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1、第3課時 子集、全集、補集
教學過程
一、 問題情境
觀察以下各組集合,說說集合A與集合B的關(guān)系(共性).
(1) A={-1, 1}, B={-1, 0, 1, 2};
(2) A=N, B=R;
(3) A={x|x為北京人},B={x|x為中國人}.
二、 數(shù)學建構(gòu)
(一) 生成概念
問題1 集合A中的元素與集合B中的元素有什么關(guān)系?
(引導學生說出:集合A中的元素都在集合B中)
問題2 集合A與集合B有什么關(guān)系?
(得出集合A與B的關(guān)系,引導學生概括子集、真子集的定義)
子集:一般地,對于兩個集合A與B,如果集合A的任意一個元素都是集合B的元素(假設(shè)a
2、∈A,那么a∈B),那么集合A稱為集合B的子集,
(圖1)
記作A?B或B?A,讀作“集合A包含于集合B〞或“集合B包含集合A〞.(參見圖1)
真子集:對于兩個集合A與B,如果A?B,并且A≠B,那么集合A稱為集合B的真子集,記作A?B或B?A,讀作“A真包含于B〞或“B真包含A〞.如{a}?{a, b}.
(二) 理解概念
(1) 子集概念理解:關(guān)鍵詞是“任意〞、“都是〞.
(2) 真子集概念理解:假設(shè)A?B,且存在b∈B,但b?A,那么稱集合A是集合B的真子集.
(3) 注意子集與真子集符號及符號方向的異同點.
(4) 空集是任何集合的子集,即??A.
(5) 空集是
3、任何非空集合的真子集,即??A(其中A≠?).
(6) 任何一個集合是它本身的子集,即A?A.
(7) 易混符號:
① “∈〞與“?〞:∈表示元素與集合之間的屬于關(guān)系,?表示集合與集合之間的包含關(guān)系.
如:1∈N, -1?N, N?R, ??R, {1}?{1, 2, 3}.
② {0}與?:{0}是含有一個元素0的集合,?是不含任何元素的集合.
如:??{0}不能寫成?={0},也不能寫成?∈{0}.
三、 數(shù)學運用
【例1】 (根據(jù)教材P8例1改編)寫出集合{a, b}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集. (見學生用書課堂本P5)
[處理建議] 強調(diào)“所有〞兩字.
4、
[標準板書] 解 集合{a, b}的所有子集是?,{a},, {a, b},其中真子集有?, {a}, .
[題后反思] 尋求子集、真子集的主要依據(jù)是定義,最好按照規(guī)律寫才能防止重漏現(xiàn)象,但?特別要注意,容易漏寫.
變式1 (教材P9練習第1(3)題)寫出集合{1, 2, 3}的所有子集.
[標準板書] 解 ?,{1},{2},{3},{1, 2},{1, 3},{2, 3},{1, 2, 3}.
[題后反思] 寫所有子集時,最好按照規(guī)律(如集合中元素的個數(shù)遞增等)寫才能防止重漏現(xiàn)象,但?特別要注意,容易漏寫.
變式2 (1) 集合{a, b, c, d}的所有子集
5、的個數(shù)是多少? (2) 集合{a1, a2, …, an}的所有子集的個數(shù)是多少?
[標準板書] 解 (1) 24=16; (2) 2n.
[題后反思] 推廣:如果一個集合的元素有n個,那么這個集合的子集有2n個,真子集有2n-1個,非空真子集有2n-2個.
【例2】 (教材P8例2)以下各組的3個集合中,哪2個集合之間具有包含關(guān)系?
(1) S={-2, -1, 1, 2}, A={-1, 1}, B={-2, 2};
(2) S=R, A={x|x≤0, x∈R}, B={x|x>0, x∈R};
(3) S={x|x為地球人},A={x|x為中國人},B={x|x為外國人}
6、.(見學生用書課堂本P5)
[處理建議] 利用數(shù)形結(jié)合思想,通過Venn圖或數(shù)軸輔助,幫助學生觀察得出結(jié)論.
[標準板書] 解 在(1)(2)(3)中都有A?S, B?S.
