2020屆高中數學二輪總復習 綜合訓練（五） 理 新課標(湖南專用)

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1、2020屆高中數學二輪總復習 綜合訓練（五） 理 新課標(湖南專用) 時量：50分鐘　　　滿分：50分 解答題：本大題共4小題，第1,2,3小題各12分，第4小題14分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟． 　1.已知向量a＝(sin2x，cos2x)，b＝(cos2x，－cos2x)． (1)若x∈(，)，a·b＋＝－，求cos4x的值； (2)設△ABC的三邊a，b，c滿足b2＝ac，且邊b所對應的角為x，若關于x的方程a·b＋＝m有且僅有一個實數根，求實數m的值． 解析：由已知a·b＝sin2xcos2x－cos22x ＝sin4x－(1＋cos4x) ＝si

2、n(4x－)－. (1)由a·b＋＝－，得sin(4x－)＝－. 又

3、5分(含85分)以上為優(yōu)秀) 序號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 數學成績 71 84 98 95 75 80 94 92 65 67 物理成績 81 82 93 90 63 72 87 91 71 58 (1)根據上表完成下面的2×2列聯表： 數學成 績優(yōu)秀 數學成績 不優(yōu)秀 合計 物理成 績優(yōu)秀 物理成績 不優(yōu)秀 合計 (2)根據題(1)中表格的數據計算，有多少把握認為同學的數學成績與物理成績有關系？ (3)約定：數學成績70分(不包含70

4、分)以下為成績一般，70分到89分為成績中檔，90分(包含90分)以上為成績優(yōu)秀，分別以樣本中上述三檔成績的平均分為總體的平均分，請估計該班數學的平均成績． 附：K2＝， P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 解析：(1) 數學成 績優(yōu)秀 數學成績 不優(yōu)秀 合計 物理成 績優(yōu)秀 4 0 4 物理成績 不優(yōu)秀 0 6 6 合計 4 6 10 (2)由于K2＝＝10>6.635. 故有99%的把握認為數學成績與物理成績有關系． (3)由題設，可設成績一般，成績中檔，成績優(yōu)

5、秀的平均分分別為ξ1，ξ2，ξ3， 且ξ1＝＝66，ξ2＝＝77.5， ξ3＝＝94.75， 而平均成績的分布列為 ξ 66 77.5 94.75 P 　　Eξ＝66×＋77.5×＋94.75×＝82.1. 由此估計該班數學平均成績?yōu)?2.1分． 　3.如圖，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC＝∠ACD＝90°，∠EAC＝60°，AB＝AC＝AE. (1)在直線BC上是否存在一點P，使得DP∥平面EAB？請證明你的結論； (2)求平面EBD與平面ABC所成的銳二面角θ的余弦值． 解析：(1)線段BC的中點就是滿足條件的P.

6、 證明如下： 取AB的中點F，連接DP，PF，EF， 則FP∥AC，FP＝AC. 取AC的中點M，連接EM，EC. 因為AE＝AC且∠EAC＝60°， 所以△EAC是正三角形，所以EM⊥AC， 所以四邊形EMCD為矩形，所以ED＝MC＝AC. 又因為ED∥AC，ED∥FP且ED＝FP， 所以四邊形EFPD是平行四邊形． 所以DP∥EF，而EF?平面EAB，DP?平面EAB， 所以DP∥平面EAB. (2)方法1：過B作AC的平行線l，過C作l的垂線交l于G，連接DG. 因為ED∥AC，所以ED∥l， l是平面EBD與平面ABC所成二面角的棱． 因為平面EAC

7、⊥平面ABC，DC⊥AC， 所以DC⊥平面ABC， 又因為l?平面ABC，所以DC⊥l， 所以l⊥平面DGC，所以l⊥DG， 所以∠DGC是所求二面角D－BG－C的平面角． 設AB＝AC＝AE＝2a，則CD＝a，GC＝2a， 所以GD＝＝a， 所以cosθ＝cos∠DGC＝＝. 方法2：因為∠BAC＝90°，平面EACD⊥平面ABC， 所以以點A為原點，直線AB為x軸，直線AC為y軸，建立空間直角坐標系A－xyz，則z軸在平面EACD內(如圖)． 設AB＝AC＝AE＝2a，由已知，得B(2a,0,0)，E(0，a，a)，D(0,2a，a)． 所以＝(2a，－a，－a)

8、，＝(0，a,0)， 設平面EBD的法向量為n＝(x，y，z)， 則n⊥且n⊥， 所以，所以， 取z＝2， 得平面EBD的一個法向量為n＝(，0,2)． 又因為平面ABC的一個法向量為n′＝(0,0,1)． cosθ＝|cos〈n，n′〉| ＝＝. 　4.某市近郊有一塊大約500 m×500 m的接近正方形的荒地，地方政府準備在此建一個綜合性休閑廣場，首先要建設如圖所示的一個矩形場地，其總面積為3000 m2，其中場地四周(陰影部分)為通道，通道寬度均為2 m，中間的三個矩形區(qū)域將鋪設塑膠地面作為運動場地(其中兩個小場地形狀相同)，塑膠運動場地的占地面積為S m2. (1)分別寫出用x表示y和S的函數關系式(寫出函數定義域)； (2)怎樣設計能使S取得最大值，最大值為多少？ 解析：(1)由已知xy＝3000,2a＋6＝y(tǒng)， 則y＝(6≤x≤500)． S＝(x－4)a＋(x－6)a＝(2x－10)a ＝(2x－10)· ＝(x－5)(y－6) ＝3030－6x－(6≤x≤500)． (2)S＝3030－6x－≤3030－2 ＝3030－2×300＝2430. 當且僅當6x＝，即x＝50時，“＝”成立， 此時y＝60，Smax＝2430， 即設計x＝50 m，y＝60 m時，運動場地面積最大，最大值為2430 m2.