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1、考點(diǎn)51 幾何證明選講
一、選擇題
1.（2020·北京高考理科·Ｔ5）如圖. ∠ACB=90o，CD⊥AB于點(diǎn)D，以BD為直徑的圓與BC交于點(diǎn)E.則( )
A. CE·CB=AD·DB B. CE·CB=AD·AB
C. AD·AB=CD2 D.CE·EB=CD2
A
D
B
E
C
【解題指南】利用切割線定理及直角三角形中的射影定理.
【解析】選A.CD，以BD為直徑的圓與CD相切，。
在中，CD為斜邊AB上的高，有，
因此，CE·CB=AD·DB.
二、填空題
2.（2020·湖北高考理科·Ｔ15）如圖，點(diǎn)D在⊙O的弦AB上移動(dòng)，AB=
2、4，連接OD，過點(diǎn)D作OD的垂線交⊙O于點(diǎn)C，則CD的最大值為_____________.
【解題指南】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是利用直線與圓的位置關(guān)系，取AB的中點(diǎn)，連OC，把CD表示出來.
【解析】取AB的中點(diǎn)為E，連接CD，OE，則，要求CD的最大值，則點(diǎn)D與E重合.可知結(jié)果為：2.
【答案】2.
3.（2020·陜西高考理科·Ｔ15）如圖，在圓中，直徑AB與弦CD垂直，垂足為E，，垂足為F，若，，則 .
【解題指南】圍繞Rt△BDE和圓的有關(guān)性質(zhì)列出成比例線段.
【解析】連接AD,因?yàn)椋?所以BE=5, 在Rt△ABD中，,,在Rt△
3、BDE中,由射影定理得.
【答案】5.
4. （2020·廣東高考文科·Ｔ15）如圖所示，直線PB與圓O相切于點(diǎn)B,D是弦AC上的點(diǎn)，.若AD=m,AC=n,則AB= .
【解題指南】本小題要注意利用圓的幾何性質(zhì)。判斷出,從而證出是解決此問題的關(guān)鍵.
【解析】由題意知，所以,
所以所以.
【答案】.
5.（2020·廣東高考理科·Ｔ15）如圖，圓O的半徑為1，A、B、C是圓周上的三點(diǎn)，滿足，過點(diǎn)A作圓O的切線與OC的延長線交于點(diǎn)P，則PA=_____________.
【解題指南】本小題要注意利用圓的幾何性質(zhì)。連接OA，AC
從而可得, 為等邊三角形，,
4、為等腰三角形，并且AC=CP=1,到此問題基本得以解決.
【解析】連接AO、AC，因?yàn)?所以,為等邊三角形，則為等腰三角形，且.
【答案】.
6.（2020·天津高考文科·Ｔ13）與（2020·天津高考理科·Ｔ13）相同
如圖，已知AB和AC是圓的兩條弦，過點(diǎn)B作圓的切線與AC的延長線相交于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作BD的平行線與圓相交于點(diǎn)E，與AB相交于點(diǎn)F，AF=3，F(xiàn)B=1，，則線段CD的長為_________.
【解題指南】利用相交線及切線的比例關(guān)系求解。
【解析】設(shè)CD=x,則AD=4x,因?yàn)锳F·FB=CF·FE,所以CF=2,
又,又.
【答案】.
三、解答題
7. （2
5、020·遼寧高考文科·T22）與（2020·遼寧高考理科·T22）相同
如圖，⊙O和⊙相交于兩點(diǎn)，過A作兩圓的切線分別交兩圓于C，D兩點(diǎn)，連接DB并延長交⊙O于點(diǎn)E.證明
(Ⅰ)；
(Ⅱ) .
【解題指南】據(jù)弦切角等于圓周角，證明三角形相似，對(duì)應(yīng)邊成比例，證明等式.
【解析】(1)由AC與圓相切于點(diǎn)A，得;同理，
從而∽，所以
（2）由AD與圓相切于點(diǎn)A，得;
又,從而∽，所以
又由（1）知，
所以.
8.（2020·新課標(biāo)全國高考文科·Ｔ22）與（2020·新課標(biāo)全國高考理科·Ｔ22）相同
如圖，D，E分別為△ABC邊AB，AC的中點(diǎn)，直線DE交△ABC的
6、外接圓于F，G兩點(diǎn)，若CF//AB，證明：
(Ⅰ)CD=BC；
(Ⅱ)△BCD∽△GBD
【解題指南】（1）連接AF，作為中間量過渡，證，證明時(shí)充分利用圖形中出現(xiàn)的平行四邊形；（2）利用圖形中的平行四邊形及等腰三角形關(guān)系，設(shè)法尋找△BCD與△GBD中的兩組對(duì)應(yīng)角相等，從而可得△BCD∽△GBD.
【解析】（1）因?yàn)镈，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，所以，
又已知，故四邊形是平行四邊形，所以.而，連結(jié)，所以ADCF是平行四邊形，故CD＝AF.
因?yàn)?，所以，?
（2）因?yàn)楣?
由（1）可知，所以.
而，故∽.
A
E
B
D
C
O
9. （2020·江蘇高考
7、·Ｔ21）如圖，AB是圓O的直徑，D，E為圓O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，連接BD并延長至點(diǎn)C，使BD = DC，連接AC，AE，DE．
求證：．
【解題指南】要證，就得找一個(gè)中間量代換，一方面考慮到是同弧所對(duì)圓周角，相等；另一方面由是圓的直徑和可知是線段的中垂線，從而根據(jù)線段中垂線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等和等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)得到，從而得證.
【解析】證明：連接.
∵是圓的直徑，∴（直徑所對(duì)的圓周角是直角）。
∴（垂直的定義）。
又∵，∴是線段的中垂線（線段的中垂線定義）。
∴（線段中垂線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等）。
∴（等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)）。
又∵為圓上位于異側(cè)的兩點(diǎn)，
∴（同弧所對(duì)圓周角相等）。
∴（等量代換）.
【一題多解】可連接，利用三角形中位線來求證。
證明：連接OD，因?yàn)锽D＝DC，O為AB的中點(diǎn)，
所以O(shè)D//AC,于是
因?yàn)镺B＝OD，所以
于是
因?yàn)辄c(diǎn)A，E，B，D，都在圓O上，且D，E為圓O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，所以和為同弧所對(duì)的圓周角，故，所以.
2020年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)51 幾何證明選講
