陜西省高中數(shù)學(xué) 第一章 計(jì)數(shù)原理 怎樣學(xué)好組合拓展資料素材 北師大版選修2-3

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1、怎樣學(xué)好組合組合與排列是計(jì)算有關(guān)完成某項(xiàng)工作的方法種數(shù)的知識(shí)，是當(dāng)今快速發(fā)展著的組合數(shù)學(xué)的最初步、最基本的知識(shí)。它不僅應(yīng)用廣泛，也是學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)以及進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)有關(guān)分支的預(yù)備知識(shí)，而且由于其思維方法的新穎性與獨(dú)特性，也是培養(yǎng)思維能力的不可多得的好素材。一、掌握正確的學(xué)習(xí)方法1這一部分內(nèi)容的概念性強(qiáng)、靈活性強(qiáng)、抽象性強(qiáng)，思想方法獨(dú)特，解題過程出現(xiàn)“重復(fù)”“遺漏”現(xiàn)象難以覺察。針對這一問題，首先要系統(tǒng)、準(zhǔn)確地掌握知識(shí)方法，在此基礎(chǔ)上，要通過大量具體、形象的事例進(jìn)行比較、分析、歸納、總結(jié)，要做到抽象問題具體化，困難問題簡單化，通過分門別類，建構(gòu)好數(shù)學(xué)模型，使思維有據(jù)可依，做到更系統(tǒng)、更富有

2、邏輯性。2、在學(xué)習(xí)了排列之后，再學(xué)習(xí)組合時(shí)，要注意對易混淆的知識(shí)如排列與組合、組合與組合數(shù)等進(jìn)行類比，應(yīng)著眼于搞清它們之間的區(qū)別與聯(lián)系；要注意公式的特征和運(yùn)用的前提條件；要注意體會(huì)解決應(yīng)用題的思考方法：分類討論、等價(jià)轉(zhuǎn)換、整體思想、正難則反等數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用； 3、關(guān)于組合的應(yīng)用題，初學(xué)的同學(xué)常常會(huì)感到困難，其主要原因是：（1）不易分清具體問題是排列問題還是組合問題；（2）具體問題如何歸結(jié)為組合問題，具體問題中的“元素”指的是什么？m和n各是什么？學(xué)習(xí)時(shí)，要立足于基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法、基本問題的學(xué)習(xí)，抓住典型例題，從不同角度、不同側(cè)面對題目進(jìn)行全面分析，認(rèn)真思考、研究，搞深搞透，進(jìn)行多種解法訓(xùn)練，

3、結(jié)合典型的錯(cuò)解分析，查找思維的缺陷，提高分析解決問題的能力。二、理解組合及組合數(shù)的定義1、組合的定義：一般地說，從n個(gè)不同的元素中取出m(mn)個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合。對組合定義的理解應(yīng)搞清以下幾點(diǎn)：（1）從定義中可以看出，我們只研究取出的m個(gè)元素是互不相同的情況，也就是只研究相異元素不許重復(fù)的組合。（2）當(dāng)兩個(gè)組合中的元素完全相同時(shí)，不論它們的順序如何都是相同的組合。（3）當(dāng)兩個(gè)組合具備下列之一時(shí)，就是不同的組合：元素完全不同，如abc；def；元素不完全相同（即使只有一個(gè)元素不同），如abc，abd。2、組合數(shù)的定義：從n個(gè)不同的元素中取出m(mn)個(gè)元

4、素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同的元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)表示。三、區(qū)分排列與組合、組合與組合數(shù)1、排列與組合組合與排列的共同點(diǎn)：都是“從n個(gè)不同元素中，任取m個(gè)元素”。不同點(diǎn)：組合是“不管順序并成一組”，只要兩個(gè)組合的元素相同，不論元素的順序如何，都是相同的組合；排列是“按照一定順序排成一列”，只有元素相同且順序也相同的兩個(gè)排列才是相同的。由排列、組合的定義可知，區(qū)分某一問題是排列問題還是組合問題，關(guān)鍵是看選出的元素是否與順序有關(guān)。若交換兩個(gè)元素的位置對結(jié)果有影響，則是排列問題；若交換任意兩個(gè)元素的位置對結(jié)果沒有影響，則是組合問題。先取后排（按一定順序）者是排列問題，只取不排者是

