2020屆高考數(shù)學(xué) 空間圖形新創(chuàng)題

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1、（8）空間圖形新題原創(chuàng)5道1.有六根細(xì)木棒，其中較長(zhǎng)的兩根分別為a、a,其余四根均為a,用它們搭成三棱錐，則其中兩條較長(zhǎng)的棱所在的直線(xiàn)的夾角的余弦值為 （ ）A.0 B. C.0或 D.以上皆不對(duì)講解：B。如圖所示，本題共可作出兩幅圖，若不細(xì)辨別，可立即得C答案，但若對(duì)兩幅圖的存在性稍作回想，立即發(fā)現(xiàn)圖實(shí)質(zhì)上是一個(gè)陷阱，此圖根本不存在.取AC中點(diǎn)E，連結(jié)BE、ED，得BE=ED=a，而B(niǎo)E+ED=aa=BD,故應(yīng)排除（1），故應(yīng)選B.2一個(gè)正六面體的各個(gè)面和一個(gè)正八面體的各個(gè)面都是邊長(zhǎng)為a的正三角形，這樣的兩個(gè)多面體的內(nèi)切球的半徑之比是一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù),那么積mn是 （ ）A.6 B.3 C.54

2、 D.24講解：A。設(shè)六面體與八面體的內(nèi)切球半徑分別為r1與r2,再設(shè)六面體中的正三棱錐ABCD的高為h1,八面體中的正四棱錐MNPQR的高為h2,如圖所示，則h1=a,h2=a.V正六面體=2h1SBCD=6r1SABC，r1=h1=a.又V正八面體=2h2S正方形NPQR=8r2SMNP，a3=2r2a2,r2=a,于是是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，即m=2,n=3,mn=6.故應(yīng)選A.3.已知平面平面,直線(xiàn)l,點(diǎn)Pl,平面、間的距離為8，則在內(nèi)到點(diǎn)P的距離為10且到直線(xiàn)l的距離為9的點(diǎn)的軌跡是 （ ）A.一個(gè)圓 B.兩條直線(xiàn) C.四個(gè)點(diǎn) D.兩個(gè)點(diǎn)講解：C。如圖，設(shè)點(diǎn)P在平面上的射影是O，則OP是平面、的

3、公垂線(xiàn)段，OP=8.在內(nèi)，到點(diǎn)P的距離等于10的點(diǎn)到點(diǎn)O的距離等于6，故點(diǎn)的集合是以O(shè)為圓心，以6為半徑的圓.在內(nèi)，到直線(xiàn)l的距離等于9的點(diǎn)的集合是兩條平行直線(xiàn)m、n,它們到點(diǎn)O的距離都等于6,所以直線(xiàn)m、n與這個(gè)圓均相交，共有四個(gè)交點(diǎn)，因此所求的點(diǎn)的軌跡是四個(gè)點(diǎn)，故應(yīng)C.4. 空間 （填：“存在”或“不存在”）這樣的四個(gè)點(diǎn)A、B、C、D，使得AB=CD=8 cm,AC=BD=10cm,AD=BC=13cm.講解： 要去尋找這樣的點(diǎn)是很難敘述的.但我們可以虛擬一些特殊的圖形去模擬運(yùn)動(dòng)，判斷結(jié)果.細(xì)看題目有四個(gè)點(diǎn)，顯然可以從四邊形旋轉(zhuǎn)所構(gòu)成的三棱錐模型結(jié)構(gòu)看一下這些長(zhǎng)度關(guān)系是否合理，來(lái)得出需要的

4、結(jié)論.在空間中，分別以8、10、13為邊長(zhǎng)，作如圖所示平面四邊形，它由ABC和BCD組成，公共邊為BC=13 cm,AC=BD=10cm,AB=CD=8 cm,固定ABC所在的平面，令BCD繞著邊BC旋轉(zhuǎn).顯然當(dāng)D位于ABC所在的平面時(shí)，AD最大.由BC=13cm,AC=10cm,AB=8cm,可得cosBAC=-,即可知BAC是鈍角，故對(duì)于平行四邊形（即D在平面ABC內(nèi)時(shí)）ABDC，對(duì)角線(xiàn)AD的長(zhǎng)小于對(duì)角線(xiàn)BC的長(zhǎng)，即ADBC=13cm.顯然，當(dāng)點(diǎn)D不在面ABC內(nèi)時(shí)都有ADBC=13cm.因此按題目要求分布的四個(gè)點(diǎn)是不可能的，故知題目要求的四個(gè)點(diǎn)不存在.5.不共面的三條定直線(xiàn)l1,l2,l3互相平行，點(diǎn)A在l1上，點(diǎn)B在l2上，C、D兩點(diǎn)在l3上，若CD=a(定值），則三棱錐ABCD的體積 （ ）A.由A點(diǎn)的變化而變化 B.由B點(diǎn)的變化而變化C.有最大值，無(wú)最小值 D.為定值講解：D。如圖，把BCD當(dāng)作三棱錐的底面，AO面BCD于O，l2l3,無(wú)論B點(diǎn)在l2上什么位置，BCD的面積總不變.又l2l3,l2、l3確定一個(gè)平面,l1l2,且A不在l2、l3確定的平面上，l1平行于l2、l3確定的平面,從而不論A在l1的什么位置，高AO的長(zhǎng)總不變.又V=高底面積，故無(wú)論A、B在什么位置時(shí)，其體積不變.