2020屆高中數(shù)學(xué)《直線的方程（二）》導(dǎo)學(xué)案 北師大版必修2

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1、第3課時(shí)直線的方程(二)1.掌握直線的截距式方程和一般式方程,歸納直線方程的五種形式各自的特點(diǎn)及適用范圍.2.能根據(jù)具體問題的特點(diǎn)選擇恰當(dāng)?shù)闹本€方程解決問題.同學(xué)們,前面我們學(xué)習(xí)了直線的點(diǎn)斜式,斜截式,兩點(diǎn)式,可以發(fā)現(xiàn)它們都是二元一次方程.現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們思考一下,在平面直角坐標(biāo)系中的每一條直線是否都可以用一個(gè)關(guān)于x,y的二元一次方程表示.問題1:直線方程的截距式(1)通常稱為直線方程的截距式.其中,a為直線在x軸上的截距,b為直線在y軸上的截距,且a0,b0.截距式是兩點(diǎn)式的特殊情況.(2)“截距”是直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的橫(縱)坐標(biāo),有正有負(fù).而“距離”是一個(gè)非負(fù)數(shù),兩者是不同的概念.問題2:(1

2、)關(guān)于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0 (其中A,B不同時(shí)為0)叫作直線的一般式方程,簡(jiǎn)稱一般式.(2)當(dāng)B0時(shí),其斜率是,在y軸上的截距是-;當(dāng)B=0時(shí),這條直線垂直于x 軸,沒有斜率;特別地,當(dāng)A=0時(shí),直線垂直于y軸,斜率為0.問題3:直線方程的五種形式及適用的條件?(1)點(diǎn)斜式:已知直線過點(diǎn)P(x0,y0),斜率為k,則直線方程為y-y0=k(x-x0),其存在條件是斜率存在.(2)斜截式:已知直線的斜率為k,在y軸上的截距為b,則直線方程為y=kx+b,其存在條件是斜率存在,它是點(diǎn)斜式的特殊情形.(3)兩點(diǎn)式:已知直線經(jīng)過兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2),則直線方程為

3、=,其存在條件是x1x2,且y1y2,它是由點(diǎn)斜式推得的.(4)截距式:已知直線在x軸、y軸上的截距分別為a、b,則直線方程為+=1,其存在條件是截距存在且不為0,它是兩點(diǎn)式的特殊情形.(5)一般式:任何直線方程均可表示為Ax+By+C=0(其中A、B不全為0)的形式,在求直線方程時(shí),常把結(jié)果整理為一般式.問題4:如何求直線的方程?(1)待定系數(shù)法:待定系數(shù)法是求直線方程最基本、最常用的方法之一.(2)方程形式的選擇:已知一點(diǎn)通常選擇點(diǎn)斜式;已知斜率選擇斜截式或點(diǎn)斜式;已知截距或兩點(diǎn)選擇截距式或兩點(diǎn)式.與ax+by+c=0(a、b不同時(shí)為0)平行的直線可設(shè)為ax+by+m=0(mc).與ax+

4、by+c=0(a、b不同時(shí)為0)垂直的直線可設(shè)為bx-ay+p=0.注意:涉及斜率時(shí)要討論存在和不存在的情況;涉及截距時(shí)要討論為0和不為0的情況.1.直線y-1=4(x+2)化為一般式方程為().A.4(x+2)-y+1=0B.4x-y+9=0C.y=4x+9D.=42.直線l:2x-y+1=0不經(jīng)過().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限3.直線2x+3y-6=0的斜率是,在y軸上的截距是,它的截距式方程是.4.直線4x+3y+d=0與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為6,求此直線在x軸上的截距.考查截距求經(jīng)過點(diǎn)A (-3,4),且在坐標(biāo)軸上截距互為相反數(shù)的直線l的方程.求直線的一般

5、式方程根據(jù)下列條件求解直線的一般式方程:(1)直線的斜率為2,且經(jīng)過點(diǎn)A(1,3);(2)斜率為,且在y軸上的截距為4;(3)經(jīng)過兩點(diǎn)A(2,-3),B(-1,-5);(4)在x,y軸上的截距分別為2,-4.考查直線系方程已知直線l:5ax-5y-a+3=0.(1)求證:不論a為何值,直線l總經(jīng)過第一象限;(2)為使直線不經(jīng)過第二象限,求a的取值范圍.已知直線l過點(diǎn)P(-5,4),且與兩坐標(biāo)軸正半軸圍成的三角形的面積為5,求直線l的方程.根據(jù)下列各條件寫出直線的一般式方程.(1)斜率是-,經(jīng)過點(diǎn)A(8,-2);(2)經(jīng)過點(diǎn)B(4,2),平行于x軸;(3)在x軸和y軸上的截距分別是、-3;(4)

6、經(jīng)過兩點(diǎn)P1(3,-2),P2(5,-4).設(shè)直線l的方程為(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,根據(jù)下列條件分別確定m的值.(1) l在x軸上的截距是-3;(2) l的斜率是-1.1.如果直線l:Ax+By+C=0的傾斜角為45,則有().A.A=BB.A=-BC.AB=1D.AB=-12.若a-b+c=0,則直線ax+by+c=0必經(jīng)過的一個(gè)定點(diǎn)是().A.(1,1)B.(-1,1)C.(1,-1)D.(-1,-1)3.直線l:ax+y-2-a=0在x軸和y軸上的截距相等,則a=.4.已知直線ax+by+c=0,其中a,b,c同號(hào),求直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積.(20