5、組合問題，簡言之，有序排列，無序組合。如：在數(shù)的運(yùn)算中，加、乘運(yùn)算是組合問題，減、除運(yùn)算是排列問題；相互寄信、相互贈(zèng)物是排列問題，相互握手是組合問題；過兩點(diǎn)作線段是組合問題，作射線、向量則是排列問題等等。2、組合與組合數(shù)組合與組合數(shù)是兩個(gè)不同的概念。這里的組合是名詞，而不是動(dòng)詞。一個(gè)組合是指“從n個(gè)不同的元素中取出m(mn)個(gè)元素并成一組”，它不是一個(gè)數(shù)，是具體的一件事，是一種形式；組合數(shù)是指“從n個(gè)不同的元素中取出m(mn)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)”，它是一個(gè)數(shù)。如：從3個(gè)不同元素a，b，c中任取兩個(gè)的組合為ab，bc，ca，其中每一種都叫一個(gè)組合，一共有3種組合，因此組合數(shù)是3。四、掌握組合

6、數(shù)公式及其性質(zhì)1、組合數(shù)公式：（n，mN+且mn）對組合數(shù)公式的理解應(yīng)搞清以下幾點(diǎn)：（1）組合數(shù)公式的推導(dǎo)思路是根據(jù)排列與組合的關(guān)系，依據(jù)乘法原理，將求從n個(gè)不同元素中任取m個(gè)的排列數(shù)分成先求“任取m個(gè)元素分組的組數(shù)”，后求“各組元素的全排列數(shù)”兩步來完成，從而將未知的組合數(shù)公式問題化歸為已經(jīng)解決的排列數(shù)公式問題。組合數(shù)公式的推導(dǎo)思路，在解某些應(yīng)用題時(shí)經(jīng)常用到，要注意認(rèn)真體會(huì)并能靈活應(yīng)用。（2）使用組合數(shù)公式時(shí)，要注意中n，mN+且mn等限制條件。（3）與排列數(shù)公式類似，組合數(shù)也有兩個(gè)公式。第一個(gè)公式中的分子是m個(gè)連續(xù)正整數(shù)的乘積，最大的因數(shù)是n，最小的因數(shù)是n-m+1，分母是m!。當(dāng)m、n為

7、較小的正整數(shù)時(shí)，用此公式計(jì)算組合數(shù)較為方便。第二個(gè)公式是用階乘的形式給出的，當(dāng)m、n的數(shù)值較大時(shí)，借助科學(xué)計(jì)算器，利用公式計(jì)算較為方便；當(dāng)對含有字母的組合數(shù)的式子進(jìn)行變形、討論或證明時(shí)，常常利用此公式進(jìn)行溝通、變形和論證。2、組合數(shù)的性質(zhì)：性質(zhì)1：性質(zhì)2：對兩個(gè)性質(zhì)的幾點(diǎn)說明：（1）性質(zhì)1體現(xiàn)了從n個(gè)不同元素中取m個(gè)元素與從n個(gè)元素取出n-m個(gè)元素是一一對應(yīng)關(guān)系。當(dāng)時(shí)，一般情況下，不計(jì)算而改為計(jì)算較方便。（2）為使性質(zhì)1在m=n時(shí)也能成立，規(guī)定。（3）注意性質(zhì)2的各種變形：，以及在解題中的靈活應(yīng)用。（4）組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)在有關(guān)組合數(shù)的計(jì)算、化簡、證明以及后面將要學(xué)習(xí)的二項(xiàng)式定理中有著廣泛的應(yīng)用

8、。3、常用的組合數(shù)公式（1）。（2）。五、掌握常用的解題方法1、有關(guān)組合問題的題目的背景常以“幾何問題”、“產(chǎn)品質(zhì)量抽樣檢測問題”、“集合問題”、“人或物的有關(guān)分配問題”等形式出現(xiàn)。處理問題時(shí)常常利用分類思想。在解組合問題及組合與排列的綜合問題時(shí)，要注意準(zhǔn)確地應(yīng)用兩個(gè)基本原理；要注意準(zhǔn)確區(qū)分是排列問題還是組合問題；要注意在利用直接法解題的同時(shí)，也要根據(jù)問題的實(shí)際恰當(dāng)?shù)乩瞄g接法解題。2、（1）排列數(shù)與組合數(shù)都是自然數(shù)n的函數(shù)，由它們的等量或不等量求n，就是求方程（組）或不等式（組）的正整數(shù)解的問題，其中上下標(biāo)含有未知數(shù)時(shí)要考慮是否有意義。（2）排列數(shù)公式與組合數(shù)公式都有兩種形式：連乘積形式和階

