2020年高考數(shù)學(xué)一輪經(jīng)典例題 四種命題 理

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1、2020年高考數(shù)學(xué)（理）一輪經(jīng)典例題——四種命題 [ ] 分析 條件及結(jié)論同時(shí)否定，位置不變． 答 選D． 例2 設(shè)原命題為：“對(duì)頂角相等”，把它寫(xiě)成“若p則q”形式為_(kāi)_______．它的逆命題為_(kāi)_______，否命題為_(kāi)_______，逆否命題為_(kāi)_______． 分析 只要確定了“p”和“q”，則四種命題形式都好寫(xiě)了． 解 若兩個(gè)角是對(duì)頂角，則兩個(gè)角相等；若兩個(gè)角相等，則這兩個(gè)角是對(duì)頂角；若兩個(gè)角不是對(duì)頂點(diǎn)，則這兩個(gè)角不相等；若兩個(gè)角不相等，則這兩個(gè)角不是對(duì)頂角． 例3 “若P＝{x|x|＜1}，則0∈P”的等價(jià)命題是________．

2、 分析 等價(jià)命題可以是多個(gè)，我們這里是確定命題的逆否命題． ≠{x||x|＜1}” 例4 分別寫(xiě)出命題“若x2＋y2＝0，則x、y全為0”的逆命題、否命題和逆否命題． 分析 根據(jù)命題的四種形式的結(jié)構(gòu)確定． 解 逆命題：若x、y全為0，則x2＋y2＝0； 否命題：若x2＋y2≠0，則x，y不全為0； 逆否命題：若x、y不全為0，則x2＋y2≠0． 說(shuō)明：“x、y全為0”的否定不要寫(xiě)成“x、y全不為0”，應(yīng)當(dāng)是“x，y不全為0”，這要特別小心． 例5 有下列四個(gè)命題： ①“若xy＝1，則x、y互為倒數(shù)”的逆命題； ②“相似三角形的周長(zhǎng)相等”的否命題； ③“若b≤

3、－1，則方程x2－2bx＋b2＋b＝0有實(shí)根”的逆否命題； [ ] A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 分析 應(yīng)用相應(yīng)知識(shí)分別驗(yàn)證． 解 寫(xiě)出相應(yīng)命題并判定真假 ①“若x，y互為倒數(shù)，則xy＝1”為真命題； ②“不相似三角形周長(zhǎng)不相等”為假命題； ③“若方程x2－2bx＋b2＋b＝0沒(méi)有實(shí)根，則b＞－1”為真命題； 選C． 例6 以下列命題為原命題，分別寫(xiě)出它們的逆命題，否命題和逆否命題． ①內(nèi)接于圓的四邊形的對(duì)角互補(bǔ)； ②已知a、b、c、d是實(shí)數(shù)，若a＝b，c＝d，則a＋c＝b＋d； 分析 首先應(yīng)當(dāng)把原命題改寫(xiě)成“若p則q”形式，再設(shè)法構(gòu)

4、造其余的三種形式命題． 解 對(duì)①：原命題：“若四邊形內(nèi)接于圓，則它的對(duì)角互補(bǔ)”； 逆命題：“若四邊形對(duì)角互補(bǔ)，則它必內(nèi)接于某圓”； 否命題：“若四邊形不內(nèi)接于圓，則它的對(duì)角不互補(bǔ)”； 逆否命題：“若四邊形的對(duì)角不互補(bǔ)，則它不內(nèi)接于圓”． 對(duì)②：原命題：“已知a、b、c、d是實(shí)數(shù)，若a＝b，c＝d，則a＋c＝b＋d”，其中“已知a、b、c、d是實(shí)數(shù)”是大前提，“a＝b，c＝d”是條件，“a＋c＝b＋d”是結(jié)論．所以： 逆命題：“已知a、b、c、d是實(shí)數(shù)，若a＋c＝b＋d，則a＝b，c＝d”； 否命題：“已知a、b、c、d是實(shí)數(shù)，若a≠b或c≠d，則a＋c≠b＋d”(注意“a＝b，

5、c＝d”的否定是“a≠b或c≠d”只需要至少有一個(gè)不等即可)； 逆否命題：“已知a、b、c、d是實(shí)數(shù)，若a＋c≠b＋d則a≠b或c≠d”． 逆否命題還可以寫(xiě)成：“已知a、b、c、d是實(shí)數(shù)，若a＋c≠b＋d則a＝b，c＝d兩個(gè)等式至少有一個(gè)不成立” 說(shuō)明：要注意大前題的處理．試一試：寫(xiě)出命題“當(dāng)c＞0時(shí)，若a＞b，則ac＞bc”的逆命題，否命題，逆否命題，并分別判定其真假． 例7 已知下列三個(gè)方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一個(gè)方程有實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 分析 如果從正面分類討論情況要復(fù)雜的多，而利用補(bǔ)集的思想(也含

6、有反證法的思想)來(lái)求三個(gè)方程都沒(méi)有實(shí)根的a范圍比較簡(jiǎn)單． 說(shuō)明：利用補(bǔ)集思想，體現(xiàn)了思維的逆向性． 例8 分別寫(xiě)出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假． ②當(dāng)abc＝0時(shí)，a＝0或b＝0或c＝0． 分析 改造原命題成“若p則q形式”再分別寫(xiě)出其逆命題、否命題、逆否命題．在判定各種形式命題的真假時(shí)要注意利用等價(jià)命題的原理和規(guī)律． 命題； ②原命題；“若abc＝0，則a＝0或b＝0或c＝0”，是真命題； 逆命題：“若a＝0或b＝0或c＝0，則abc＝0”是真命題； 否命題：“若abc≠0，則a≠0且b≠0且c≠0”，是真命題；(注意：“a＝0

7、或b＝0或c＝0”的否定形式是“a≠0且b≠0且c≠0” 逆否命題：“若a≠0且b≠0且c≠0，則abc≠0”，是真命題． 說(shuō)明：判定四種形式命題的真假可以借助互為逆否命題的等價(jià)性． 分析 如果直接從條件推證，方向不明，過(guò)程不可預(yù)測(cè)，較難，可以使用反證法． 解 設(shè)a、b、c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，則有a＋b＋c≤0，而 ＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π ＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋(π－3) ∴ a＋b＋c＞0這與a＋b＋c≤0矛盾． 因此a、b、c中至少有一個(gè)大于0． 說(shuō)明：如下表，我們給出一些常見(jiàn)詞語(yǔ)的否定．