7、20年上海卷)已知直線l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0,與l2:2(k-3)x-2y+3=0平行,則k的值是().A.1或3B.1或5C.3或5D.1或2考題變式(我來改編):第3課時(shí)直線的方程(二)知識(shí)體系梳理問題1:(1)+=1x軸y軸(2)橫(縱)坐標(biāo)非負(fù)數(shù)問題2:(1)Ax+By+C=0(2)-x y0基礎(chǔ)學(xué)習(xí)交流1.By-1=4(x+2)y-1=4x+84x-y+9=0.2.D直線l:2x-y+1=0與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為(-,0)、(0,1),則直線l不經(jīng)過第四象限.故選D.3.-2+=1直線2x+3y-6=0可化為y=-x+2,故斜率為-,在y軸上的截距為2,截距式方程

8、為+=1.4.解:令x=0,y=0得直線在y軸,x軸上的截距分別為-,-.|-|-|=6,解得d=12,直線在x軸上的截距為3或-3.重點(diǎn)難點(diǎn)探究探究一:【解析】設(shè)方程為+=1.將A(-3,4)代入上式,有+=1,解得a=-7.代入整理得所求直線方程為x-y+7=0.問題上述解法正確嗎?當(dāng)直線l在坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)時(shí),方程一定為+=1嗎?結(jié)論不一定,0的相反數(shù)也為0,但分母不能是0.于是,正確解答如下:當(dāng)直線l在坐標(biāo)軸上的截距都不為零時(shí),設(shè)其方程為+=1.將A(-3,4)代入方程,有+=1,解得a=-7,代入整理得所求直線方程為x-y+7=0.當(dāng)直線l在坐標(biāo)軸上的截距都為零時(shí),設(shè)其方程為

9、y=kx.將A(-3,4)代入方程,得4=-3k,即k=-.所求直線方程為y=-x,即4x+3y=0.故所求直線l的方程為x-y+7=0或4x+3y=0.【小結(jié)】涉及在兩坐標(biāo)軸上的截距是倍數(shù)關(guān)系(包括相等關(guān)系,互為相反數(shù)關(guān)系等)時(shí),不要遺漏截距均為零這一情形.探究二:【解析】 (1)因?yàn)閗=2,且經(jīng)過點(diǎn)A(1,3),由直線的點(diǎn)斜式可得y-3=2(x-1),整理可得直線的一般式方程為2x-y+1=0.(2)由直線的斜率k=,且在y軸上的截距為4,故直線的斜截式為y=x+4,整理可得直線的一般式方程為x-y+4=0.(3)由直線的兩點(diǎn)式可得=,整理得直線的一般式方程為2x-3y-13=0.(4)由

10、直線的截距式可得+=1,整理得直線的一般式方程為2x-y-4=0.【小結(jié)】利用直線的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式求解直線的方程時(shí),一定要注意每種方程形式的適用范圍,要注意對(duì)斜率是否存在,截距是否為0進(jìn)行分類討論,最后將方程形式轉(zhuǎn)化為一般式.探究三:【解析】(1)直線l的方程可化為y-=a(x-),直線l的斜率為a,且過定點(diǎn)A(,),而點(diǎn)A(,)在第一象限內(nèi),故不論a為何值,直線l恒過第一象限.(2)直線OA的斜率為k=3.如圖所示,要使l不經(jīng)過第二象限,需斜率akOA=3,a的取值范圍為3,+).【小結(jié)】含有一個(gè)參數(shù)的直線方程,一般是過定點(diǎn)的,這里對(duì)一般式靈活變形是解決問題的關(guān)鍵.思維拓展應(yīng)

11、用應(yīng)用一:由已知得直線在兩坐標(biāo)軸上的截距不為0,可設(shè)直線l的方程為+=1(a0,b0),由直線l過點(diǎn)P(-5,4),得+=1.直線l與兩坐標(biāo)軸正半軸圍成的三角形的面積為5,即ab=5,ab=10.解得a=5,b=2.直線l的方程為+=1,即2x+5y-10=0.應(yīng)用二:(1)由點(diǎn)斜式得y-(-2)=-(x-8),化成一般式為x+2y-4=0.(2)由斜截式得y=2,即一般式為y-2=0.(3)由截距式得+=1,即一般式為2x-y-3=0.(4)由兩點(diǎn)式得=,即一般式為x+y-1=0.應(yīng)用三:(1)由題意得由可得m-1且m3.由得m=3或m=-,m=-.(2)由題意得由得m-1且m.由得m=-1或m=-2.m=-2.基礎(chǔ)智能檢測(cè)1.B直線l的斜率k=-,又k=tan 45=1,得A=-B.故選B.2.C由a-b+c=0,知點(diǎn)(1,-1)滿足方程ax+by+c=0.故選C.3.-2或1由題意知a0,令x=0,得y=2+a;令y=0,得x=,故2+a=,解得a=-2或a=1.4.解:設(shè)直線與x軸交于點(diǎn)A(-,0),與y軸交于點(diǎn)B(0,-),所以SAOB=|-|-|=.全新視角拓展C當(dāng)k=3時(shí),兩直線平行,當(dāng)k3時(shí),由兩直線平行斜率相等,得:=k-3,解得k=5.思維導(dǎo)圖構(gòu)建y-y0=k(x-x0)y=kx+b=(x1x2,y1y2)