9、乘形式。前者多用于數(shù)字計(jì)算，后者多用于證明恒等式和變形。要注意公式的逆用，即由寫出。3、組合常見的問題及對策（1）在解組合應(yīng)用題時(shí)，常會(huì)遇到“至少”“最多”“含”等詞，要仔細(xì)審題，理解其含義。（2）有幾何圖形的題目，一定要注意圖形自身對其構(gòu)成元素的限制，解決這類問題常用間接法（或說排除法）。（3）分組分配問題：分組問題和分配問題是有區(qū)別的，前者組與組之間只要元素個(gè)數(shù)相同是不可區(qū)分的，而后者則即使兩組元素個(gè)數(shù)相同，但因排列順序不同，仍然是可區(qū)分的。對于這類問題必須遵循先分組后排列，若平均分m組，則分法=.(4)若干集合中選取元素問題：對比較復(fù)雜的在若干集合中選取元素的問題，一般需分類求解，只要能

10、運(yùn)用分類思想正確地對所有選法分類，又能正確地根據(jù)題目要求合理地考察步驟，就可以順利地求得解答。在分類時(shí)，要注意做到既不重復(fù)也不遺漏。4、解答組合應(yīng)用題的總體思路是：（1）整體分類。對事件進(jìn)行整體分類，從集合的意義講，分類要做到各類的并集等于全集，以保證分類的不重復(fù)，計(jì)算其結(jié)果時(shí)，使用分類計(jì)數(shù)原理。（2）局部分步。整體分類以后，對每一類進(jìn)行局部分步，分步要做到步驟連續(xù)，以保證分步的不遺漏，同時(shí)步驟要獨(dú)立，以保證分步的不重復(fù)，計(jì)算每一類的相應(yīng)結(jié)果時(shí)，使用分步計(jì)數(shù)原理。（3）考察順序。區(qū)別排列與組合的重要標(biāo)志是“有序”與“無序”，無序的問題用組合解答，有序的問題屬于排列問題。（4）辯證的看待“元素”

11、與“位置”。排列、組合問題中的元素與位置，沒有嚴(yán)格的界定標(biāo)準(zhǔn)，哪些事物看成元素或位置，隨解題者的思維方式的變化而變化，要視具體情況而定。有時(shí)“元素選位置”，問題解決得簡捷，有時(shí)“位置選元素”，效果會(huì)更好。5、排列、組合應(yīng)用題的題型（1）簡單的排列或組合問題（不含限制條件即元素或位置一律平等）。（2）附有某些限制條件的排列或組合問題（或限定元素的選擇，或是限定元素的位置）。（3）排列與組合的混合型應(yīng)用題。6、解排列、組合應(yīng)用題的一般步驟（1）分析題意認(rèn)清應(yīng)把問題中的哪些具體對象看作元素（如人、物、數(shù)、圖形等）。分析是排列問題還是組合問題，還是排列、組合綜合題（若是綜合題一般需要先組合后排列，俗稱

12、先“C”后“A”）。分析完成這件事需有幾類辦法，找到分類標(biāo)準(zhǔn)，做到不重不漏；執(zhí)行各類辦法時(shí)又分別需要進(jìn)行幾步才能完成事件。（2）選定解法通常不含限制條件的排列、組合問題都可以直接求解；含有限制條件的排列、組合問題有直接解法（合理分類）或間接解法（逆向思維）兩種解法（其中分類法和排除法最為常用）。但無論是用直接法還是間接法，都要注意從不同角度，正、反兩個(gè)方面考慮同一問題，復(fù)習(xí)中要注意一題多解的訓(xùn)練。（3）列式求解。7、解排列、組合題的方法解排列、組合混合應(yīng)用題一般是“先組后排”或“充分利用元素的性質(zhì)進(jìn)行分類、分步”，再利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理作最后處理。在近幾年的高考試題中，經(jīng)常出現(xiàn)用排列、組合定義列舉

