2020年高考數(shù)學(xué)一輪經(jīng)典例題 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 理

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1、2020年高考數(shù)學(xué)（理）一輪經(jīng)典例題——同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、 1．已知某角的一個三角函數(shù)值，求該角的其他三角函數(shù)值． 解? ∵sinα＜0 ∴角α在第三或第四象限(不可能在y軸的負(fù)半軸上) (2)若α在第四象限，則 說明? 在解決此類問題時，要注意： (1)盡可能地確定α所在的象限，以便確定三角函數(shù)值的符號． (2)盡可能地避免使用平方關(guān)系(在一般情況下只要使用一次)． (3)必要時進行討論． 例2? 已知sinα=m(|m|≤1)，求tgα的值． (2)當(dāng)m=±1時，α的終邊在y軸上，tgα無意義． (3)當(dāng)α在Ⅰ、Ⅳ象限時，∵cosα＞0．

2、 當(dāng)α在第Ⅱ、Ⅲ象限時，∵cosα＜0， 說明? (1)在對角的范圍進行討論時，不可遺漏終邊在坐標(biāo)軸上的情況． (2)本題在進行討論時，為什么以cosα的符號作為分類的標(biāo)準(zhǔn)，而不按sinα的符號(即m的符號)來分類討論呢？你能找到這里的原因并概括出所用的技巧嗎？ 2．三角函數(shù)式的化簡 三角函數(shù)式的化簡的結(jié)果應(yīng)滿足下述要求： (1)函數(shù)種類盡可能地少． (2)次數(shù)盡可能地低． (3)項數(shù)盡可能地少． (4)盡可能地不含分母． (5)盡可能地將根號中的因式移到根號外面來． 化簡的總思路是：盡可能地化為同類函數(shù)再化簡． 例3? 化簡sin2α·tgα+cos2α·ct

3、gα+2sinαcosα =secα·cscα 解2? 原式=(sin2α·tgα+sinα·cosα)+(cos2α·ctgα+sinαcosα) =tgα·(sin2α+cos2α)+ctgα(sin2α+cos2α) =tgα+ctgα =secα·cscα 說明? (1)在解1中，將正切、余切化為正弦、余弦再化簡，仍然是循著減少函數(shù)種類的思路進行的． (2)解2中的逆用公式將sinα·cosα用tgα表示，較為靈活，解1與解2相比，思路更自然，因而更實用． 例4? 化簡： 分析? 將被開方式配成完全平方式，脫去根號，進行化簡． 3．三角恒等式

4、的證明 證明三角恒等式的過程，實際上是化異為同的過程，即化去形式上的異，而呈現(xiàn)實質(zhì)上的同，這個過程，往往是從化簡開始的——這就是說，在證明三角恒等式時，我們可以從最復(fù)雜處開始． 例5? 求證 cosα(2secα+tgα)(secα-2tgα)=2cosα-3tgα． 分析? 從復(fù)雜的左邊開始證得右邊． =2cosα-3tgα=右邊 例6? 證明恒等式 (1)1+3sin2αsec4α+tg6α=sec6α (2)(sinA+ secA)3+(cosA+cscA)2=(1+secAcscA)2 分析? (1)的左、右兩邊均較復(fù)雜，所以可以從左、右兩邊同時化簡 證明

5、? (1)右邊-左邊=sec6α-tg6α-3sin2αsec4α-1 =(sec2α-tg2α)(sec4α+sec2α·tg2α+tg2α)-3sin2αsec4α-1 =(sec4α-2sec2αtg2α+tg2α)-1 =(sec2α-tg2α)2-1=0 ∴等式成立． =sin2A+cos2A=1故原式成立 在解題時，要全面地理解“繁”與“簡”的關(guān)系．實際上，將不同的角化為同角，以減少角的數(shù)目，將不同的函數(shù)名稱，化為同名函數(shù)，以減少函數(shù)的種類，都是化繁為簡，以上兩點在三角變換中有著廣泛的應(yīng)用． 分析1? 從右端向左端變形，將“切”化為“弦”，以減少函數(shù)的種類．

6、 分析2? 由1+2sinxcosx立即想到(sinx+cosx)2，進而可以約分，達(dá)到化簡的目的． 說明? (1)當(dāng)題目中涉及多種名稱的函數(shù)時，常常將切、割化為弦(如解法1)，或?qū)⑾一癁榍?如解法2)以減少函數(shù)的種類． (2)要熟悉公式的各種變形，以便迅速地找到解題的突破口，請看下列． =secα+tgα ∴等式成立 說明? 以上證明中采用了“1的代換”的技巧，即將1用sec2α-tg2α代換，可是解題者怎么會想到這種代換的呢？很可能，解題者在采用這種代換時，已經(jīng)預(yù)見到代換后，分子可以因式分解，可以約分，而所有這一切都是建立在熟悉公式的各種變形的基礎(chǔ)上的，當(dāng)然，對不熟練的解題者而言，還有如下的“一般證法”——即證明“左邊-右邊=0” ∴左邊=右邊