x2|16，即3x216或3x216，不等式f(3x2)4的解集為x.點(diǎn)評(píng)對(duì)于抽象函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的判斷，定義法是一種常用手段具體的解題策略是：首先通過(guò)賦值得到f(1)，f(0)，f(1)之類的特殊自變量的函數(shù)值，然后再通過(guò)賦值構(gòu)造f(x)與f(x

10、)或f(x2)與f(x1)之間的關(guān)系式進(jìn)行函數(shù)奇偶性或單調(diào)性的判斷課后作業(yè)(二十二)復(fù)習(xí)鞏固一、選擇題1下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又是在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞減的函數(shù)為()AyByCyx2Dy2x解析易判斷A、C為偶函數(shù)，B、D為奇函數(shù)，但函數(shù)yx2在(0，)上單調(diào)遞增，所以選A.答案A2已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)x22x，則f(x)在R上的表達(dá)式是()Ayx(x2)Byx(|x|2)Cy|x|(x2)Dyx(|x|2)解析由x0時(shí)，f(x)x22x，f(x)是定義在R上的奇函數(shù)得，當(dāng)x0，f(x)f(x)(x22x)x(x2)f(x)即f(x)x(|x|2)答案D3若函

11、數(shù)f(x)ax2(2a)x1是偶函數(shù)，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A(，0B0，)C(，)D1，)解析因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以a20，a2，即該函數(shù)f(x)2x21，所以函數(shù)f(x)在(，0上單調(diào)遞增答案A4f(x)是定義在R上的奇函數(shù)且單調(diào)遞減，若f(2a)f(4a)0，則a的取值范圍是()Aa1Ba1Da3解析f(x)在R上為奇函數(shù)，f(2a)f(4a)0轉(zhuǎn)化為f(2a)a4，得a3.答案B5奇函數(shù)f(x)在區(qū)間3,6上是增函數(shù)，在區(qū)間3,6上的最大值為8，最小值為1，則f(6)f(3)的值為()A10B10C9D15解析由于f(x)在3,6上為增函數(shù)，f(x)的最大值為f(6)8，f

12、(x)的最小值為f(3)1，f(x)為奇函數(shù)，故f(3)f(3)1，f(6)f(3)819.答案C二、填空題6已知yf(x)是奇函數(shù)，若g(x)f(x)2且g(1)1，則g(1)_.解析因?yàn)間(x)f(x)2，g(1)1，所以1f(1)2，所以f(1)1，又因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(1)1，則g(1)f(1)23.答案37設(shè)函數(shù)yf(x)是偶函數(shù)，它在0,1上的圖象如圖則它在1,0)上的解析式為_(kāi)解析由題意知f(x)在1,0)上為一條線段，且過(guò)(1,1)，(0,2)，設(shè)f(x)kxb(1x0)，代入解得k1，b2，所以f(x)x2(1x0)答案f(x)x2(1x0時(shí)，f(x)x22x1，求

13、函數(shù)f(x)的解析式解當(dāng)x0，f(x)(x)22x1.f(x)是奇函數(shù)，f(x)f(x)，f(x)x22x1，f(x)(xR)是奇函數(shù)，f(0)0.所求函數(shù)的解析式為f(x)10設(shè)f(x)在R上是偶函數(shù)，在(，0)上遞減，若f(a22a3)f(a2a1)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解由題意知f(x)在(0，)上是增函數(shù)又a22a3(a1)220，a2a120，且f(a22a3)f(a2a1)，所以a22a3a2a1，解得a.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.綜合運(yùn)用11若f(x)滿足f(x)f(x)在區(qū)間(，1上是增函數(shù)，則()Aff(1)f(2)Bf(1)ff(2)Cf(2)f(1)fDf(2)ff(1)解

14、析由已知可得函數(shù)f(x)在區(qū)間1，)上是減函數(shù)，ff，f(1)f(1)1ff(2)，即f(2)ff(1)答案D12若定義在R上的偶函數(shù)f(x)和奇函數(shù)g(x)滿足f(x)g(x)x23x1，則f(x)()Ax2B2x2C2x22Dx21解析因?yàn)閒(x)g(x)x23x1, 所以f(x)g(x)x23x1.又f(x)為偶函數(shù)，f(x)f(x)；g(x)為奇函數(shù)，g(x)g(x)，所以f(x)g(x)x23x1. 聯(lián)立可得f(x)x21.答案D13已知函數(shù)f(x)是定義在x|x0上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)的遞減區(qū)間是_解析當(dāng)x0時(shí)，f(x)的遞減區(qū)間是.答案14若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函

15、數(shù)，在(，0上是減函數(shù)，且f(2)0，則使得f(x)0的x的取值范圍是_解析由題意知f(2)f(2)0，當(dāng)x(2,0)時(shí)，f(x)f(2)0，由對(duì)稱性知，x0,2)時(shí)，f(x)為增函數(shù)，f(x)f(2)0，故x(2,2)時(shí)，f(x)0.答案(2,2)15定義在R上的函數(shù)f(x)，滿足對(duì)x1，x2R，有f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；(2)如果f(4)1，f(x1)2，且f(x)在0，)上是增函數(shù)，試求實(shí)數(shù)x的取值范圍解(1)令x1x20，得f(0)0，令x1x，x2x，得f(0)f(x)f(x)0，即f(x)f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)(2)因?yàn)閒(4)1，所以f(8)f(4)f(4)2，所以原不等式化為f(x1)f(8)又因?yàn)閒(x)在0，)上是增函數(shù)，f(0)0且f(x)是奇函數(shù)，所以f(x)在(，)上是增函數(shù)，因此x18，所以x9，所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是(，9)13