13、求解的應(yīng)用題，這是一種“返璞歸真”的解法。在涉及數(shù)目不是很大的排列、組合問題中，列舉是一種不可忽視的有效解法，列舉一定要按照一定的原則，遵循一定的規(guī)律，不重復(fù)、不遺漏的進(jìn)行。在復(fù)習(xí)中，要掌握樹圖、框圖及坐標(biāo)圖象法等常用的方法。另外還有如下幾種常用的方法：（1）直接法：把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算。以元素為主考慮問題，先滿足特殊元素的要求，再考慮其它元素。以位置為主考慮問題，先滿足特殊位置的要求，再考慮其它位置。（2）排除法: 先求出不考慮限制條件的排列、組合數(shù)，再由限制條件算出不符合條件的排列或組合數(shù)，然后兩數(shù)相減即可。（3）捆綁法：在待定要求的條件下，將幾個(gè)相關(guān)元素當(dāng)作一個(gè)元素來考慮，待整

14、體排好之后再考慮它們“內(nèi)部”的排列，它主要用于解決相鄰或不相鄰的問題。一般地，n個(gè)不同元素排成一列，要求其中某m(mn)個(gè)元素兩兩相鄰的排列有個(gè)。（4）插空法：先把一般的、不受限制的元素排列好，然后把待定元素插排在它們之間或兩端的空當(dāng)中，它與捆綁法有同等作用。（5）特殊元素、位置優(yōu)先安排法：對問題中的特殊元素或位置首先考慮排列，然后再排列其它一般元素或位置。（6）分類法：將符合條件的排列分為幾類，而每一類的排列數(shù)較易求出，然后根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理求出排列總數(shù)。（7）集合法：將排列作為集合的元素，那么排列數(shù)就是集合的基數(shù)。（8）調(diào)序法（某些元素次序一定的一種排列題型）：先將n個(gè)元素進(jìn)行全排列有種，m

15、(mn)個(gè)元素的全排列有種，由于要求m個(gè)元素次序一定，因此只能取其中的某一種排法，可以利用除法起到去調(diào)序的作用，即若n個(gè)元素排成一列，其中m個(gè)元素次序一定，共有種排列方法。8、解排列、組合問題的思路與途徑排列與組合主要研究從一些不同元素中，任取部分或全部元素進(jìn)行排列或組合，求共有多少種方法的問題。解排列組合的綜合應(yīng)用題，可從以下幾個(gè)方面探尋解題途徑：（1）要弄清問題中“事件”的含義；（2）所給的元素是不是各不相同？所選的元素是否“無重復(fù)”？（3）題中有什么“條件”相當(dāng)于“順序”要求？對選出的元素要不要按先后順序排列？也即元素是“有序”還是“無序”，以確定是排列問題還是組合問題，與順序有關(guān)的屬于

16、排列問題，與順序無關(guān)的屬于組合問題。（4）有什么附加條件促使我們把問題分幾個(gè)步驟來考慮？是分類解決還是分步解決？以確定是應(yīng)用加法原理還是應(yīng)用乘法原理；（5）如何建立分類標(biāo)準(zhǔn)。對既要分類又要分步的問題，建立分類標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)鍵在于每一類分步解決的問題中，每兩步之間必須是獨(dú)立的，即后一步的方法數(shù)不受前一步的影響。反之，若某類分步計(jì)算過程中后一步的方法數(shù)由于前一步解決方式不同而不同，則此分類標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)當(dāng)拆細(xì)或以其它形式重新分類；（6）各個(gè)步驟所得到的排列數(shù)、組合數(shù)之間是按“加法原理”，還是按“乘法原理”再進(jìn)行計(jì)算？（7）對有多個(gè)約束條件的問題，可以通過分析每個(gè)約束條件，然后再綜合考慮是分類還是分步，或交替使用兩個(gè)原理，也可以先不考慮約束條件，最后扣除不符合條件的情況獲得結(jié)果。（8）要正確理解“有且僅有”、“至多”、“至少”、“全是”、“都不是”、“不都是”等詞語的確切含義。（9）對于有附加條件的排列、組合問題，往往是對某一個(gè)元素的位置加以限定，被限定的元素為特殊元素，被限定的位置為特殊位置，因此，我們可以從限定元素或限定位置出發(fā)考慮問題，先選出元素或位置，然后再進(jìn)行排列。綜上所述，我們可把排列組合應(yīng)用題的解題思路簡單概括為：排組分清，加乘明確；有序排列，無序組合；分類為加，分步為乘；特殊優(yōu)先，先選（組）后排。