問題3 觀察上述A, B, S三個集合,它們之間還存在著怎樣的關(guān)系?
(A和B中的所有元素共同構(gòu)成了集合S,且S中除去A中元素即為B中元素;反之亦然)
問題4 請同學們舉出類似的例子.
(如A={班上男同學},B={班上女同學},S={全班同學}.通過舉例分析,讓學生觀察并概括出補集、全集的概念)
補集:設(shè)A?S,由S中不屬于A的所有元素組成的集合稱為S的子集A的補集,
(圖2)
記作?SA(讀作“
7、A在S中的補集〞),即?SA={x|x∈S,且x?A}.(參見圖2)
全集:如果集合S包含我們所要研究的各個集合的全部元素,這時集合S就可以看做一個全集,全集通常記作U.
變式 (1) 假設(shè)S={2, 3, 4}, A={4, 3},那么?SA= ;?
(2) 假設(shè)S={三角形},B={銳角三角形},那么?SB= ;?
(3) 假設(shè)S={1, 2, 4, 8},A=?,那么?SA= ;?
(4) 假設(shè)U={1, 3, a2+2a+1},A={1, 3},?UA={4},那么a= ;?
(5) A={0, 2, 4},?UA={-1, 1},?UB={-1,
8、0, 2},那么B= ;?
(6) 設(shè)全集U={2, 3, m2+2m-3}, A={|m+1|, 2},?UA={5},求實數(shù)m的值.
[標準板書] 解 (1) {2}; (2) {直角三角形或鈍角三角形}; (3) {1, 2, 4, 8}; (4) -3; (5) {1, 4}; (6) 由題意得m2+2m-3=5且|m+1|=3,解得m=-4或m=2.
[題后反思] 第(1)題主要是比擬集合A與S的區(qū)別;第(2)題要注意三角形的分類;第(3)題要注意空集定義的運用;第(4)題利用集合中元素的特征;第(5)題利用Venn圖;第(6)題注意補集定義的運用.
【例3】 (1)
9、 假設(shè)不等式組的解集為A,試求A和?RA,并把它們分別在數(shù)軸上表示出來;
(2) 設(shè)全集U=R, A={x|x>1}, B={x|x+a<0},假設(shè)B是?UA的真子集,求實數(shù)a的取值范圍. (見學生用書課堂本P6)
[處理建議] 利用數(shù)軸表示不等式確定的數(shù)集的運算.
[標準板書] 解 (1) A=, ?RA=,數(shù)軸表示略.
(2) 由題意可得B={x|x<-a}, ?UA={x|x≤1}.
∵ B是?UA的真子集(如圖),∴ -a≤1,即a≥-1.
(例3(2))
[題后反思] 利用數(shù)軸或Venn圖輔助解題,能很好地解決集合之間的運算.
變式 設(shè)全集U=R,假設(shè)A={x|3m-
10、1
11、系:
(1) A={濟南人},B={山東人};
(2) A=N*, B=R;
(3) A={1, 2, 3, 4}, B={0, 1, 2, 3, 4, 5};
(4) A={本校田徑隊隊員},B={本校長跑隊隊員};
(5) A={11月份的公休日},B={11月份的星期六或星期天}.
解 (1) A?B; (2) A?B; (3) A?B; (4) A?B; (5) A?B.
2. 集合A={a, b, c},那么滿足P?A的集合P的個數(shù)是多少?
解 8.
3. 設(shè)集合A={x|x=3m, m∈Z}, B={x|x=6k, k∈Z},那么集合A, B之間是什么關(guān)系?
解 A?B.
五、 課堂小結(jié)
1. 對于存在子集關(guān)系的兩個集合,能夠判斷誰是誰的子集,以及進一步確定它們是否具有真子集關(guān)系.
2. 兩個集合包含關(guān)系確實定主要根據(jù)其元素與集合的關(guān)系來說明.
3. 集合之間的關(guān)系常借助數(shù)軸或Venn圖來描述.
2015年秋高一數(shù)學蘇教版必修一教案： 第3課時《子集、全集、補集》
