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1、函數(shù)的表示方法
一、選擇題
1.在股票買賣過程中,經(jīng)常用到兩種曲線,一種是即時價格曲線y＝f(x)(實線表示),另一種是平均價格曲線y＝g(x)(虛線表示)〔如f(2)＝3是指開始買賣后兩個小時的即時價格為3元;g(2)＝3表示兩個小時內(nèi)的平均價格為3元〕,下圖給出的四個圖象中,其中可能正確的是( )
解析:解答該題要注意平均變化率是一個累積平均效應,因此可以得到正確選項為C.
答案:C
2.定義運算設F(x)＝f(x)g(x),若f(x)＝sinx,g(x)＝cosx,x∈R,則F(x)的值域為( )
A.［-1,1］ B. C. D
2、.
解析:由已知得
即F(x)＝
F(x)＝sinx,
當,kZ時,F(x)∈［-1,］;
F(x)＝cosx,當,k∈Z時,F(x)∈(-1,),故選C.
答案:C
3.已知則的值為( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
解析:∵
∴
,
∴.
故選C.
答案:C
4.函數(shù)f(x+1)為偶函數(shù),且x＜1時,f(x)＝x2+1,則x＞1時,f(x)的解析式為( )
A.f(x)＝x2-4x+4
3、 B.f(x)＝x2-4x+5
C.f(x)＝x2-4x-5 D.f(x)＝x2+4x+5
解析:因為f(x+1)為偶函數(shù),
所以f(-x+1)＝f(x+1),即f(x)＝f(2-x).
當x＞1時,2-x＜1,此時,f(2-x)＝(2-x)2+1,即f(x)＝x2-4x+5.
答案:B
5.函數(shù)的圖象的大致形狀是( )
解析:該函數(shù)為一個分段函數(shù),即為當x＞0時函數(shù)f(x)＝ax的圖象單調(diào)遞增;當x＜0時,函數(shù)f(x)＝-ax的圖象單調(diào)
4、遞減.故選B.
答案:B
6.如圖,設點A是單位圓上的一定點,動點P從點A出發(fā)在圓上按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周,點P所旋轉(zhuǎn)過的的長為l,弦AP的長為d,則函數(shù)d＝f(l)的圖象大致是( )
解析:函數(shù)在［0,π］上的解析式為
.
在［π,2π］上的解析式為,
故函數(shù)d＝f(l)的解析式為,l∈［0,2π］.
答案:C
二、填空題
7.設函數(shù)若f(1)+f(a)＝2,則a的所有可能的值是__________.
解析:由已知可得,①當a≥0時,有e0+ea-1＝1+ea-1＝2,∴ea-1＝1.∴a-1＝0.∴a＝1.②當-1＜a＜0時,有1+sin(a2π)＝2,∴s
5、in(a2π)＝1.
∴.
又-1＜a＜0,∴0＜a2＜1,
∴當k＝0時,有,∴.
綜上可知,a＝1或.
答案:1或
8.用一根長為12m的鋁合金條做成一個“目”字形窗戶的框架(不計損耗),要使這個窗戶通過的陽光最充足,則框架的長與寬應分別為_________.
解析:由題意可知,即是求窗戶面積最大時的長與寬,設長為xm,則寬為()m,
∴
解得當x＝3時,.
∴長為3m,寬為1.5m.
答案:3m,1.5m
9.某時鐘的秒針端點A到中心點O的距離為5cm,秒針均勻地繞點O旋轉(zhuǎn),當時間t＝0時,點A與鐘面上標12的點B重合.將A、B兩點間的距離d(cm)表示成t(s)
6、的函數(shù),則d＝________,其中t∈［0,60］.
解析:由題意,得當時間經(jīng)過t(s)時,秒針轉(zhuǎn)過的角度的絕對值是弧度,因此當t∈(0,30)時,,由余弦定理,得
,
;當t∈(30,60)時,在△AOB中,,由余弦定理,得,,且當t＝0或30或60時,相應的d(cm)與t(s)間的關系仍滿足.
綜上所述, ,其中t∈［0,60］.
答案:
三、解答題
10.已知定義域為R的函數(shù)f(x)滿足f［f(x)-x2+x］＝f(x)-x2+x.
(1)若f(2)＝3,求f(1);又若f(0)＝a,求f(a);
(2)設有且僅有一個實數(shù)x0,使得f(x0)＝x0,求函數(shù)f(x)
7、的解析表達式.
解:(1)因為對任意x∈R,
有f［f(x)-x2+x］＝f(x)-x2+x,
所以f［f(2)-22+2］＝f(2)-22+2.
又由f(2)＝3,得f(3-22+2)＝3-22+2,即f(1)＝1.
若f(0)＝a,則f(a-02+0)＝a-02+0,即f(a)＝a
(2)因為對任意x∈R,有f［f(x)-x2+x］＝f(x)-x2+x,
又因為有且只有一個實數(shù)x0,使得f(x0)＝x0,
所以對任意x∈R,有f(x)-x2+x＝x0.
在上式中令x＝x0,有f(x0)-x02+x0＝x0,
又因為f(x0)＝x0,所以x0-x02＝0.
故x0＝0或
8、x0＝1.
若x0＝0,則f(x)-x2+x＝0,即f(x)＝x2-x.
但方程x2-x＝x有兩個不同實根,與題設條件矛盾,
故x0≠0.
若x0＝1,則有f(x)-x2+x＝1,即f(x)＝x2-x+1.
易驗證該函數(shù)滿足題設條件.
綜上,所求函數(shù)為f(x)＝x2-x+1(x∈R).
11.對定義域分別是Df、Dg的函數(shù)y＝f(x)、y＝g(x),規(guī)定:函數(shù)h(x)＝
.
(1)若函數(shù),g(x)＝x2,寫出函數(shù)h(x)的解析式;
(2)求(1)中函數(shù)h(x)的值域;
(3)若g(x)＝f(x+α),其中α是常數(shù),且α∈［0,π］,請設計一個定義域為R的函數(shù)y＝f(x)及
9、一個α的值,使得h(x)＝cos4x,并予以證明.
解:(1)
(2)當x≠1時,,
若x＞1,則h(x)≥4,當x＝2時等號成立;
若x＜1,則h(x)≤0,當x＝0時等號成立.
∴函數(shù)h(x)的值域是(-∞,0］∪{1}∪［4,+∞).
(3)解法一:令f(x)＝sin2x+cos2x,,
則＝cos2x-sin2x,
于是h(x)＝f(x)·f(x+α)
＝(sin2x+cos2x)(cos2x-sin2x)＝cos4x.
解法二:令,,
則,
于是h(x)＝f(x)·f(x+α)＝()()
＝1-2sin22x＝cos4x.
12.設函數(shù)f(x)＝|x2-4
10、x-5|.
(1)在區(qū)間［-2,6］上畫出函數(shù)f(x)的圖象;
(2)設集合A＝{x|f(x)≥5},B＝(-∞,-2］∪［0,4］∪［6,+∞).試判斷集合A和B之間的關系,并給出證明;
(3)當k＞2時,求證:在區(qū)間［-1,5］上,y＝kx+3k的圖象位于函數(shù)f(x)圖象的上方.
解:(1)
(2)BA.證明如下:方程f(x)＝5的解分別是,0,4和,由于f(x)在(-∞,-1］和［2,5］上單調(diào)遞減,在［-1,2］和［5,+∞)上單調(diào)遞增,因此,A＝(-∞,)∪［0,4］∪［,+∞),
由于＜6,＞-2,
∴BA.
(3)證明:當x∈［-1,5］時,
f(x)＝-x2+4x+5,
g(x)＝k(x+3)-(-x2+4x+5)
＝x2+(k-4)x+(3k-5)
＝.
∵k＞2,
∴.
又-1≤x≤5,
①當,即2＜k≤6時,
取,.
∵16≤(k-10)2＜64,
∴(k-10)2-64＜0,則g(x)min＞0.
②當,即k＞6時,取x＝-1,
g(x) min＝2k＞0.
由①②可知,
當k＞2時,g(x)＞0,x∈［-1,5］,
因此,在區(qū)間［-1,5］上,y＝k(x+3)的圖象位于函數(shù)f(x)圖象的上方.
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